Operaciones con números racionales (Q)

1. Definiciones

Los números racionales forman el conjunto ℚ, definido como todas las expresiones del tipo a/b, donde a (numerador) y b (denominador) son números enteros (ℤ) y b ≠ 0. Este sistema extiende a los números enteros para permitir la división exacta. Además:

• Números naturales (ℕ): 1, 2, 3, ...

• Números enteros (ℤ): ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

• Números irracionales: no pueden expresarse como a/b (ej. √2, π).

• Números reales (ℝ): unión de ℚ e irracionales.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Suma mismo denominador: a/e + b/e = (a + b)/e

• Resta mismo denominador: a/e - b/e = (a - b)/e

• Suma distinto denominador: a/b + c/d = (a·d + b·c)/(b·d)

• Resta distinto denominador: a/b - c/d = (a·d - b·c)/(b·d)

• Entero + fracción: n + a/b = (n·b + a)/b

• Entero - fracción: n - a/b = (n·b - a)/b

• Multiplicación: (a/b)·(c/d) = (a·c)/(b·d)

• División: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b)·(d/c) = (a·d)/(b·c)

• Elemento identidad: a + 0 = a, a·1 = a

• Inversos: aditivo -a tal que a + (-a) = 0, multiplicativo a⁻¹ tal que a·a⁻¹ = 1

3. Procedimientos paso a paso

1. Identificar la operación (suma, resta, multiplicación o división).

2. Para suma o resta:

   1. Verificar denominadores.

   2. Si son distintos, hallar un denominador común (multiplicando o usando el mínimo común múltiplo).

   3. Convertir cada fracción al denominador común.

   4. Sumar o restar numeradores; conservar el denominador.

   5. Simplificar resultado.

3. Para multiplicación: multiplicar numeradores, multiplicar denominadores, luego simplificar.

4. Para división: invertir el divisor (recíproco) y multiplicar.

5. Para entero ± fracción: convertir entero a n/1 y aplicar lo anterior.

6. Verificar signos: aplicar regla de signos correcta.

4. Ejemplos resueltos

• Mismo denominador: 5/13 + 11/13 = 16/13

• Distinto denominador: 5/6 + 1/2 = (5·2 + 6·1)/12 = 16/12 = 4/3

• Entero + fracción: 3 + 1/5 = (3·5 + 1)/5 = 16/5

• Multiplicación: (2/3)·(7/11) = 14/33

• División: (3/7) ÷ (2/5) = 3/7 · 5/2 = 15/14

• Inversos: aditivo de 4/5 es -4/5; multiplicativo de 3/4 es 4/3.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Operaciones básicas con fracciones.

• Simplificación a forma irreductible.

• Conversión entero ↔ fracción.

• Aplicación de propiedades algebraicas.

• Problemas de reparto y mezcla.

• Identificación de elementos identidad e inversos.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Reparto proporcional de premios o recursos.

• Ajuste de recetas de cocina.

• Distribución de presupuesto.

• Mediciones parciales en construcción.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Cierre: resultados en ℚ para +, –, · y ÷ (excepto ÷0).

• Conmutativa: a + b = b + a, a·b = b·a.

• Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c), (a·b)·c = a·(b·c).

• Distributiva: a·(b + c) = a·b + a·c.

• Identidad: 0 para suma, 1 para multiplicación.

• Inversos: aditivo y multiplicativo.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• No hallar correctamente el denominador común.

• No simplificar al final.

• No invertir el divisor en la división de fracciones.

• Manejo incorrecto de signos negativos.

• Confundir numerador y denominador al convertir enteros.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Toda fracción genera un decimal finito o periódico.

• Representación en la recta numérica.

• Comparación de fracciones usando denominador común.

• Expansión y contracción de fracciones.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante comprenda y aplique con precisión las operaciones básicas con números racionales, reconociendo sus propiedades, evitando errores frecuentes y contextualizando su uso en situaciones reales.