Matemática Atuarial 1 - 2024/1
Informes:
Apostila atualizada, com mais conteúdo do Capítulo 6. Última atualização: 16/06. Também foi incluída mais uma atividade do trabalho, envolvendo o conteúdo do Capítulo 6. 🆕
Exercício recomendado para a aula do dia 18/06: Questão 16 do Capítulo 5 (e ir ficando em dia com os atrasados). 📝
Algumas instruções iniciais sobre o trabalho foram incluídas na Seção referente ao trabalho. Recomenda-se darem uma olhada. 🔔
Horários e sala de aula:
Terças e Quintas das 10h às 12h na sala F2-018 do CCMN
Ementa:
Capítulo 1: Introdução: Motivação de se estudar Matemática Atuarial e conceitos fundamentais.
Capítulo 2: Revisão de Demografia: Função de sobrevivência, tábua de mortalidade, tempo exato e truncado de vida futura, força de mortalidade e expectativa de vida.
Capítulo 3: Revisão de Matemática Financeira: Regime de capitalização composto, capitalização contínua, anuidades constantes, perpetuidades e anuidades contínuas.
Capítulo 4: Seguro de vida: Valor presente atuarial, seguro pagável no momento da morte, seguro pagável no fim do ano de morte, seguro dotal puro, seguro dotal misto, seguro com diferimento, relação entre os casos discreto e contínuo, seguros com benefício variável e tábuas de comutação.
Capítulo 5: Anuidades de vida: Renda vencida vitalícia, renda imediata vitalícia, renda temporária, renda diferida, anuidades de vida fracionada e contínua.
Capítulo 6: Prêmio puro: Prêmios períodicos para seguros e anuidades de vida, prêmios fracionados e contínuos.
Capítulo 7: Reserva matemática: Reservas para seguros e anuidades de vida, método recursivo, prospectivo e retrospectivo, caso discreto, semi-contínuo e contínuo. Equações diferenciais de Thiele.
Capítulo 8: Prêmios comerciais e despesas: Prêmios carregados e comerciais. Resgate, prolongamento e saldamento.
Referências bibliográficas:
Actuarial Mathematics - N. Bowers, H. Gerber, J. Hickman, D. Jones and C. Nesbitt (Society of Actuaries, 2nd edition) - Livro texto da disciplina
Actuarial mathematics for life contingent risks - David Dickison, Mary Hardy and Howard Waters (Cambridge University Press, 2nd edition, 2013)
Life Contingencies - Wallace Jordan (Society of Actuaries, 2nd edition)
Matemática Financeira - Carlos P. Samanez (Ed. Pearson, 4º Edição) - Utilizado apenas na parte de revisão de Matemática Financeira
Apostila:
LINK PARA APOSTILA (Apostila em construção. Última atualização: 16/06)
Gabarito das questões do Capítulo 2: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 3: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 4: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 5: AQUI (até a questão 6)
Além da apostila do curso, será colocado também a apostila dos pré-requisitos da disciplina: Matemática Financeira e Demografia, caso alguns alunos sintam a necessidade de revisar mais a fundo algum dos conteúdos necessários:
Apostila de Matemática Financeira
Feriados:
23/04 (terça-feira) - Dia de São Jorge
30/05 (quinta-feira) - Dia de Corpus Christi
Critério de avaliação:
Ao longo do curso serão aplicadas duas provas (P1 e P2), nos dias indicados mais abaixo e após realizar a P1. os alunos devem escolher entre duas opções de avaliação:
Opção 1: (recomendável): Além das duas provas, os alunos deverão realizar também um trabalho em dupla para ser apresentado remotamente em algum dia das últimas semanas do curso. Haverá uma coleção bem diversa de dias e horários para cada grupo escolher. Nessa modalidade, a P1 terá peso 40%, a P2 terá peso 35% e o trabalho terá peso 30% na composição da média final (totalizando 105% mesmo, com 5% de bônus). Além disso, a média para aprovação direta será reduzida para 6,0.
Opção 2: Caso o(a) aluno(a) não queira ou seja muito inconveniente fazer/apresentar o trabalho fora do horário de aula, na opção 2 não tem trabalho e apenas as duas provas. Nesse caso cada prova terá peso 50% e a média para aprovação direta será 7,0 mesmo.
