PDF com as notas da PF, da segunda chamada, as médias finais e a situação final de cada um dos alunos: LINK
( Prova final valia um total de 11 pontos )
( Prova de segunda chamada valia um total de 10,5 pontos )
Parabéns aos aprovados e boas férias a todos. Sobre a prova final, esperava um pouco mais de vocês, especialmente na questão 2. O desempenho de todos nessa questão foi um desastre, revelando que ainda há deficiências básicas em tópicos da teoria de probabilidades (mesmo entre os que conseguiram aprovar). Deixo aqui o conselho (de novo) para correrem atrás de sanar essas grandes deficiências na teoria das probabilidades ou do contrário, vão continuar surgindo complicações em outras disciplinas.
Sobre a prova de segunda chamada, parabéns a Carolina por ter conseguido passar de 7,0 em uma prova de dificuldade superior. A maior dificuldade que teve nessa prova também se concentrou na teoria de probabilidades, só que envolvendo detalhes mais avançados. Parabéns também pela aprovação com uma média bastante expressiva.
Sobre a entrega e revisão de prova:
Para os que aprovaram, se quiserem pegar a prova e fazer revisão da correção, podem me escrever um e-mail no início do ano que vem e combinamos algum dia e horário na semana do dia 05 de janeiro para fazer isso no CT. Para os que reprovaram, amanhã à noite eu vou escanear a prova e enviar por e-mail, para que vocês possam fazer a revisão remotamente e aí podem me escrever caso identifiquem algum erro na correção ou na soma dos pontos. Já aviso que só adianta me escrever contestando a nota se realmente acharem algo errado na correção.
Terças e Quintas das 10h às 12h na sala F2 - 031 do CCMN.
PAUTA COM OS ALUNOS INSCRITOS (atualizada dia 03/09)
Capítulo 1: Introdução: Motivação de se estudar Matemática Atuarial 2 e quais as novidades em relação a Matemática Atuarial 1.
Capítulo 2: Teoria de múltiplas vidas: Distribuição conjunta dos tempos de vida futuro, função de sobrevivência conjunta (caso independente e caso dependente), distribuição conjunta dos tempos de vida futuro truncados, status de vida conjunta e status de último sobrevivente. Força de mortalidade para status e generalização para status de k-ésimo sobrevivente via estatísticas de ordem.
Capítulo 3: Seguros de vida envolvendo múltiplas vidas: Seguro de vida para status de vida conjunta e último sobrevivente (casos discretos e contínuos), probabilidades contingentes e seguros contingentes. Cálculos de prêmios únicos, prêmios de benefício e reservas.
Capítulo 4: Anuidades de vida envolvendo múltiplas vidas: Anuidades para status de vida conjunta e último sobrevivente (casos discretos e contínuos), anuidades reversíveis. Cálculos de prêmios únicos, prêmios de benefício e reservas.
Capítulo 5: Modelos de múltiplos decrementos: Principais decrementos possíveis, conceitos fundamentais, modelo de múltiplos decrementos (caso contínuo), força de decremento, tábuas de único decremento, tábuas de múltiplos decrementos. Cálculos de prêmios únicos, prêmios de benefício e reservas.
Capítulo 6: Planos de fundo de pensão: Valor presente atuarial de planos de pensão. Plano de benefício definido e contribuição definida. Prêmios de benefício e reservas para fundos de pensão.
