Ecuación cuadrática - Factorización

1. Definiciones

• Ecuación cuadrática: polinomio de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b, c ∈ ℝ y a ≠ 0.

• Término cuadrático: ax².

• Término lineal: bx.

• Término independiente: c.

• Solución o raíz: valor de x que satisface la ecuación.

• Discriminante: Δ = b² − 4ac, indica tipo de raíces.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Fórmula general: x = (−b ± √Δ) / (2a).

• Discriminante: Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, dos raíces reales distintas; Δ = 0, raíz doble; Δ < 0, sin raíces reales.

• Suma y producto de raíces: si x₁, x₂ son raíces, x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a.

• Factorización de segundo grado:

  • A la “aspa simple”: buscar dos números que multiplicados den a·c y sumados den b.

  • Diferencia de cuadrados: A² − B² = (A − B)(A + B).

  • Factor común: extraer factor común de todos los términos.

3. Procedimientos paso a paso

1. Reescribir la ecuación en forma estándar: ax² + bx + c = 0.

2. Calcular el discriminante Δ = b² − 4ac.

3. Según Δ y factibilidad:

   1. Si es factorizable con números enteros, aplicar la factorización adecuada.

   2. Si no, usar la fórmula general o completar cuadrados.

4. Descomponer en factores y plantear cada factor igual a cero.

5. Resolver para x y verificar sustituyendo en la ecuación original.

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: x² − 8x + 15 = 0

Factorizamos por aspa simple: (x − 3)(x − 5) = 0 ⇒ x = 3 o x = 5.

Ejemplo 2: x² + 4x = 21

Pasar 21: x² + 4x − 21 = 0. Aspa simple: (x + 7)(x − 3) = 0 ⇒ x = −7 o x = 3.

Ejemplo 3: x² − 16 = 0

Diferencia de cuadrados: (x − 4)(x + 4) = 0 ⇒ x = 4 o x = −4.

Ejemplo 4: x² − 4x = 0

Factor común: x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 o x = 4.

Ejemplo 5: 3(x² + 1) = 5(1 − x)

Despejar: 3x² + 3 = 5 − 5x ⇒ 3x² + 5x − 2 = 0. Aspa simple: (3x − 1)(x + 2) = 0 ⇒ x = 1/3 o x = −2.

Ejemplo 6: (2x + 3)(3x − 1) = −4

Multiplicar y agrupar: 6x² + 7x + 1 = 0. Factorizamos: (6x + 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1/6 o x = −1.

Ejemplo 7: 5x² + 1 = 11x − 2x² − 3

Reordenar: 7x² − 11x + 4 = 0. Aspa simple: (7x − 4)(x − 1) = 0 ⇒ x = 4/7 o x = 1.

Ejemplo 8: 4x² − 5x + 6 = 3x² + x − 2

Pasar todo: x² − 6x + 8 = 0. Aspa simple: (x − 4)(x − 2) = 0 ⇒ x = 2 o x = 4.

Ejemplo 9 (paramétrico): 4x² + (2a − 6)x − 3a = 0

Factorización: (2x + a)(2x − 3) = 0 ⇒ x = −a/2 o x = 3/2.

Ejemplo 10 (valor de m): 3x² − 7x + 2 = 0

Soluciones: (3x − 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = 1/3, x = 2. Como m es entera, m = 2. Calcular (2m − 1)/(m² − m) = 3/2.

Ejemplo 11 (raíces iguales): x² − (3n + 1)x + (2n + 3) = 0

Discriminante cero: Δ = (3n + 1)² − 4(2n + 3) = 0 ⇒ n = −1 o n = 11/9. Menor valor: n = −1.

Ejemplo 12 (ecuaciones equivalentes):

Eqs: x² − (2a−1)x + 2 = 0 y 4x² − 6x + (5b + 2) = 0. Debe existir k tal que k·1 = 4 ⇒ k = 4, −4(2a−1)=−6 ⇒ a=5/4, 4·2=5b+2 ⇒ b=6/5. Entonces a/b = 25/24.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Factorización por aspa simple (raíces enteras).

• Diferencia de cuadrados.

• Extracción de factor común.

• Resolución paramétrica (con a, b, n variables).

• Uso de discriminante y fórmula general.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Cálculo de intersecciones de parábola con el eje x (raíces).

• Modelos de lanzamientos en física (alcance de proyectiles).

• Problemas de optimización sencilla (máximo/mínimo de funciones cuadráticas).

• Estimaciones económicas (punto de equilibrio de ingresos y costos).

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Δ = b² − 4ac determina naturaleza de raíces.

• x₁ + x₂ = −b/a (suma de raíces).

• x₁ · x₂ = c/a (producto de raíces).

• Para Δ = 0, raíz doble (x₁ = x₂).

8. Errores comunes o puntos difíciles

• No pasar todos los términos al primer miembro.

• Olvidar que a ≠ 0 para que sea cuadrática.

• Signos invertidos en la factorización.

• Confundir método de diferencia de cuadrados con aspa simple.

• No verificar sustituyendo las soluciones.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Para Δ < 0, no hay soluciones reales.

• Completar cuadrados como alternativa para casos no factorizables.

• Interpretación gráfica: vértice y eje de simetría.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante domine los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, entienda la interpretación geométrica de las raíces y aplique correctamente la factorización, la fórmula general y la discriminante.