Factorización de polinomios - Divisores binómicos

1. Definiciones

• Polinomio: Expresión de la forma P(x)=aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀, con aᵢ números reales e n≥0.

• Grado: El mayor exponente n con coeficiente distinto de cero.

• Raíz (o cero): Valor r tal que P(r)=0.

• Teorema del factor: Si r es raíz de P(x), entonces (x−r) es factor de P(x).

• Raíz racional: Raíz que es un entero o fracción p/q.

• Posibles raíces racionales: Divisores de a₀ sobre divisores de aₙ.

• División sintética (Regla de Ruffini): Método abreviado para dividir P(x) por (x−r).

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Teorema del factor: Si P(r)=0 ⇒ P(x)=(x−r)·Q(x).

• Teorema de las raíces racionales (RRT): Posibles raíces = ±(divisores de a₀)/(divisores de aₙ).

• División sintética: Para dividir por (x−r), se alinean los coeficientes y se aplican sumas y productos sucesivos con r.

• Multiplicidad de raíces: Si (x−r)ᵏ es factor, r es raíz de orden k.

3. Procedimientos paso a paso

1. Identificar aₙ (coeficiente principal) y a₀ (término independiente).

2. Listar posibles raíces racionales: divisores de a₀ / divisores de aₙ.

3. Evaluar P(r) para cada candidato; el que anule P es raíz.

4. Aplicar división sintética con la raíz encontrada para obtener el cociente Q(x).

5. Si deg Q(x)≥2, repetir proceso sobre Q(x) hasta factores lineales o cuadráticos irreducibles.

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: P(x)=x²−7x+12

• Posibles raíces: ±1,±2,±3,±4,±6,±12 (divisores de 12).

• Prueba: P(3)=9−21+12=0 ⇒ raíz 3. P(4)=16−28+12=0 ⇒ raíz 4.

• Factorización: P(x)=(x−3)(x−4).

Ejemplo 2: P(x)=x²−9

• Raíces: ±3 porque P(3)=0 y P(−3)=0.

• Factorización: (x−3)(x+3).

Ejemplo 3: P(x)=x³−5x²+mx+4, con raíz x=2

• Imponer P(2)=0 ⇒ 8−20+2m+4=0 ⇒ 2m−8=0 ⇒ m=4.

• Entonces P(x)=x³−5x²+4x+4. Dividiendo por x−2 da cociente x²−3x−2.

• Factorización completa: P(x)=(x−2)(x²−3x−2).

Ejemplo 4: P(x)=x³−3x+2

• Posibles raíces: ±1,±2.

• P(1)=0, P(−2)=0. División sintética por 1 ⇒ cociente x²+x−2 ⇒ raíces 1 y −2 (multiplicidad 2 para 1).

• Factorización: (x−1)²(x+2).

Ejemplo 5: Q(x)=2x³+5x²−10x−3

• RRT: divisores de −3 (±1,±3) sobre divisores de 2 (±1,±2) ⇒ ±1,±3,±½,±3/2.

• Q(3/2)=0 ⇒ raíz 3/2. División sintética da cociente 2x²+8x+2 = 2(x²+4x+1).

• Factorización: (2x−3)(x²+4x+1).

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Determinar m para que x=a sea raíz y luego factorizar.

• Calcular expresiones como m+m² tras hallar el parámetro.

• Ejercicios de descomposición en factores primos de polinomios.

• Reconocer polinomios irreducibles (primos) sin raíces racionales.

• Contar número de factores lineales y cuadráticos irreducibles.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Resolución de ecuaciones polinómicas en problemas de física y economía.

• Descomposición de fracciones algebraicas para integración en cálculo.

• Modelado de funciones de costos y beneficios en empresas peruanas.

• Optimización de algoritmos de álgebra simbólica en software educativo.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Todo polinomio de grado n se factoriza en C en n factores lineales (Teorema Fundamental del Álgebra).

• Sobre Q, la factorización depende de existencia de raíces racionales.

• La suma y producto de raíces se relacionan con coeficientes (teorema de Viète).

• Multiplicidad de raíces afecta la forma de la gráfica de la función.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• No comprobar todas las posibles raíces racionales.

• Olvidar incluir divisores del coeficiente principal en RRT.

• Errores aritméticos en división sintética.

• No factorizar completamente el cociente.

• Confundir signo de la raíz al formar (x−r).

9. Otros tipos de información relevantes

• La regla de Ruffini es equivalente a evaluación de P(r) y obtención de cociente.

• Existen otros métodos: factorización por agrupación, aspa simple para cuadráticos.

• Extensión a polinomios con coeficientes en otros cuerpos.

• Herramientas digitales: GeoGebra, WolframAlpha.

10. Objetivo pedagógico

Desarrollar en el estudiante la habilidad para aplicar de manera rigurosa el teorema del factor y el teorema de las raíces racionales, emplear la división sintética correctamente y factorizar polinomios de grado ≥2 usando divisores binómicos, asegurando precisión en cálculos y pensamiento algorítmico.