Actuarial Mathematics - N. Bowers, H. Gerber, J. Hickman, D. Jones and C. Nesbitt (Society of Actuaries, 2nd edition) - Livro texto da disciplina
Actuarial mathematics for life contingent risks - David Dickison, Mary Hardy and Howard Waters (Cambridge University Press, 2nd edition, 2013)
Life Contingencies - Wallace Jordan (Society of Actuaries, 2nd edition)
LINK PARA APOSTILA (Última atualização: Dia 11/11, corrigindo a resposta numérica do exemplo 5.3[a])
Gabarito das questões do Capítulo 2: AQUI (atualizado no dia 15/09 com a inclusão do gabarito do item e da questão 12)
Gabarito das questões do Capítulo 3: AQUI (ERRATA: o gabarito correto para a probabilidade da questão 6(d) é 2/3)
Gabarito das questões do Capítulo 4: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 5: AQUI
Gabarito das questões 12 e 13 do Capítulo 5: AQUI
Além da apostila do curso, será colocado também a apostila do pré-requisito da disciplina: Matemática Atuarial 1, caso alguns alunos sintam a necessidade de revisar mais a fundo os conteúdos necessários:
Apostila de Matemática Atuarial 1
Gabarito das questões do Capítulo 2 de Mat. Atuarial 1: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 3 de Mat. Atuarial 1: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 4 de Mat. Atuarial 1: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 5 de Mat. Atuarial 1: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 6 de Mat. Atuarial 1: AQUI
Gabarito das questões do Capítulo 7 de Mat. Atuarial 1: AQUI
20/11 (quinta) - Dia da consciência negra.
Ao longo do curso serão aplicadas duas provas (P1 e P2), nos dias que estão indicados mais abaixo; e antes de realizar a P1. os alunos devem escolher entre duas opções de avaliação. Os alunos que não se manifestarem até a realização da P1 estarão automaticamente alocados na Opção 2:
Opção 1: (recomendável): Além das duas provas, os alunos deverão realizar também um trabalho em dupla para ser apresentado remotamente em algum dia das últimas semanas do curso. Haverá uma coleção bem diversa de dias e horários para cada grupo escolher. Nessa modalidade, a P1 terá peso 40%, a P2 terá peso 40% e o trabalho terá peso 25% na composição da média parcial (totalizando 105% mesmo, com 5% de bônus). Além disso, o(a) aluno(a) será aprovado(a) direto se satisfizer pelo menos um dos dois critérios abaixo:
( 1 ) Se a média parcial for superior a 6,9
( 2 ) Se o(a) aluno(a) obtiver nota superior a 4,9 nas três avaliações.
Opção 2: O(a) aluno(a) terá que fazer apenas as duas provas. Nesse caso, cada prova terá peso 50% e a média para aprovação direta será 7,0 mesmo.
Independente da opção escolhida, se o(a) aluno(a) não se enquadrar no devido critério para aprovação direta, ele(a) deverá fazer uma terceira avaliação (PF) envolvendo todo o conteúdo do curso. Caso a média entre a média parcial e a PF seja superior a 4,9, o(a) aluno(a) é aprovado(a). Caso não seja, o(a) aluno(a) é reprovado(a).
Obs1: Caso o(a) aluno(a) falte alguma das provas (P1, P2 ou PF), ele(a) precisará apresentar uma justificativa plausível para a falta (com as devidas comprovações, quando couber)
para poder fazer a prova de 2º chamada (2Ch), envolvendo todo o conteúdo do curso, para substituir a nota faltante. Essa avaliação tem um nível de dificuldade superior as demais.
Obs2: Caso o(a) aluno(a) falte a P1 ou a P2, ele(a) deverá necessariamente fazer a PF já que ela ocorrerá antes da prova de 2º chamada. A PF só será corrigida caso o(a) aluno(a) fique com uma média parcial (MP) que não leve a aprovação direta ou reprovação direta, após a inclusão da nota da 2Ch.
Obs3: Caso o(a) aluno(a) falte 2 ou mais provas, ele(a) será reprovado.
Obs4: Em toda aula será realizada uma chamada e anotada as presenças dos alunos. Porém, não há cobrança de presença nas aulas para que os alunos sejam aprovados, ou seja, nenhum aluno(a) será reprovado(a) ou prejudicado(a) por faltas nas aulas. A chamada é apenas para controle interno do professor.
Obs5: Será necessário o uso de calculadoras em todas as avaliações (que sejam apenas calculadoras). Obviamente não será permitido usar a calculadora do celular durante a prova.
IMPORTANTE: Qualquer aluno(a) que colar ou que estiver envolvido(a) de alguma forma em uma tentativa de fraude durante alguma das provas será automaticamente reprovado(a) com média final zero. 👀
P1 - 09/10 (quinta-feira)
P2 - 11/12 (quinta-feira)
PF - 16/12 (terça-feira)
2Ch - 18/12 (quinta-feira)
OBS: As provas P1, P2 e PF começarão às 10h e terão o término prorrogado para as 13h. Essa 1h adicional é uma ajuda para que os alunos tenham mais tempo para resolver a prova, mas alunos bem preparados terão condições de resolver tudo em 2h, caso não queiram ficar até mais tarde.
