División por Resto

1. Definiciones

• División de polinomios: Proceso para expresar un polinomio P(x) como P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), donde D(x) es el divisor, Q(x) el cociente y R(x) el resto, con grado(R) < grado(D).

• Resto al dividir por un lineal: Si D(x) = x – c, entonces R = P(c) (Teorema del Resto).

• Resto al dividir por a x + b: R = P(−b/a).

• Método general para xn − a: Se sustituye xn = a en P(x) hasta reducir su grado por debajo de n.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• P(x) = D(x)·Q(x) + R(x) (identidad de la división).

• Para D(x)=x - c: R = P(c).

• Para D(x)=a x + b: R = P(-b/a).

• Para D(x)=xn - a: sustituir xn = a.

3. Procedimientos paso a paso

1. Divisor lineal (x - c o a x + b):

   1. Igualar D(x)=0 y resolver para x (por ejemplo, x=c o x=−b/a).

   2. Sustituir ese valor en P(x): el resultado es el resto.

2. Método para xn - a:

   1. Igualar xn - a = 0 ⇒ xn = a.

   2. Reescribir cada término de P(x) con potencias ≥ n como (xn)k o x·(xn)k.

   3. Sustituir xn = a y simplificar hasta grado < n.

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

División: (x⁴ + 2x + 1) ÷ (x - 3)
Procedimiento: x - 3 = 0 ⇒ x = 3; R = 3⁴ + 2·3 + 1 = 81 + 6 + 1 = 88.
Resto: 88.

Ejemplo 2

División: (x³ + 2x² − 3x + 2) ÷ (x - 5)
x - 5 = 0 ⇒ x = 5; R = 5³ + 2·5² − 3·5 + 2 = 125 + 50 − 15 + 2 = 162.
Resto: 162.

Ejemplo 3

División: (x¹⁰⁰ + 5x²⁸ + 3x¹⁰ + 2) ÷ (x - 1)
x - 1 = 0 ⇒ x = 1; R = 1 + 5 + 3 + 2 = 11.
Resto: 11.

Ejemplo 4 (método general)

División: (x¹⁰ + 2x + 1) ÷ (x² - 2)
x² = 2 ⇒ Escribir x¹⁰ = (x²)⁵; R = 2⁵ + 2x + 1 = 32 + 2x + 1 = 2x + 33.
Resto: 2x + 33.

Ejemplo 5

División: (x⁸ - 2x² + 3x + 1) ÷ (x² - 1)
x² = 1; R = 1 - 2 + 3x + 1 = 3x.
Resto: 3x.

Ejemplo 6

División: (x¹⁰ + 2x⁵ + x³ + x + 2) ÷ (x² - 4)
x² = 4; x¹⁰ = 4⁵ = 1024, 2x⁵ = 2·(4²·x) = 32x, x³ = 4x, x, 2 ⇒ R = 1024 + 32x + 4x + x + 2 = 1026 + 37x.
Resto corregido: 37x + 1026.

Ejemplo 7

División: (x⁹ + 2x⁵ + x² + 2x + 3) ÷ (x³ - 1)
x³ = 1; R = 1 + 2x² + x² + 2x + 3 = 3x² + 2x + 4.
Resto: 3x² + 2x + 4.

Ejemplo 8

División: (x⁶ + 3x + 1) ÷ (x³ + 2) con cociente dado x³ - 2 ⇒ R = 3x + 5.

Ejemplo 9

División: (x¹⁰⁰ + 5x + a) ÷ (x - 1), resto = 3a ⇒ 1 + 5 + a = 3a ⇒ a = 3.

Ejemplo 10

División: (x⁸ + a x + b) ÷ (x - 1)², resto constante 7 ⇒ 1 + a + b = 7 ⇒ a + b = 6.

Ejemplo 11

División: (x⁴ + a x³ + b x + c) ÷ (x + 1)³, divisible ⇒

1. P(-1)=0, P'(-1)=0, P''(-1)=0 ⇒ a=2, b=-2, c=-1;

2. a + b - c = 1.

Ejemplo 12

División: (m x⁹ - m x⁵ + p x - 3) ÷ (3x - 3), resto = 2 ⇒ p = 5.

Ejemplo 13

División: (2x¹³ + 3x⁶ + 2x - 1) ÷ (x² - 1) ⇒ x² = 1 ⇒ R = 2x + 3 + 2x - 1 = 4x + 2.

Ejemplo 14

División: (8(x-1)¹⁷ - (1-x)²⁰ + 2x + 1) ÷ (x - 3) ⇒ x = 3 ⇒ R = 7.

Ejemplo 15

División: (3x⁹ + x⁶ + x³ - 1) ÷ (x² + x + 1) (usar x³ = 1) ⇒ R = 4.

Ejemplo 16

División: (x⁵(x+1)⁵ + (2x²+2x-3)⁶ - 2x + 2) ÷ (x² + x - 1) ⇒ x² + x = 1 ⇒ R = 4 - 2x.

Ejemplo 17

División: [(x-1)x(x+2)(x+3)]² + (x²+2x)³ - x - 50 ÷ (x² + 2x - 5)
x² + 2x = 5 ⇒ primer factor = 10 (por sustitución), segundo = 125 ⇒ R = 100 + 125 - x - 50 = 175 - x.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• División con divisor lineal x - c o a x + b.

• División con xn - a (sustitución directa).

• Divisor con multiplicidad: (x - c)m.

• Ejercicios con cociente conocido y resto desconocido.

• Determinar parámetros a, b, c a partir del resto dado.

• Divisores de grado ≥ 2: hallar resto polinómico.

• Divisores no monicos (a x + b).

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Evaluar rápidamente polinomios en matemáticas escolares.

• Comprobar raíces sin división larga.

• Uso en interpolación y aproximación numérica.

• Algoritmos de Horner y optimización de cómputo.

• Criptografía basada en congruencias de polinomios.

• Verificación de multiplicidad de raíces en problemas avanzados.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• El resto es único y grado(R) < grado(D).

• x – c divide P(x) ⇔ P(c)=0 (Teorema del Factor).

• Resto por a x + b requiere –b/a.

• Para (x–c)m, se usan derivadas hasta orden m−1.

• Congruencia: P(x) ≡ R(x) mod D(x).

8. Errores comunes o puntos difíciles

• Olvidar signo al resolver a x + b = 0.

• No agrupar correctamente potencias en el método general.

• Fallas aritméticas al elevar a altas potencias.

• Confundir grado del resto (debe ser menor que el divisor).

• Omitir condiciones de derivadas en multiplicidad.

• Sustituir mal xn = a en el polinomio.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Método de Horner y esquema de Ruffini.

• Relación con interpolación de Lagrange.

• Conexión con la división euclídea en anillos.

• Aplicaciones en ecuaciones diferenciales y series.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante comprenda y aplique el Teorema del Resto y el método general para divisiones de polinomios, mejore su habilidad en evaluaciones rápidas y evite errores aritméticos, fortaleciendo su base para temas avanzados de álgebra.