Binomios con un término en común - Dif. de cuadrados

1. Definiciones

• Binomio con término común: producto de dos expresiones lineales (x + a) y (x + b) donde x es el término compartido.

• Diferencia de cuadrados: producto de una suma y una resta de dos términos (a + b)(a - b), que resulta en a² - b².

• Término: cada monomio que forma parte de un polinomio.

• FOIL: técnica de multiplicación de binomios (Primeros, Exteriores, Interiores, Últimos).

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + a·b

• (a + b)(a - b) = a² - b²

• Regla de signos: +·+=+, +·-=-, -·+=-, -·-=+.

• (√a + √b)(√a - √b) = a - b

3. Procedimientos paso a paso

1. Multiplicación de binomios con término común:

   1. Multiplica x·x → x².

   2. Multiplica x·b y a·x → (a + b)x.

   3. Multiplica a·b → término independiente.

   4. Suma: x² + (a + b)x + a·b.

2. Diferencia de cuadrados:

   1. Identifica (a + b)(a - b).

   2. Aplica a² - b².

4. Ejemplos resueltos

4.1. Binomios con término común

• (x+5)(x+3): x² + 8x + 15.

• (x−4)(x−7): x² − 11x + 28.

• (x+3)(x+6): x² + 9x + 18.

4.2. Diferencia de cuadrados

• (x+7)(x−7): x² − 49.

• (√3+√2)(√3−√2): 1.

4.3. Ejemplos con datos

• Si x² + 3x = 1, calcular (x+1)(x+2)+(x+5)(x−2): resultado −6.

• Si x² + 1 = 3x, calcular (x+1)(x+2)(x−4)(x−5): resultado 55.

• Si x=2014²−2016·2012, hallar 2x+1: resultado 9.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Multiplicar binomios con término común: (x+3)(x+6), (x+11)(x+5), etc.

• Aplicar diferencia de cuadrados: (a+30)(a−30), (8+b)(8−b).

• Resolver con datos: si x²+5x=7, hallar x(x+5)+(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).

• Simplificar y racionalizar radicales: (√5−2)/(√5+2).

• Determinar verdad (V/F) de identidades: (x+7)(x+3)=x²+10x+21, etc.

• Factorizar polinomios: x⁴−1, m⁴−n⁴.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Área de rectángulos: descomponer (x+a)(x+b) en áreas parciales.

• Diseño y empaques: optimizar cortes minimizando desperdicio.

• Arquitectura y agricultura: división de terrenos y parcelas.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Conmutativa: (x+a)(x+b)=(x+b)(x+a).

• Asociativa de la multiplicación.

• Distributiva: base del FOIL.

• Identidad de diferencia de cuadrados.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• Olvidar combinar ax+bx.

• Errores de signo en términos negativos.

• Omitir el término independiente ab.

• No identificar la forma (a+b)(a−b).

• Confundir (a+b)² con a²+b².

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Factorización inversa: usar identidades para factorizar cuadráticos.

• Extensión: productos de polinomios de mayor grado.

• Relación: completar el cuadrado en ecuaciones cuadráticas.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante comprenda y aplique de forma clara y confiable el producto de binomios con término común y la diferencia de cuadrados, desarrollando destrezas algorítmicas y capacidad de interpretación geométrica.