Primeira prova com gabarito: LINK (aplicada no dia 09/10)
Segunda prova com gabarito: LINK (aplicada no dia 11/12)
Prova final com gabarito: LINK (aplicada no dia 16/12)
P1 de 2024 para auxíliar como material de estudo: LINK (O conteúdo dessa prova é exatamente o mesmo da nossa P1)
Versão da P1 de 2024 com as respostas na última página: LINK
P2 de 2024 para auxiliar como material de estudo: LINK (O conteúdo dessa prova é exatamente o mesmo da nossa P1)
Versão da P2 de 2024 com as respostas na última página: LINK
Notas finais: LINK
( Prova final valia um total de 11 pontos )
( Prova de segunda chamada valia um total de 10,5 pontos )
Notas da P2 + média parcial dos alunos: LINK
( Prova valia um total de 11,8 considerando a questão extra de autoavaliação )
Comentários sobre a P2: Em média os resultados da turma foram bons, muito melhores que na P1, porém infelizmente a situação da turma está muito heterogênea. Enquanto quatro alunos estavam dominando a matéria e tiveram um desempenho muito bom (com um deles sendo extraordinário), puxando a média bastante para cima, tem uma outra parcela da turma em uma situação delicada e precisa estudar bastante para a PF, tendo bastante atenção na coerência daquilo que estão fazendo. Para esses alunos, recomendo estudar com bastante atenção as provas e os gabaritos, além de fazer (sozinhos) o máximo de exercícios que conseguirem. Se tiverem dúvidas podem me escrever.
Parabéns aos quatro alunos que se destacaram nessa prova, superando a nota 8,0 e parabéns em especial para a Carolina pelo desempenho extraordinário que teve na prova e a grande confiança que demonstrou nas suas soluções, superando a nota onze (!!!), mesmo entregando a prova bem antes do horário limite. Arrasou!
Sobre a entrega e revisão da P2: Eu vou estar na UFRJ na próxima segunda-feira (dia 15/12) de 8h até umas 14h pelo menos, então em qualquer horário nesse intervalo podem buscar a prova comigo, só peço que quem desejar pegar na segunda-feira que me envie um e-mail para combinarmos o horário e local. Outra opção é pegar comigo na própria terça-feira mesmo (dia 16/12) de 7h às 10h na sala F2-035 ou durante a aplicação da nossa PF mesmo. Para quem for fazer a PF, recomendo buscar a prova comigo pelo menos 1h antes para poderem ver meus comentários detalhados e não cometer os mesmos erros de novo.
Sobre a planilha: As notas foram inseridas destacando separadamente a pontuação pela questão extra de autoavaliação. Então, a primeira nota que aparece é a nota de fato obtida na prova e a nota que aparece após o sinal de "+" é a pontuação extra que foi obtida pela autoavaliação. Naturalmente os alunos estão com zero nessa pontuação foram aqueles que estimaram uma nota que distou mais de 0,4 da nota verdadeira. Além disso, eu incluí as médias e medianas tanto contando a pontuação extra (em parenteses) quanto sem contar essa pontuação extra (fora do parênteses). Também inclui qual a média das notas estimadas pelos alunos à título de curiosidade. Em média a turma foi melhor do que tinha estimado.
Sobre o cálculo da média parcial: Todos os alunos que fizeram a P1 e a P2 foram justamente os que optaram pela avaliação com trabalho. Então, a média parcial de todos foram calculadas de acordo com a opção 1, ou seja, 0,4*P1 + 0,4*P2 + 0,25*Trabalho. Aqueles que tiraram mais de 4,9 em todas as avaliações ou ficaram com média acima de 6,9 aprovaram direto.
