Potenciación, definición y propiedades

1. Definiciones

La potenciación es la operación que consiste en multiplicar una base (a) por sí misma tantas veces como indique el exponente (n). Se escribe an, que equivale a:

an = a · a · a · … · a (n factores).

• Base (a): número que se repite.

• Exponente (n): número de repeticiones.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

1. am · an = am+n

2. am / an = am–n

3. (am)n = am·n

4. (a·b)n = an·bn

5. (a/b)n = an / bn

6. a0 = 1 (para a≠0).

7. a–n = 1 / an

8. (–a)n = si n es par → an, si n es impar → –an

3. Procedimientos paso a paso

1. Identificar las bases y exponentes de cada término.

2. Aplicar la fórmula adecuada (suma, resta o producto de exponentes).

3. Simplificar la potencia numérica resultante.

4. Verificar el signo si la base es negativa y el exponente es par o impar.

5. Comprobar casos especiales: exponente 0 o negativo.

4. Ejemplos resueltos

• Evaluar (–3)4: (–3)·(–3)·(–3)·(–3) = 81.

• Calcular (–2)–3: 1/(–2)3 = –1/8.

• Calcular (2·5)3: 23·53 = 8·125 = 1000.

• Simplificar x5·x–2: = x5+(–2) = x3.

• Simplificar (x2·y3)(x3·y2·z5): = x2+3·y3+2·z5 = x5·y5·z5.

• Comparar (–3)2 = 9 vs –32 = –9: el paréntesis incluye el signo en la potencia.

• Calcular a0: = 1.

• Resolver 32 – (–2)5 + (–12)0: = 9 – (–32) + 1 = 9 + 32 + 1 = 42.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Evaluar potencias de números enteros y negativos.

• Simplificar expresiones con leyes de exponentes.

• Resolver ecuaciones exponenciales sencillas.

• Trabajar exponentes 0 y exponentes negativos.

• Potencias de productos y cocientes.

• Aplicación de exponentes a variables literales.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Interés compuesto: A = P·(1 + i)n.

• Crecimiento poblacional: Pt = P0·rt.

• Escalado de áreas: duplicar lado → área × 22 = 4.

• Escalas logarítmicas y medición de decibelios.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Asociativa de la multiplicación subyacente.

• Conmutativa al cambiar el orden de factores.

• Distributiva del exponente sobre producto y cociente.

• Elemento neutro de la suma de exponentes en productos.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• Confundir (–a)n con –an.

• Olvidar que a0 = 1 para a≠0.

• No restar exponentes al dividir potencias de igual base.

• Aplicar mal exponentes negativos (deben pasar al denominador).

• No multiplicar exponentes al elevar una potencia a otra potencia.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

0n = 0 para n>0. 00 es indeterminado. Las raíces se expresan como exponentes fraccionarios: √a = a1/2, ³√a = a1/3.

10. Objetivo pedagógico

• Entender el significado de base y exponente.

• Dominar las leyes de los exponentes.

• Simplificar y evaluar expresiones exponenciales.

• Prevenir y corregir errores comunes.