Ecuación lineal

1. Definiciones

• Ecuación: Igualdad entre dos expresiones matemáticas que contiene una o más variables incógnitas.

• Solución: Valor de la variable que, al sustituirse, verifica la igualdad.

• Conjunto solución: Conjunto formado por todas las soluciones de una ecuación.

• Ecuación de primer grado (lineal): Ecuación en la que la variable aparece con exponente 1, de la forma ax + b = 0, con a ≠ 0.

• Identidad y contradicción: Ecuación verdadera para todos los valores (identidad) o sin solución (contradicción).

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Para resolver ax + b = 0: x = -b / a.

• Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac.

• Propiedad de igualdad: Sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros por el mismo número ≠ 0.

• Eliminar fracciones: Multiplicar por el MCM de los denominadores.

• Despeje paramétrico: Tratar las demás variables como constantes y aislar la buscada.

3. Procedimientos paso a paso

1. Eliminar paréntesis con la propiedad distributiva.

2. Agrupar términos semejantes.

3. Pasar términos con la incógnita a un lado sumando o restando.

4. Pasar términos constantes al otro lado.

5. Dividir por el coeficiente de la incógnita.

6. En fracciones, multiplicar por el MCM antes de agrupar.

7. Verificar sustituyendo la solución en la ecuación original.

4. Ejemplos resueltos

4.1 Ecuación básica

2x + 3 = 0

1. Restar 3: 2x = -3.

2. Dividir por 2: x = -3/2.

CS: {-3/2}.

4.2 Con paréntesis

3x - 4(6 - x) = 15 - 6x

1. Distr.: 3x - 24 + 4x = 15 - 6x.

2. Agrupar: 3x + 4x + 6x = 39 → 13x = 39.

3. Dividir: x = 3.

CS: {3}.

4.3 Fracciones I

z/5 - (3z)/10 = 7

1. Multiplicar por 10: 2z - 3z = 70.

2. -z = 70 → z = -70.

CS: {-70}.

4.4 Fracciones II

(2x - 7)/3 - (3x - 2)/4 = 5

1. Multiplicar por 12: 4(2x - 7) - 3(3x - 2) = 60.

2. Expandir y agrupar: 8x - 28 - 9x + 6 = 60 → -x = 82.

3. x = -82.

CS: {-82}.

4.5 Despeje paramétrico I

Dada F = 6 m vi / r², despejar vi:

1. Multiplicar por r²: F·r² = 6m vi.

2. Dividir por 6m: vi = (F·r²)/(6m).

4.6 Despeje paramétrico II

Dada A = 2Qw + 2w h + 2Qh, despejar w:

1. Restar 2Qh: A - 2Qh = 2w(Q + h).

2. Dividir por 2(Q + h): w = (A - 2Qh)/[2(Q + h)].

4.7 Despeje genérico

Dada (ax + b)/(cx + d) = 2, despejar x:

1. Multiplicar: ax + b = 2(cx + d).

2. Agrupar: (a - 2c)x = 2d - b.

3. x = (2d - b)/(a - 2c).

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Ecuaciones lineales sin paréntesis.

• Ecuaciones con paréntesis y distributiva.

• Ecuaciones con fracciones y denominadores distintos.

• Eliminación de fracciones mediante MCM.

• Despeje de variables en ecuaciones paramétricas.

• Casos especiales: identidades y contradicciones.

• Aplicación en problemas de física, finanzas y química.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Cálculo de velocidad inicial (vi) en física.

• Resistencias en paralelo en electricidad (1/R = 1/R₁ + 1/R₂).

• Balance financiero: ingresos y egresos.

• Proporciones y mezclas en química.

• Reparto proporcional en problemas cotidianos.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Distributiva para eliminar paréntesis.

• Igualdad: operar ambos miembros de forma equivalente.

• Conmutativa y asociativa al agrupar.

• MCM para homogenizar denominadores.

• Grado de la ecuación y unicidad de la solución.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• No cambiar signo al mover términos.

• Aplicar mal la distributiva.

• Calcular incorrectamente el MCM.

• División por cero si el coeficiente es cero.

• Olvidar verificar la solución.

• Confundir paréntesis anidados.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Identidades (0x = 0) y contradicciones (0x = k ≠ 0).

• Ecuaciones equivalentes.

• Soluciones infinitas.

• Importancia de la verificación final.

10. Objetivo pedagógico

Desarrollar la habilidad para resolver ecuaciones lineales mediante manipulación algebraica, entender variable, coeficiente y constante, y aplicar estos métodos en ejemplos prácticos.