Notas da P1: LINK (aplicada dia 09/10)
( Prova valia um total de 12,0 considerando a questão extra de autoavaliação )
Comentários: Os resultados da turma em média foram um pouco ruins, com a maioria dos alunos revelando algumas deficiências em conceitos básicos da disciplina e principalmente, dos requisitos de teoria de probabilidades. De modo geral, o desempenho dos alunos foram muito ruins nas questões 1 e 2; e foi satisfatório na questão 4, reforçando justamente que é preciso darem mais atenção a parte de probabilidades, tendo sempre o cuidado de estarem compreendendo de modo sólido os conceitos e estratégias envolvidas nesse pré-requisito. Isso é importante até mesmo para melhorarem o desempenho da P2, cujo conteúdo também é totalmente construído sobre uma base sólida de probabilidades. Então, especialmente para aqueles que não conseguiram chegar na nota 5,0, fiquem de olho nisso e tirem as dúvidas sempre que necessário.
Parabéns ao João Pedro e ao Pedro, por terem conseguido obter uma nota final na P1 superior a 7,0, que já considero bastante bom. Esse bom resultado, no geral, foi decorrente justamente de uma melhor compreensão dos conteúdos de probabilidade que são exigidos na disciplina. Enfim, estão no caminho certo e é só manter esse ritmo para a P2 também.
Sobre a planilha: As notas foram inseridas destacando separadamente a pontuação pela questão extra de autoavaliação. Então, a primeira nota que aparece é a nota de fato obtida na prova e a nota que aparece após o sinal de "+" é a pontuação extra que foi obtida pela autoavaliação. Naturalmente os alunos estão com zero nessa pontuação foram aqueles que estimaram uma nota que distou mais de 0,4 da nota verdadeira. Além disso, eu incluí as médias e medianas tanto contando a pontuação extra (em parenteses) quanto sem contar essa pontuação extra (fora do parênteses). Também inclui qual a média das notas estimadas pelos alunos à título de curiosidade. Foi interessante ver o quão pertinho ela chegou da média verdadeira, ficando apenas 0,1 abaixo, aproximadamente.
Sobre entrega e revisão da P1: Isso será feito durante o intervalo da aula do dia 21/10. Vou aproveitar para chamar atenção de alguns erros sérios que foram bastante cometidos, esperando que eles não voltem a se repetir nas demais avaliações.
Relatórios de avaliação de cada grupo:
Grupo A (Fabio e Guilherme): LINK
Grupo B (Pablo e Pedro): LINK
Grupo C (João Pedro e Natalia): LINK
Grupo D (Eduardo e Paulo): LINK
Tabela de horários para agendar a apresentação do trabalho: LINK (vejam a lista de horários já reservados antes de enviar e-mail)
-> Embora eu tenha indicado 2 horas para cada grupo, é esperado que em média todo o processo de apresentação e perguntas dure entre de 1 hora e 1 hora e meia.
Horários já reservados por algum grupo:
Dia 12/12 (sexta) de 11h - 13h
Dia 12/12 (sexta) de 20h - 22h
Dia 13/12 (sábado) de 9h - 11h
Dia 13/12 (sábado) de 11h - 13h
Sobre o trabalho: É uma atividade realizada em duplas que consiste no cumprimento de determinadas tarefas bastante flexíveis que são listadas abaixo e a realização de uma apresentação para o professor, por videochamada, em um horário previamente acordado que seja conveniente para os alunos da dupla (durante a primeira quinzena de dezembro). Mais atividades serão colocadas posteriormente.
Escolher uma mortality table do SOA (Society of Actuaries) para servir de base para o trabalho (pode avisar ao professor dessa escolha, mas não é obrigatório). Para isso, basta entrar no site https://mort.soa.org/ e colocar a opção "Population Mortality" no filtro "Usage" que aparece na parte superior do lado esquerdo. Daí pode escolher qualquer uma das mais de 500 opções que vão aparecer, desde que vá pelo até a idade 95 anos. Podem usar a mesma tábua já usada no trabalho de Mat. Atuarial 1 se quiserem.
A partir da tábua escolhida, pode-se notar que ela só trará a informação da probabilidade de morte em cada idade (qx). Então será preciso construir a tábua de mortalidade como usualmente conhecemos, obtendo uma coluna de valores de lx e dx. Para isso considere uma raíz da tábua de 100.000.