Se MP for superior a 5,9 na opção 1 ou superior a 6,9 na opção 2, o(a) aluno(a) é aprovado(a) direto.
Se MP for inferior a 3,0, o aluno(a) é reprovado direto, em ambas as opções de avaliação.
Se MP assumir um valor fora das faixas anteriores, o(a) aluno(a) terá a oportunidade de fazer uma terceira avaliação (PF) envolvendo todo o conteúdo do curso. Caso a média de MP com a PF seja superior a 4,9, o(a) aluno(a) é aprovado(a). Caso não seja, o(a) aluno(a) é reprovado(a).
Obs1: Caso o(a) aluno(a) falte alguma das provas (P1, P2 ou PF) e tenha pelo menos 50% de presença no curso, ele(a) poderá fazer uma prova de 2º chamada (2Ch), envolvendo todo o conteúdo do curso, para substituir a nota faltante. Essa avaliação tem um nível de dificuldade superior as demais. Além disso, não é necessário que a falta seja justificada, apenas que tenha a presença necessária.
Obs2: Caso o(a) aluno(a) falte a P1 ou a P2, ele(a) deverá necessariamente fazer a PF já que ela ocorrerá antes da prova de 2º chamada. A PF só será corrigida caso o(a) aluno(a) fique com uma média parcial (MP) que não leve a aprovação direta ou reprovação direta, após a inclusão da nota da 2Ch.
Obs3: Caso o(a) aluno(a) falte 2 ou mais provas, ele(a) será reprovado.
Obs4: Em toda aula será realizada uma chamada e anotada as presenças dos alunos. Porém, não há cobrança de presença nas aulas para que os alunos sejam aprovados, ou seja, nenhum aluno(a) será reprovado(a) ou prejudicado(a) por faltas nas aulas. A chamada é apenas para controle interno do professor e para identificar quem terá direito a prova de segunda chamada, se necessário.
Obs5: Será necessário o uso de calculadoras em todas as avaliações (que sejam apenas calculadoras). Além disso, todas as provas irão conter um pequeno formulário que será divulgado previamente aqui no site. Obviamente não será permitido usar a calculadora do celular durante a prova.
Obs6: Em todas as provas vai ser fornecida a tábua de mortalidade a ser considerada nas questões da prova envolvendo tábuas de mortalidade. Os alunos não podem escrever ou rasurar essa tabela e ela deverá ser devolvida ao final de cada prova para ser reaproveitada posteriormente.
Obs7: No dia de prova o professor pode solicitar que alguns alunos mostrem um documento com foto para comprovar que ele(a) é realmente um dos alunos inscritos na disciplina (no geral essa medida é rara e só será tomada em relação aos alunos que não comparecem nas aulas).
IMPORTANTE: Qualquer aluno(a) que colar ou que estiver envolvido(a) de alguma forma em uma tentativa de fraude durante alguma das provas será automaticamente reprovado(a) com média final zero. 👀
Datas importantes:
P1 - 28/05 (terça-feira) [ Atenção que o dia mudou! ]
P2 - 04/07 (quinta-feira)
PF - 16/07 (terça-feira)
2Ch - 18/07 (quinta-feira)
OBS: As provas P1, P2 e PF começarão às 10h e terão o término prorrogado para 12:30. Esses 30 minutos adicionais são uma ajuda para que os alunos tenham mais tempo para resolver a prova, mas alunos bem preparados terão condições de resolver tudo em 2h, caso não queira ficar até mais tarde.
Formulários, Provas, Testes, Listas e Gabaritos:
Tábua de mortalidade genérica utilizada nas atividades do curso: LINK PARA TÁBUA DE MORTALIDADE
Primeira prova com gabarito: LINK
Notas:
Notas:
NOTAS DA P1: LINK
( Prova valia um total de 10,8 )
Comentários: Os resultados da turma ficaram em média no 5,0, mas infelizmente a mediana ficou abaixo de 5,0. Teve um grupo de 4 alunos que mandaram muito bem e puxaram bastante a média para cima, mas o intervalo unitário (de extremos inteiros) com maior concentração das notas foi entre 3,0 e 4,0 e isso é algo que não é bacana. Na próxima aula (04/06) as provas serão entregues e eu conversarei mais com a turma sobre alguns problemas sérios que foram detectados (e algumas coisas positivas também).
