Cuadrado de un binomio - Id. de Legendre

1. Definiciones

• Productos notables: identidades algebraicas que resultan de multiplicaciones especiales y se obtienen directamente sin multiplicar término a término.

• Cuadrado de un binomio (suma): elevar al cuadrado la suma de dos términos, (a + b)².

• Cuadrado de un binomio (resta): elevar al cuadrado la resta de dos términos, (a - b)².

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. (p + q)² - (p - q)² = 4 p q

4. a² + b² = (a + b)² − 2ab

5. x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2

3. Procedimientos paso a paso

Expandir (a + b)²

1. Escribe (a + b)(a + b).

2. Multiplica cada término:
   a·a = a², a·b = ab, b·a = ab, b·b = b².

3. Suma términos semejantes:
   a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Expandir (a - b)²

1. Escribe (a - b)(a - b).

2. Multiplica teniendo en cuenta el signo:
   a·a = a², a·(-b) = -ab, -b·a = -ab, -b·-b = b².

3. Combina:
   a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

4. Ejemplos resueltos

• (x + 5)² = x² + 2·x·5 + 5² = x² + 10x + 25

• (m + n)² = m² + 2mn + n²

• (m + 12)² = m² + 2·m·12 + 12² = m² + 24m + 144

• (5x + 4)² = (5x)² + 2·5x·4 + 4² = 25x² + 40x + 16

• (2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

• (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1

• (x - 3)² = x² - 6x + 9

• (x - 5)² = x² - 10x + 25

• (2x - 5)² = 4x² - 20x + 25

• (3x - 2y)² = 9x² - 12xy + 4y²

• (x² - 3)² = x⁴ - 6x² + 9

• Diferencia de cuadrados de binomios:
  (2x + 3y)² - (2x - 3y)² = 4x² +12xy+9y² - (4x² -12xy+9y²) = 24xy

• (x² + 1)² - (x² - 1)² = 4x²

• Si a + b = 5 y ab = 3, entonces:
  a² + b² = 5² - 2·3 = 19
  a² + b² + 3(a + b) = 19 + 15 = 34

• Si x + 1/x = 4, entonces:
  x² + 1/x² = 4² - 2 = 14

• Si a + b = 6 y a² + b² = 30, entonces:
  36 = 30 + 2ab ⇒ ab = 3

• Si a² + b² = 13 y ab = 2, entonces:
  (a - b)² = 13 - 4 = 9 ⇒ a - b = ±3 ⇒ mayor valor 3

• Si m - n = 6 y m² + n² = 80, entonces:
  36 = 80 - 2mn ⇒ mn = 22

• P = [(mn+3)² - (mn-3)²]/(12m) + [(mn+3)² - (mn-3)²]/(12n)
  Nota: (mn+3)² - (mn-3)² = 12mn, así:
  P = 12mn/(12m) + 12mn/(12n) = n + m

• S = (√5 + √3 + √5 - √3)/(√5 - √3) - (√5 - √3)/(√5 + √3)
  Usando identidades se obtiene S = 8

• Si x = √2 + 1, entonces:
  x² = 3 + 2√2, x⁴ = 17 + 12√2
  (x⁴ + 1)/x² = 6

• Área de un rectángulo de lados x + 5 y x + 6:
  (x + 5)(x + 6) = x² + 11x + 30

• Si (x - 1)² = x, entonces x² + 1/x² = 7

• Si 1/a + 1/b = 4/(a + b), aplicando identidades:
  VI = 2

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Expansión de binomios cuadrados (suma y resta).

• Diferencias de cuadrados de binomios.

• Cálculo de sumas de cuadrados a partir de suma y producto.

• Uso de recíprocos para elevar a la segunda potencia.

• Resolución de ecuaciones simétricas (suma y producto conocidos).

• Cálculo de expresiones con radicales.

• Cálculo de áreas mediante productos notables.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Geometría: interpretar (x + 3)² como el área de un cuadrado de lado x + 3.

• Física/Ingeniería: cálculo rápido de expresiones cuadráticas en diseño y análisis.

• Finanzas: simplificación de fórmulas de interés compuesto con términos binomiales.

• Programación: optimización de código al reconocer patrones de productos notables.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Conmutatividad: el orden de los sumandos no altera el resultado en la expansión.

• Asociatividad: agrupación de términos al combinar términos semejantes.

• Identidad de Pascal: relación con coeficientes binomiales.

• Suma y producto: vínculo entre suma de raíces y productos en ecuaciones de segundo grado.

• Uso de conjugados: facilitan la simplificación de radicales.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• Olvidar el factor 2 en el término medio (2ab).

• Confundir el signo en (a - b)², poniendo +2ab en lugar de -2ab.

• No combinar correctamente términos semejantes.

• Errores al manejar radicales y sus conjugados.

• Olvidar verificar con sustitución numérica para confirmar la expansión.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Generalización: (a + b)ⁿ y el teorema del binomio de Newton.

• Relación con la triángulo de Pascal para obtener coeficientes.

• Extensión a productos notables de tercer grado y superiores.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante comprenda y aplique correctamente las identidades algebraicas de binomios, mejore su agilidad en la manipulación de expresiones cuadráticas y desarrolle hábitos de verificación numérica para garantizar la corrección de sus resultados.