Cada grupo deve determinar qual taxa de juros será usada nas atividades (que será a mesma em todas). A taxa de juros anual de cada dupla será definida da seguinte forma: 0,005 x (a + b), onde "a" e "b" são os números associados aos dois alunos da dupla na pauta de inscritos na disciplina, que pode ser consultada aqui no site, logo no começo.
Escolher dois produtos de seguro para status que envolvam pelo menos duas vidas e calcular o PUP desses produtos. É preciso que cada produto esteja associado a um status diferente e que um deles esteja no caso discreto e o outro no contínuo.
Escolher um produto de seguro de contingência e calcular seu PUP.
Escolher um produto de anuidade para status que envolva pelo menos duas vidas e calcular seu PUP.
Escolher um produto de anuidade reversível e calcular seu PUP.
Para o seguro de contingência proposto anteriormente, deve-se propor uma divisão plausível do PUP em prêmios mensais, calculando qual seria o valor desses prêmios.
Abaixo estão as últimas atividades do trabalho, que envolvem modelos multidecrementais. Para essas atividades, vocês vão considerar a mesma tábua já escolhida antes (como unidecremental para o evento morte) e também a tábua de entrada em invalidez que pode ser acessada pelos seguintes links: LINK - PDF, LINK - XLSX, que é baseada na tábua Álvaro Vindas.
Considerando um modelo com duas causas de decremento (morte e invalidez), de acordo com as tábuas mencionadas antes, construa uma tábua multidecremental considerando um grupo inicial de 100.000 indivíduos com 15 anos de idade.
Escolha uma idade x entre 20 e 50 anos e escolha um valor de b1 > 0. Um indivíduo de idade x contratou um seguro vitalício com duas coberturas mutuamente exclusivas: O seguro paga benefício b1 no momento de entrada em invalidez, se ocorrer; ou paga benefício 10.000*log[(K+1)^3] no momento da morte, onde K representa o número de anos inteiros decorrido entre a contratação do produto e a morte. Calcule o PUP desse seguro utilizando a tábua multidecremental construída.
Considerando a mesma idade x do item anterior, considere agora que o indivíduo de idade x contratou um seguro de único decremento que paga benefício de R$ 200.000,00 em caso de invalidez. Utilizando um modelo unidecremental, calcule o PUP desse seguro.
12/08: Apresentação do curso, motivação de estudar Mat. Atuarial 2 e diferença entre o conteúdo de Mat. Atuarial 1 e Mat. Atuarial 2.
14/08: Função de densidade conjunta dos tempos de vida futura e função de sobrevivência conjunta. [Exercícios recomendados: Cap 2: Q1 (a, b, c, d, e)]
19/08: Construção da função de sobrevivência conjunta e resultado útil para probabilidades de ordenações de mortes no caso iid. [Exercícios recomendados: Cap2: Q1(f) e Q2]
21/08: Utilizando a função densidade conjunta dos tempos de vida futura quando não há independência e desenvolvimento da distribuição conjunta dos tempos de vida futura truncados. [Exercícios recomendados: Cap2: Q3(a, b, c, d, e)]
26/08: Status de vida conjunta: Cálculos de probabilidades, obtenção da distribuição e força de mortalidade. [Exercícios recomendados: Cap2: Q3(f) e Q4]
28/08: Status de vida conjunta: Tempo de vida truncado e expectativa de duração do Status. Status de último sobrevivente: Definição e cálculo de probabilidades. [Exercício recomendado: Cap2: Q5]
02/09: Não tem aula devido ao Café Atuarial
04/09: Status de último sobrevivente: Cálculo de probabilidades mais gerais, obtenção da distribuição e força de mortalidade. Relações importantes entre T(xy) e T(xybarra). [Exercício recomendado: Cap2: Q6]
09/09: Status de último sobrevivente: Tempo de vida truncado do status e tempo esperado de duração so status. Realização de um exemplo amplo sobre o assunto. [Exercícios recomendados: Cap2: Q8(a,b,c,d,e)]
11/09: Covariância entre T(xy) e T(xybarra), bem como obtenção da distribuição conjunta entre eles. [Exercícios recomendados: Cap2: Q8(f,g) e Q11]
16/09: Modelo de Impacto Comum (Common Shock Model) e generalização do status para o caso de m-ésima morte. [Exercícios recomedados: Cap2: Q12(a,d,e)]
18/09: Exemplo de cálculos envolvendo m-ésima morte e introdução aos seguros envolvendo múltiplas vidas. [Exercícios recomendados: Cap2: Q13 e Q14(a,b,c,d,f)]
23/09: Seguros para status: Cálculo de VPA e PUP nas variações vitalício, temporário, diferido, contínuo e discreto. [Exercícios recomendados: Cap3: Q1 e Q4]
25/09: Não tivemos aula devido a SIAC.