Para aqueles que não conseguiram chegar na nota 4,0 pelo menos, recomendo não desanimar e procurar estudar o conteúdo um pouco em todas as semanas, fazendo os exercícios e tirando dúvidas. Procurem identificar quais foram os problemas que dificultaram a obtenção de um bom resultado para melhorar na próxima avaliação e no trabalho. Estou à disposição para auxiliar no que for possível e conversar sobre eventuais dificuldades que vocês tiveram no processo de estudo e espero que vocês consigam chegar mais bem preparados nas próximas avaliações.
Por outro lado, parabéns aos 6 alunos que foram bem na prova, conseguindo ultrapassar a nota 6,5 na disciplina (1/3 da turma) e parabéns em especial aos 4 alunos que mandaram muito bem, ficando ali na faixa do 8,0 ~ 8,5: Felipe Duran, Helena Botelho, João Francisco Fortes e João Gabriel Menezes. Vocês mostraram um aprendizado sólido de boa parte da matéria pelo menos e estão no caminho certo para aprovação direta com tranquilidade, bastando manter o ritmo até o final do curso.
Por fim, a turma como um todo (boa parte, na verdade) está apresentando uma presença excelente nas aulas. Isso é algo bem positivo e que certamente contribuí no processo de aprendizado. Então parabéns a turma nesse aspecto, continuem assim e principalmente, não deixem a matéria de lado quando saírem da aula. Estar nas aulas prestando atenção ajuda bastante, mas o aprendizado só é consolidado se houver um estudo quando voltar para casa, revisitando os conceitos importantes frequentemente e fazendo uma ampla quantia de exercícios.
Trabalho:
Segue uma lista das atividades iniciais que os alunos devem fazer referentes ao trabalho. Mais atividades serão colocadas posteriormente.
Formar uma dupla e enviar um e-mail ao professor informando qual a sua dupla. Pode ser enviado já contendo a informação do item de baixo também.
Escolher uma mortality table do SOA (Society of Actuaries) para servir de base para o trabalho e avisar ao professor dessa escolha. Para isso, basta entrar no site https://mort.soa.org/ e colocar a opção "Population Mortality" no filtro "Usage" que aparece na parte superior do lado esquerdo. Daí pode escolher qualquer uma das mais de 500 opções que vão aparecer, desde que vá pelo até a idade 95 anos.
A partir da tábua escolhida, pode-se notar que ela só trará a informação da probabilidade de morte em cada idade (qx). Então será preciso construir a tábua de mortalidade como usualmente conhecemos, obtendo uma coluna de valores de lx e dx. Para isso considere uma raíz da tábua de 100.000.
A partir da tábua "completa" que foi construída no item anterior, deve-se agora construir uma tábua de comutação que contenha todas as 6 comutações fundamentais, para todas as idades. Para construção da tábua de comutação, será necessário definir uma taxa de juros. A taxa de juros anual de cada dupla será definida da seguinte forma: 0,005 x (a + b), onde "a" e "b" são os números associados aos dois alunos da dupla na pauta de inscritos na disciplina, que pode ser consultada aqui no site, logo no começo.
Escolher dois produtos de seguro e dois produtos de anuidades de vida; para calcular o VPA desses produtos a partir dessa tábua de comutação. Podem ser produtos bem simples mesmo, mas deve-se saber explicar extremamente bem como funcionam esses produtos e não podem ser dois produtos exatamente do mesmo tipo. (Então por exemplo, no caso de seguro não pode ser dois seguros vitalícios, ou dois seguros dotal puro, assim como no caso de anuidades não pode ser duas anuidades vencidas vitalícias).
Para os mesmos dois produtos de seguros escolhidos anteriormente, deve-se apresentar uma proposta de divisão do PUP em parcelas periódicas, utilizando o princípio da equivalência. É preciso que para um dos produtos seja apresentada uma divisão em prêmios pagos de modo temporário e no outro uma divisão com prêmios pagos de modo vitalício (a menos que seja incoerente um esquema vitalício para os seguros escolhidos).
