Factorización de polinomios - Aspa simple y doble

1. Definiciones

• Polinomio: suma de términos de la forma axⁿ, donde n es un número entero ≥ 0.

• Grado: mayor exponente n presente en un polinomio.

• Factorización: proceso de expresar un polinomio como producto de factores más simples.

• Aspa simple: método para polinomios cuadráticos ax²+bx+c, descomponiendo ac en dos números que sumen b y agrupando.

• Aspa doble: extensión para polinomios de grado 4 de la forma x⁴+px³+qx²+rx+s, escribiéndolos como (x²+ax+b)(x²+cx+d) y resolviendo un pequeño sistema.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

1. Producto ac: en ax²+bx+c, calcular ac para descomponer el término central.

2. Distributiva: (A+B)(C+D)=A·C+A·D+B·C+B·D.

3. Diferencia de cuadrados: A²–B²=(A–B)(A+B).

4. Sistema para aspas dobles:

   • a+c = coeficiente de x³

   • ac + b + d = coeficiente de x²

   • ad + bc = coeficiente de x

   • b·d = término independiente

3. Procedimientos paso a paso

Aspa simple (cuadráticos)

1. Identificar a, b, c en ax²+bx+c.

2. Calcular ac.

3. Encontrar m, n tales que m·n = ac y m + n = b.

4. Reescribir bx como m x + n x.

5. Factorizar por agrupación y extraer factores comunes.

Aspa doble (grado 4)

1. Plantear (x²+ax+b)(x²+cx+d).

2. Descomponer b·d = término independiente y a+c = coeficiente de x³.

3. Resolver sistema para a, b, c, d usando las reglas del punto anterior.

4. Verificar productos cruzados y ajustar si es necesario.

4. Ejemplos resueltos

• P₁(x)=x²+5x+6: m·n=6, m+n=5 → (x+2)(x+3).

• R₁(x)=12x²+31x+20: 12·20=240, sum=31 → (3x+4)(4x+5).

• M(x)=2x²+9x−35: 2·(−35)=−70, sum=9 → (2x−5)(x+7).

• B(u)=x⁴+7x²y²+12y⁴: u²+7u+12=(u+3)(u+4)→ (x²+3y²)(x²+4y²).

• C(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)−24:
  m=x²+3x → (m)(m+2)−24=(m−4)(m+6)
  =(x²+3x−4)(x²+3x+6) → (x+4)(x−1)(x²+3x+6).

• D(x)=x⁴+5x³+15x²+23x+20:
  (x²+2x+5)(x²+3x+4).

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Factorización de cuadráticos ax²+bx+c.

• Factorización de grado 4 por aspas dobles.

• Cálculo de suma de coeficientes de factores lineales.

• Identificación de factores primos comunes y no comunes.

• Factorización en dos variables x,y.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Simplificar fracciones algebraicas.

• Resolver ecuaciones polinómicas encontrando raíces.

• Modelos físicos donde aparecen términos cuadráticos o de cuarto grado.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Propiedad distributiva.

• Asociatividad y conmutatividad de la suma y el producto.

• Elemento neutro (1 para producto, 0 para suma).

• Diferencia de cuadrados.

• Cambio de variable para simplificar patrones repetidos.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• No comprobar que m·n=ac exacto.

• Olvidar signos al descomponer el término central.

• No extraer factor común antes de agrupar.

• Confundir orden de factores en aspas dobles.

• No verificar productos cruzados al final.

9. Otros tipos de información relevantes

• Uso de m = x²+3x u otros cambios de variable.

• Agrupación en polinomios de grado 3.

• Factorización de expresiones simétricas.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante entienda y practique la factorización de polinomios, relacione coeficientes con raíces y aplique propiedades aritméticas para simplificar y resolver ejercicios con polinomios de grado 2 y 4.