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Ecuación cuadrática: polinomio de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b, c ∈ ℝ y a ≠ 0.
Término cuadrático: ax².
Término lineal: bx.
Término independiente: c.
Solución o raíz: valor de x que satisface la ecuación.
Discriminante: Δ = b² − 4ac, indica tipo de raíces.
Fórmula general: x = (−b ± √Δ) / (2a).
Discriminante: Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, dos raíces reales distintas; Δ = 0, raíz doble; Δ < 0, sin raíces reales.
Suma y producto de raíces: si x₁, x₂ son raíces, x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a.
Factorización de segundo grado:
A la “aspa simple”: buscar dos números que multiplicados den a·c y sumados den b.
Diferencia de cuadrados: A² − B² = (A − B)(A + B).
Factor común: extraer factor común de todos los términos.
Reescribir la ecuación en forma estándar: ax² + bx + c = 0.
Calcular el discriminante Δ = b² − 4ac.
Según Δ y factibilidad:
Si es factorizable con números enteros, aplicar la factorización adecuada.
Si no, usar la fórmula general o completar cuadrados.
Descomponer en factores y plantear cada factor igual a cero.
Resolver para x y verificar sustituyendo en la ecuación original.
Factorizamos por aspa simple: (x − 3)(x − 5) = 0 ⇒ x = 3 o x = 5.
Pasar 21: x² + 4x − 21 = 0. Aspa simple: (x + 7)(x − 3) = 0 ⇒ x = −7 o x = 3.
Diferencia de cuadrados: (x − 4)(x + 4) = 0 ⇒ x = 4 o x = −4.
Factor común: x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 o x = 4.
Despejar: 3x² + 3 = 5 − 5x ⇒ 3x² + 5x − 2 = 0. Aspa simple: (3x − 1)(x + 2) = 0 ⇒ x = 1/3 o x = −2.
Multiplicar y agrupar: 6x² + 7x + 1 = 0. Factorizamos: (6x + 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1/6 o x = −1.
Reordenar: 7x² − 11x + 4 = 0. Aspa simple: (7x − 4)(x − 1) = 0 ⇒ x = 4/7 o x = 1.
Pasar todo: x² − 6x + 8 = 0. Aspa simple: (x − 4)(x − 2) = 0 ⇒ x = 2 o x = 4.
Factorización: (2x + a)(2x − 3) = 0 ⇒ x = −a/2 o x = 3/2.
Soluciones: (3x − 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = 1/3, x = 2. Como m es entera, m = 2. Calcular (2m − 1)/(m² − m) = 3/2.
Discriminante cero: Δ = (3n + 1)² − 4(2n + 3) = 0 ⇒ n = −1 o n = 11/9. Menor valor: n = −1.
Eqs: x² − (2a−1)x + 2 = 0 y 4x² − 6x + (5b + 2) = 0. Debe existir k tal que k·1 = 4 ⇒ k = 4, −4(2a−1)=−6 ⇒ a=5/4, 4·2=5b+2 ⇒ b=6/5. Entonces a/b = 25/24.
Factorización por aspa simple (raíces enteras).
Diferencia de cuadrados.
Extracción de factor común.
Resolución paramétrica (con a, b, n variables).
Uso de discriminante y fórmula general.
Cálculo de intersecciones de parábola con el eje x (raíces).
Modelos de lanzamientos en física (alcance de proyectiles).
Problemas de optimización sencilla (máximo/mínimo de funciones cuadráticas).
Estimaciones económicas (punto de equilibrio de ingresos y costos).
Δ = b² − 4ac determina naturaleza de raíces.
x₁ + x₂ = −b/a (suma de raíces).
x₁ · x₂ = c/a (producto de raíces).
Para Δ = 0, raíz doble (x₁ = x₂).
No pasar todos los términos al primer miembro.
Olvidar que a ≠ 0 para que sea cuadrática.
Signos invertidos en la factorización.
Confundir método de diferencia de cuadrados con aspa simple.
No verificar sustituyendo las soluciones.
Para Δ < 0, no hay soluciones reales.
Completar cuadrados como alternativa para casos no factorizables.
Interpretación gráfica: vértice y eje de simetría.
Que el estudiante domine los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, entienda la interpretación geométrica de las raíces y aplique correctamente la factorización, la fórmula general y la discriminante.