Polinomios - Valor numérico

1. Definiciones

• Expresión algebraica: combinación finita de números, letras (variables) y operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación) que representa una magnitud.

• Variable: símbolo que puede tomar distintos valores numéricos.

• Polinomio: expresión algebraica en la que los exponentes de las variables son enteros no negativos y sólo aparecen sumas, restas y multiplicaciones.

• Grado de un polinomio: el exponente mayor de la variable principal.

• Término independiente: el valor numérico del polinomio al sustituir x = 0 (sin variable).

• Valor numérico: resultado al reemplazar las variables por números y efectuar las operaciones indicadas.

• Suma de coeficientes: valor obtenido al evaluar el polinomio en x = 1.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Valor numérico: si f(x) es una expresión, entonces f(a) se obtiene sustituyendo x = a.

• Cambio de variable: f(g(t)) resulta de reemplazar x por g(t) y simplificar.

• Suma de los primeros n enteros: 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2.

• Suma de coeficientes: P(1).

• Término independiente: P(0).

• Evaluación por partes: para funciones definidas por intervalos, aplicar la regla correspondiente según el valor de x.

3. Procedimientos paso a paso

1. Identificar la expresión y su dominio (intervalos si hay).

2. Sustituir la variable con el valor dado (x = a).

3. Calcular potencias y multiplicaciones.

4. Sumar o restar todos los términos.

5. Expresar el resultado como valor numérico de la expresión.

6. Para cambio de variable, escribir la nueva expresión y simplificar todos los términos.

7. Para sumar coeficientes, evaluar en x = 1; para término independiente, en x = 0.

4. Ejemplos resueltos

a) Valor numérico de f(x) = 2x + 1

• f(1) = 2·1 + 1 = 3

• f(-2) = 2·(−2) + 1 = −3

• f(−½) = 2·(−½) + 1 = 0

b) Función definida por tramos H(x)

• Si x < 0: H(x) = x². Por ejemplo, H(−2) = (−2)² = 4.

• Si x ≥ 0: H(x) = x + 1. Por ejemplo, H(2) = 2 + 1 = 3.

c) Polinomio lineal y suma de coeficientes

• Sea P(x) de grado 1 tal que P(3) = 12 y P(2) = 8. Planteamos:

• 3a + b = 12 y 2a + b = 8 ⇒ a = 4, b = 0. Entonces P(x) = 4x.

• Suma de coeficientes: P(1) = 4·1 = 4.

• Serie aritmética: P(1) + … + P(10) = 4·(1+2+…+10) = 4·55 = 220.

d) Costo de plan pospago

Para C(x) representando el costo mensual:

• C(x) = 39 si 0 ≤ x ≤ 400.

• C(x) = 39 + 0.2·(x − 400) si x > 400.

• Por ejemplo, C(480) = 39 + 0.2·80 = 55.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Evaluar valor numérico en puntos específicos.

• Cambio de variable en expresiones algebraicas.

• Funciones definidas por intervalos.

• Determinar coeficientes de polinomios dados valores.

• Calcular suma de coeficientes y término independiente.

• Aplicar sumas de series aritméticas.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Telefonía móvil: costo en planes pospago según minutos consumidos.

• Economía: ingresos o costos modelados con polinomios.

• Física: posición o energía en función del tiempo.

• Ingeniería: aproximaciones polinomiales para curvas de calibración.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Suma de coeficientes: P(1).

• Término independiente: P(0).

• Polinomio mónico: coeficiente principal igual a 1.

• Operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y división (cuando el divisor es monomio).

• Factorización: descomponer en factores para simplificar cálculos.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• Olvidar cambiar el signo al sustituir x = −a.

• No elevar correctamente los exponentes antes de multiplicar.

• Confundir el término independiente (P(0)) con el coeficiente de x.

• Aplicar la fórmula de serie sin verificar el número de términos.

• División por cero en funciones definidas por tramos.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Notación estándar: P(x), Q(x), f(x).

• Polinomios por recursión o definiciones funcionales especiales.

• Relación entre polinomios y ecuaciones algebraicas de grado superior.

• Uso de software algebraico para comprobar resultados.

10. Objetivo pedagógico

Que el alumno comprenda y aplique correctamente las definiciones y procedimientos para evaluar expresiones y polinomios, realice cambios de variable, identifique propiedades de coeficientes y evite errores comunes en cálculos algebraicos.