Máximos y mínimos

1. Definiciones

• Máximo: valor más alto que alcanza una función en su dominio.

• Mínimo: valor más bajo que alcanza una función en su dominio.

• Dominio ℝ: conjunto de todos los números reales.

• Dominio ℝ⁺: conjunto de todos los números reales positivos.

• Desigualdad de medios (AM ≥ GM): para a, b ≥ 0, (a + b)/2 ≥ √(ab).

• Completamiento de cuadrados: técnica para reescribir ax² + bx + c como a[(x + b/(2a))²] + constante.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

1. x² ≥ 0 para todo x ∈ ℝ.

2. AM ≥ GM: (a + b)/2 ≥ √(ab), igualdad si a = b.

3. Desigualdad de medias ponderadas: (w₁a + w₂b)/(w₁ + w₂) ≥ (a^{w₁} b^{w₂})^{1/(w₁ + w₂)}.

4. Completamiento de cuadrados: ax² + bx + c = a[(x + b/(2a))²] – b²/(4a) + c.

5. Para racionales positivas: x + k/x ≥ 2√k, igualdad en x = √k.

3. Procedimientos paso a paso

1. Completamiento de cuadrados (cuadráticas):

   1. Reescribe ax² + bx + c como a[(x + b/(2a))²] más constante.

   2. Determina el signo del término cuadrado y suma constante para hallar extremo.

2. AM–GM (sumas y productos):

   1. Identifica los términos positivos a, b, … cuyas combinaciones sumen o multipliquen según el problema.

   2. Aplica (a + b)/2 ≥ √(ab), o su versión ponderada.

   3. Igualdad cuando los términos sean iguales (encuentra el punto de igualdad).

3. Análisis de intervalo (dominio acotado):

   1. Evalúa en extremos del intervalo y en puntos de completamiento de cuadrados o derivada nula.

   2. Compara valores para hallar extremo global.

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: f(x) = x² + 8x + 5, x ∈ ℝ

1. Completar cuadrado: f(x) = (x + 4)² – 16 + 5 = (x + 4)² – 11.

2. Como (x + 4)² ≥ 0, el mínimo es –11, se alcanza en x = –4.

Ejemplo 2: f(x) = –x² + 10x + 3, x ∈ ℝ

1. Completar cuadrado: f(x) = –[(x – 5)² – 25] + 3 = –(x – 5)² + 28.

2. Como –(x – 5)² ≤ 0, el máximo es 28, se alcanza en x = 5.

Ejemplo 3: xy = 9, x, y ∈ ℝ⁺

1. Por AM–GM: (x + y)/2 ≥ √(xy) = 3 ⇒ x + y ≥ 6.

2. Mínimo 6, ocurre cuando x = y = 3.

Ejemplo 4: 2x + 5y = 3, x, y ∈ ℝ⁺

1. Por AM–GM ponderada: (2x + 5y)/2 ≥ √(2x·5y) = √(10xy).

2. Como (2x + 5y)/2 = 3/2, 3/2 ≥ √(10xy) ⇒ 9/4 ≥ 10xy ⇒ xy ≤ 9/40.

3. Máximo 9/40, si 2x = 5y.

Ejemplo 5: f(x) = (x² + 9x + 4)/x, x ∈ ℝ⁺

1. Reescribir: f(x) = x + 9 + 4/x.

2. Como x + 4/x ≥ 2√4 = 4, entonces f(x) ≥ 9 + 4 = 13.

Ejemplo 6: E = (x² + 5x + 1)/x, x ∈ ℝ⁺

1. Reescribir: E = x + 5 + 1/x.

2. Como x + 1/x ≥ 2, entonces E ≥ 5 + 2 = 7.

Ejemplo 7: x + 2y + 4z = 12, x,y,z ∈ ℝ⁺

1. Por AM–GM ponderada: (x + 2y + 4z)/3 ≥ (x·2y·4z)^{1/3} = (8xyz)^{1/3}.

2. Como (…)/3 = 4, 4 ≥ (8xyz)^{1/3} ⇒ 64 ≥ 8xyz ⇒ xyz ≤ 8.

3. Máximo 8, si x : y : z = 1 : 2 : 4.

Ejemplo 8: f(x) = –x⁴ + 6x², x ∈ [–1,1]

1. Reescribir: f(x) = –(x² – 3)² + 9.

2. Como (x² – 3)² ≥ 4 en [–1,1], f(x) ≤ 5 ⇒ máximo = 5.

Ejemplo 9: A = x² – 2x + 9, B = 6x – x²

1. Mínimo de A: (x – 1)² + 8 ⇒ 8.

2. Máximo de B: –(x – 3)² + 9 ⇒ 9.

3. Suma = 17.

Ejemplo 10: f(x) = (x + 1)² + (x + 3)²

1. Reescribir: f(x) = 2(x + 2)² + 2.

2. Como (x + 2)² ≥ 0, mínimo = 2, en x = –2.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Encontrar extremos de funciones cuadráticas mediante completamiento de cuadrados.

• Optimización de expresiones racionales positivas ((ax² + bx + c)/x).

• Máximos y mínimos usando AM–GM simple y ponderada.

• Problemas de suma o producto con restricciones (producto fijo, suma fija).

• Extremos en intervalos cerrados.

• Combinación de técnicas algebraicas sin derivadas.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Minimización de costos en procesos productivos.

• Maximización de beneficios en precios de venta.

• Optimización de mezcla de materias primas con recurso limitado.

• Diseño de embalajes para minimizar material y maximizar volumen.

• Asignación óptima de recursos en logística y distribución.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Toda x² es no negativa.

• La igualdad en AM–GM ocurre cuando todos los términos son iguales.

• Completar cuadrados revela la forma canónica de una cuadrática.

• En expresiones racionales, dividir numéricos y denominadores facilita usar AM–GM.

• Los pesos en AM–GM permiten adaptar la desigualdad a coeficientes desiguales.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• No distribuir correctamente el coeficiente a al completar cuadrados.

• Olvidar verificar el dominio (ℝ versus ℝ⁺) antes de aplicar AM–GM.

• Confundir medias simple y ponderada.

• No comprobar puntos críticos frente a extremos de intervalos.

• Errores de signo al reordenar términos.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Método alternativo: derivadas para hallar extremos (f′(x) = 0).

• Interpretación gráfica: vértice de parábola.

• Extensión a más variables: desigualdad de Jensen y problemas de Lagrange.

• Uso de software CAS para validación rápida.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante aplique técnicas algebraicas (completamiento de cuadrados, desigualdades AM–GM) para resolver problemas de optimización sin recurrir a cálculo diferencial, fortaleciendo la comprensión de propiedades de funciones y habilidades de modelación matemática.