Conteúdos apresentados em cada aula:
19/03: Apresentação do curso, informações do funcionamento do curso e motivação de se estudar matemática atuarial.
21/03: Introdução a matemática Atuarial: Diferentes tipos de produtos e conceitos básicos. Revisão de função de sobrevivência. [Exercícios recomendados: Cap2: Q1(a)(b)]
26/03: Revisão de tábuas de mortalidade e distribuição do tempo de vida futura, na versão exata e truncada. [Exercícios recomendados: Cap2: Q1(c)(d)(e) e Q2 (a)(b)(c)(e)]
28/03: Revisão de força de mortalidade e expectativa de vida futura (completa e truncada). [Exercícios recomendados: Cap2: Q1 (demais itens) e Q2(demais itens)]
02/04: Revisão de Matemática financeira: Capitalização composta, conversão de taxa de juros e capitalização contínua. [Exercícios recomendados: Cap3: Q1 e Q2]
04/04: Revisão de Matemática financeira: Anuidades constantes temporárias, postecipadas, antecipadas, diferidas, perpétuas e contínuas. [Exercícios recomendados: Cap3: Q3, Q4 e Q5]
09/04: Não há aula devido a SIAC / JICTAC
11/04: Fator de desconto, expressão fundamental do valor presente dos benefícios de um seguro de vida, valor presente atuarial dos seguros vitalícios e temporários. [Exercício recomendado: Cap4: Q1]
16/04: Caso geral da notação do VPA, regra dos momentos e expressão alternativa para cálculo do VPA no caso contínuo. [Exercício recomendado: Cap4: Q2]
18/04: Seguro Dotal puro e seguro dotal misto: VPA, regra dos momentos e variância. [Exercícios recomendados: Cap4: Q4, Q5 e Q6]
23/04: Feriado
25/04: Seguro pagável no momento da morte com diferimento. Caso discreto utilizando K(x): Seguro pagável no final do ano de morte. [Exercícios recomendados: Cap4: Q7 e Q9]
30/04: Estudo do VPA usando a tábua de mortalidade e relação de recorrência do VPA no caso discreto. [Exercício recomendado: Cap4: Q11]
02/05: Relação entre VPA discreto e contínuo. Seguro com benefício variável: Caso com uma alteração e caso crescente em progressão aritmética. [Exercícios recomendados: Cap4: Q13, Q14 e Q15]
07/05: Seguro com benefício variável: caso decrescente em progressão aritmética e variável continuamente no tempo. Funções e tábuas de comutação. [Exercício recomendado: Cap4: Q16]
09/05: VPA de seguros usando funções de comutação: Anuidades de vida: Ideia geral e anuidades em termos de fator de desconto. [Exercícios recomendados: Cap4: Q17 e Q20 + Questões do IBA]
14/05: Renda vencida vitalícia e temporária: Significado, cálculo de VPA, PUP e variância. [Exercícios recomendados: Cap5: Q1]
16/05: Renda imediata vitalícia e temporária: Significado, cálculo de VPA, PUP, variância e relações com renda vencida. Anuidades de vida diferidas. [Exercícios recomendados: Cap5: Q2 e Q3]
21/05: Anuidades de vida em termos de funções de comutação. Anuidades fracionárias: Conceito e variantes do tempo de vida truncado. [Exercícios recomendados: Cap5: Q5 e Q6]
23/05: Aula de revisão, dúvidas e exercícios para a P1.
28/05: Primeira prova.
04/06: Anuidades de vida fracionárias: Expressões do caso determinístico, anuidades vitalícias vencidas e imediatas.
06/06: Anuidades de vida fracionárias: Caso temporário e diferido. Relação entre VPAs de anuidades fracionadas e não fracionadas. [Exercícios recomendados: Cap5: Q7 e Q8]
11/06: Anuídades de vida contínuas, fórmula de Woolhouse, anuidades de vida garantidas e anuidades de vida crescentes em PG. [Exercícios recomendados: Cap5: Q12 e Q13]
13/06: Anuidades de vida crescentes em PA. Prêmios de benefício: Conceito, definição de perda e princípio da equivalência. [Exercício recomendado: Cap5: Q16]
18/06: