Ecuación de grado superior

1. Definiciones

• Ecuación de grado superior: polinomio de la forma anxn + ... + a1x + a0 = 0 con n ≥ 3.

• Raíz (o solución): valor de x que hace cero al polinomio.

• Ecuación cúbica: grado 3, ejemplo ax³ + bx² + cx + d = 0.

• Ecuación bicuadrada: solo potencias pares, de la forma ax⁴ + bx² + c = 0; cambiaremos y = x².

• Factorización: descomponer en factores más simples (agrupación, divisores binómicos, diferencia de cuadrados).

• Relaciones de Viète: conectan coeficientes y raíces (sumas, productos).

• Conjugados: si coeficientes son reales, raíces complejas aparecen de a pares conjugados (p + qi y p – qi).

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Para ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0):

  • x₁ + x₂ + x₃ = –b/a

  • x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a

  • x₁x₂x₃ = –d/a

• Para ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0): con y = x²,

  • y₁ + y₂ = –b/a

  • y₁·y₂ = c/a

• luego x = ±√y₁, ±√y₂.

• Diferencia de cuadrados: u² – v² = (u – v)(u + v).

• Divisores binómicos: posibles raíces racionales son factores de término independiente sobre factores de coeficiente líder.

3. Procedimientos paso a paso

1. Factorización por agrupación: agrupar términos para extraer factor común.

2. División sintética (Ruffini): probar raíces candidatas y dividir coeficientes.

3. Cambio de variable (bicuadrada): usar y = x² y resolver cuadrática en y.

4. Diferencia de cuadrados: identificar u²–v².

5. Comprobación: sustituir cada raíz en la ecuación original.

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: x³ – 2x² – 9x + 18 = 0

1. Agrupar: x²(x – 2) – 9(x – 2) = 0

2. Factor común: (x – 2)(x² – 9) = 0

3. Diferencia de cuadrados: (x – 2)(x – 3)(x + 3) = 0

4. Soluciones: x = 2, 3, –3

Ejemplo 2: x³ – 4x² + 6x – 4 = 0

1. Probar raíz x = 2: funciona.

2. División sintética por (x – 2) → cociente x² – 2x + 2.

3. Resolver x² – 2x + 2 = 0: raíces 1 ± i.

4. Soluciones: x = 2, 1 + i, 1 – i

Ejemplo 3 (bicuadrada): x⁴ – 29x² + 100 = 0

1. Sea y = x² → y² – 29y + 100 = 0.

2. Discriminante: Δ = 29² – 4·100 = 441, √Δ = 21.

3. y = (29 ± 21)/2 → y₁ = 25, y₂ = 4.

4. Entonces x = ±5, ±2.

Ejemplo 4: 2x³ + 5x² + 7x + 6 = 0

1. Posibles raíces: ±1, ±2, ±3, ±6, ±½, ±3/2.

2. Probar x = –3/2: satisface.

3. División sintética por (x + 3/2) → cociente 2x² + 2x + 4.

4. Dividir entre 2: x² + x + 2 = 0 → raíces (–1 ± i√7)/2.

5. Soluciones: x = –3/2, (–1 ± i√7)/2

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Factorizar polinomios de grado ≥ 3.

• Resolver cúbicas por agrupación y divisores binómicos.

• Resolver bicuadradas con cambio de variable.

• Aplicar relaciones de Viète para hallar sumas y productos de raíces.

• Ejercicios con raíces complejas y conjugadas.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Modelar fenómenos de crecimiento donde la variable aparece elevada al cubo o cuarto.

• Calcular puntos de equilibrio en economía con funciones cúbicas.

• Diseño de trayectorias en física que requieren resolver ecuaciones polinomiales.

• Procesos de optimización donde derivadas conducen a polinomios de grado superior.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Teorema fundamental del álgebra: cualquier polinomio de grado n tiene n raíces (contando multiplicidades y complejas).

• Coeficientes reales → raíces complejas vienen en pares conjugados.

• Coeficientes racionales → raíces irracionales conjuntas si incluyen √b.

• Relaciones de Viète permiten calcular sin resolver completamente la ecuación.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• No probar todas las raíces candidatas en divisores binómicos.

• Olvidar signo al usar relaciones de Viète (−b/a).

• Confundir bicuadrada con cuadrática directa sin cambio de variable.

• Errores de aritmética al hacer división sintética.

• No verificar las soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Uso de calculadoras o software algebraico para confirmar raíces.

• Métodos avanzados (fórmula de Cardano para cúbicas, Ferrari para cuarticas).

• Análisis de multiplicidad de raíces si hay factores repetidos.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante comprenda y aplique métodos de factorización, cambio de variable y relaciones de Viète para resolver ecuaciones de grado superior de forma precisa y clara.