30/09: Propriedades úteis sobre seguros para status e probabilidades de contingência: Definição, notação, cálculo e propriedades. [Exercício recomendado: Cap3: Q2]
02/10: Seguro de contingência: Notação, metodologia de cálculo, interpretação e propriedades úteis. [Exercícios recomendados: Cap3: Q5, Q6(a, b) e Q7]
07/10: Aula de dúvidas e exercícios para a P1
09/10: Aplicação da P1
14/10: Anuidades de vida no contexto de múltiplas vidas: Cálculo de VPA e PUP nas anuidades para status nos casos vitalício, temporário, diferido, vencido e imediato. [Exercício recomendado: Cap4: Q1]
16/10: Prêmios de benefício e reserva no contexto de produtos envolvendo múltiplas vidas. Desenvolvimento do VPA para anuidades reversíveis vitalícias. [Exercícios recomendados: Cap4: Q2 e Q4]
21/10: Exemplo de anuidade reversível vitalícia, anuidade reversível fracionada e conceito de anuidade reversível com componente temporário. [Exercício recomendado: Cap4: Q5]
23/10: Não tem aula devido ao IV Dias Probabilísticos no Fundão.
28/10: Cálculo de VPA em anuidades reversíveis com componente temporário no início, no termino e em ambos. Prêmio de benefício para anuidades reversíveis. [Exercício recomendado: Cap4: Q6]
30/10: Introdução ao modelo de múltiplos decrementos: motivação, exemplos, construção da distribuição conjunta entre (T,J) e marginais de T e J.
04/11: Taxa de falha global e taxa de falha específica por decremento, obtenção da densidade conjunta entre T e J, distribuições condicionais envolvendo T e J. [Exercício recomendado: Cap5: Q1]
06/11: Versão discreta do modelo multidecremental, distribuição de (K,J) e introdução à construção das tábuas multidecrementais. [Exercício recomendado: Cap5: Q2]
11/11: [SLIDES] Tábuas multidecrementais: Processo de construção, interpretação das colunas e utilização da tábua para cálculos de probabilidade. [Exercício recomendado: Cap5: Q3]
13/11: Modelos de um único decremento: Probabilidades de saída sem considerar competição e relação entre modelo multidecremental e unidecremental. [Exercícios recomendados: Cap5: Q4 e Q6]
18/11: Exemplo de construção de modelo unidecremental e fórmula geral para cálculo de VPA em contexto de múltiplos decrementos. [Exercícios recomendados: Cap5: Q5 e Q7]
20/11: Sem aula (feriado)
25/11: Sem aula (palestras da CAS)
27/11: Cálculo de VPA com múltiplos decrementos quando os benefícios são constantes e utilizando tábua multidecremental. Exemplos de cálculo de PUP. [Exercícios recomendados: Cap5: Q8 e Q9(a)]
02/12: Cálculo de VPA com múltiplos decrementos quando os benefícios crescem linearmente com o tempo e utilizando tábua multidecremental. [Exercícios recomendados: Cap5: Q9(b) e Q10]
04/12: Aproximação para cálculo de VPA via tábua multidecremental quando benefício é uma função não usual. Prêmios de benefício e reservas pelo método prospectivo, no contexto multidecremental. [Exercícios recomendados: Cap5: Q9(c) e Q12]
09/12: Aula de dúvidas e exercícios para a P2.
11/12: Aplicação da P2.
16/12: Aplicação da Prova Final.
18/12: Aplicação da Prova de Segunda Chamada.