Desigualdades - Propiedades

1. Definiciones

Una desigualdad es una relación que compara dos cantidades numéricas, indicando si una es mayor, menor o igual que la otra. En el conjunto de los números reales (ℝ) existen cuatro símbolos básicos:

• a > b: “a es mayor que b”.

• a < b: “a es menor que b”.

• a ≥ b: “a es mayor o igual que b”.

• a ≤ b: “a es menor o igual que b”.

Los números reales (ℝ) incluyen:

• Racionales (ℚ): enteros y fracciones (cociente de dos enteros).

• Irracionales (ℝ∖ℚ): decimales infinitos no periódicos, como √2 o π.

Geométricamente, cada número real se ubica en la recta numérica, ordenados de menor (izquierda) a mayor (derecha).

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Transitividad: si a < b y b < c, entonces a < c.

• Adición: si a < b, entonces a + c < b + c para cualquier c ∈ ℝ.

• Multiplicación por positivo: si a < b y c > 0, entonces a·c < b·c.

• Multiplicación por negativo: si a < b y c < 0, entonces a·c > b·c (se invierte el sentido).

• Recíprocos: si 0 < a < b, al tomar recíprocos 1/a > 1/b.

• Potencias pares:

  • Si a < b y a,b > 0, entonces a² < b².

  • Si a < b y a,b < 0, entonces a² > b² (al ser negativos).

• Potencias impares: si a < b, entonces aⁿ < bⁿ para n impar.

3. Procedimientos paso a paso

1. Resolver desigualdades lineales (por ejemplo, 2x + 1 > 3):

   • Restar 1 a ambos lados: 2x > 2.

   • Dividir entre 2 (positivo): x > 1.

   • Representar el resultado en número real: (1, +∞).

2. Inecuaciones compuestas (por ejemplo, 2 < x + 5 ≤ 8):

   • Restar 5 en toda la desigualdad: -3 < x ≤ 3.

   • Convertir a intervalo: (‒3, 3].

3. Operaciones con intervalos:

   • Unión (A ∪ B), intersección (A ∩ B), diferencia (A - B), complemento (Ac).

   • Invertir extremos abiertos/cerrados según corresponda.

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Resolver -3(x - 2) ≤ 6

1. Distribuir: -3x + 6 ≤ 6.

2. Restar 6: -3x ≤ 0.

3. Dividir entre -3 (negativo, invertir signo): x ≥ 0.

4. Solución: [0, +∞).

Ejemplo 2: Intersección de intervalos

Dado A = (2, 5] y B = [4, 8),

1. Graficar ambos en la recta.

2. Encontrar puntos comunes: de 4 hasta 5, incluyendo 4 y 5.

3. Resultado: [4, 5].

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Escribir desigualdades simples entre dos números.

• Resolver inecuaciones lineales y compuestas.

• Convertir desigualdades en notación de intervalos.

• Realizar operaciones con intervalos: unión, intersección, diferencia, complemento.

• Clasificar números como reales, racionales e irracionales.

• Representar soluciones en la recta numérica.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Presupuesto familiar: establecer límites de gasto diario (gasto ≤ S/ 50).

• Velocidad máxima: vehículos deben mantener v ≤ 60 km/h.

• Temperatura: alimentos seguros si 0°C < T < 4°C.

• Control de calidad: dimensiones de piezas entre valores aceptables, por ejemplo 4.95 mm ≤ d ≤ 5.05 mm.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Densidad de ℝ: entre dos reales siempre hay otro real.

• Cerradura bajo suma y multiplicación en ℝ.

• Transitividad en comparaciones encadenadas.

• Invarianza de sentido al sumar mismo número.

• Cambio de sentido al multiplicar/dividir por negativo.

• Relación entre desigualdades y reciprocidad.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• Olvidar invertir el signo al multiplicar/dividir por número negativo.

• Confundir símbolos de abierto ((, )) y cerrado ([, ]).

• Contar solo enteros dentro de un intervalo, sin incluir decimales.

• Aplicar potencias pares sin considerar signos negativos.

• No representar correctamente el resultado en la recta.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Notación de conjuntos: {x ∈ ℝ | ...}.

• Símbolos de infinito: +∞ y −∞.

• Uso de letras para representar intervalos (A, B, C).

• Relación entre desigualdades y formas equivalentes (a < b ⇔ b > a).

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante sea capaz de interpretar, resolver y aplicar desigualdades y operaciones con intervalos en problemas prácticos, representando soluciones en la recta numérica y usando notación de conjuntos.