Cubo de un binomio - Suma y diferencia de cubos

1. Definiciones

• Cubo de un binomio: expansión algebraica de (a + b)³ o (a – b)³ que resulta en un polinomio de grado tres.

• Suma de cubos: expresión de la forma a³ + b³, que puede factorizarse.

• Diferencia de cubos: expresión de la forma a³ – b³, que también admite factorización.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

1. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

2. (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

3. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

4. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

3. Procedimientos paso a paso

3.1 Expandir un binomio al cubo

1. Identificar los términos a y b.

2. Aplicar la fórmula: (a±b)³ según corresponda.

3. Multiplicar cada término: calcular a³, 3a²b, 3ab² y b³.

4. Sumar o restar los términos según el signo del binomio.

3.2 Factorizar suma o diferencia de cubos

1. Para a³ + b³, usar (a + b)(a² – ab + b²).

2. Para a³ – b³, usar (a – b)(a² + ab + b²).

3. Verificar multiplicando de nuevo para comprobar la factorización.

4. Ejemplos resueltos

4.1 Expansión de binomios

• (x + 2)³:
  Aplicamos (a + b)³ con a = x, b = 2:
  x³ + 3x²·2 + 3x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.

• (x – 1)³:
  Con a = x, b = 1 y signo –, resulta:
  x³ – 3x²·1 + 3x·1² – 1³ = x³ – 3x² + 3x – 1.

• (2x + 1)³:
  (2x)³ + 3(2x)²·1 + 3(2x)·1² + 1³ = 8x³ + 12x² + 6x + 1.

• (5x – 2)³:
  (5x)³ – 3(5x)²·2 + 3(5x)·2² – 2³ = 125x³ – 150x² + 60x – 8.

4.2 Suma y diferencia de cubos con datos

• Si a + b = 5 y ab = 3, entonces
  5³ = a³ + b³ + 3·ab·(a + b) ⇒ 125 = a³ + b³ + 45 ⇒ a³ + b³ = 80.

• Si a + b = 5 y ab = 2, entonces
  5³ = a³ + b³ + 3·2·5 ⇒ 125 = a³ + b³ + 30 ⇒ a³ + b³ = 95.

• Factorizar x³ + 8:
  x³ + 2³ = (x + 2)(x² – 2x + 4).

• Factorizar x³ – 1:
  x³ – 1³ = (x – 1)(x² + x + 1).

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Expandir binomios como (3x – 4)³ o (x + y)³.

• Calcular a³ + b³ y a³ – b³ dados a + b y ab.

• Factorizar sumas y diferencias de cubos variadas.

• Verificar resultados sustituyendo valores numéricos.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

La fórmula del cubo de un binomio se aplica en problemas de volumen de sólidos compuestos (por ejemplo, volumen de un cubo aumentado en uno de sus lados), en desarrollo de series en ingeniería y en análisis de crecimiento compuesto en estadísticas. También sirve en combinatoria: los coeficientes 1–3–3–1 corresponden al triángulo de Pascal.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Los coeficientes 1, 3, 3, 1 son coeficientes binomiales.

• La fórmula de suma de cubos y diferencia de cubos preserva la simetría de la expresión.

• Se relaciona directamente con el desarrollo del binomio de Newton.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• Olvidar multiplicar por 3 los términos intermedios a²b y ab².

• Confundir los signos en la expansión de (a – b)³.

• No comprobar la factorización multiplicando los factores obtenidos.

• Omitir el término independiente b³ o –b³.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

Este tema es base para la factorización de polinomios de grado mayor, se extiende al estudio de raíces complejas de ecuaciones cúbicas y es fundamento en la teoría de anillos de polinomios.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante comprenda y domine la expansión de binomios al cubo, identifique patrones de coeficientes binomiales y aplique la factorización de sumas y diferencias de cubos en distintos contextos algebraicos y geométricos.