División por Ruffini

1. Definiciones

• Polinomio: expresión algebraica de la forma anxn + ... + a1x + a0.

• Divisor lineal: polinomio de grado 1, d(x)=a·x + b.

• Cociente: polinomio resultado de la división.

• Residuo: valor constante que sobra al final de la división.

• Coeficiente principal: coeficiente del término de mayor grado en un polinomio.

• Regla de Ruffini: método abreviado de división sintética aplicable cuando el divisor es lineal.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Si d(x)=a·x + b, su raíz es c = -b/a.

• Teorema del resto: al dividir f(x) por (x - c), el resto es f(c).

• Relación fundamental: D(x) = d(x)·q(x) + R.

• Suma de coeficientes de f(x): f(1).

3. Procedimientos paso a paso

1. Ordenar el polinomio dividendo en grado descendente y completar con ceros si faltan términos.

2. Igualar el divisor a cero y calcular c: a·c + b = 0.

3. Escribir en fila los coeficientes del dividendo y colocar c a la izquierda.

4. Bajar el primer coeficiente directamente al cociente crudo.

5. Multiplicar ese valor por c y escribir el resultado bajo el siguiente coeficiente.

6. Sumar verticalmente y repetir: multiplicar el resultado por c y sumar.

7. Al llegar al último término, el número resultante es el residuo; los anteriores son el cociente crudo.

8. Dividir cada coeficiente crudo del cociente entre el coeficiente principal del divisor para obtener los coeficientes finales.

9. Escribir el polinomio q(x) y el valor R.

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Dividir D(x)=2x4-2x3-10x2+4x+7 entre d(x)=2x-6.

1. Raíz: 2x-6=0 ⇒ x=3.

2. Coeficientes: 2, -2, -10, 4, 7.

3. Regla sintética con c=3:
   | 3 │ 2 -2 -10 4 7
   | │ 6 12 6 30
   └─────┴───────────────────────
   2 4 2 10 (37)

4. Cociente crudo: 2, 4, 2, 10; residuo: 37.

5. Dividir entre coeficiente principal: 2 → 1, 2 → 2, 1, 5.

6. q(x)=x3+2x2+x+5, R=37.

Ejemplo 2

Dividir 4x4+4x3-8x2+12x-1 entre 4x-8.

1. Raíz: 4x-8=0 ⇒ x=2.

2. Coeficientes: 4, 4, -8, 12, -1.

3. Regla sintética con c=2:
   | 2 │ 4 4 -8 12 -1
   | │ 8 24 32 44
   └─────┴───────────────────────
   4 12 16 44 (87)

4. Cociente crudo: 4, 12, 16, 44; residuo: 87.

5. Dividir entre coeficiente principal: 4 → 1, 3, 4, 11.

6. q(x)=x3+3x2+4x+11, R=87.

Ejemplo 3

Dividir 2x4+x3+5x2+0·x+7 entre x-2.

1. Raíz: x-2=0 ⇒ x=2.

2. Coeficientes: 2, 1, 5, 0, 7.

3. Regla sintética con c=2:
   | 2 │ 2 1 5 0 7
   | │ 4 10 30 60
   └─────┴──────────────────────────
   2 5 15 30 (67)

4. Cociente crudo: 2, 5, 15, 30; residuo: 67.

5. Coeficiente principal del divisor es 1 → sin cambio.

6. q(x)=2x3+5x2+15x+30, R=67.

Otros ejercicios del documento

• Ejercicio 4: (3x3-2x2-15x-21)/(x-3) → q(x)=3x2+7x+6, resto -3, y q(x)-3x2=7x+6.

• Ejercicio 5: (nx4-x3+3n x-3)/(nx-1) → q(x)=x3+3, suma coeficientes = 4.

• Ejercicio 6: (x5+n x+5)/(x-1), con suma coeficientes =10 → n=5, resto 11.

• Ejercicio 7: (8x4+2x3+x2+b x + b)/(2x-1), término independiente del cociente =6 → b=10, resto 16.

• Ejercicio 8: (2x4+3x2+a x+2)/(x-1) exacta → a=-7, coeficiente lineal aumentado en a = -2.

• Ejercicio 9: ∑k=0nxk sobre x-1, con ∑coef=90·resto → n=180.

• Ejercicio 10: ∑k=020xk sobre x-1 → ∑coeficientes = 210.

• Ejercicio 11: (m2x4+(m2-m)x3+m x2+(m-2)x+6)/(m x-1), con ∑coef=resto → m=2.

• Ejercicio 12: (2x12-3x9+x6-5x3+3)/(x3-2), cambio y=x3 → coef. cúbico = 3.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• División directa para hallar cociente y resto.

• Problemas condicionales: hallar parámetro para división exacta o suma de coeficientes.

• Suma de coeficientes aplicada (f(1)).

• Uso de cambio de variable para divisores de grado >1.

• Preguntas de opción múltiple sobre expresiones del cociente.

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Evaluación rápida de polinomios en ingeniería y física con R=f(c).

• Factorización de polinomios para resolver ecuaciones algebraicas.

• Modelos de crecimiento económico o poblacional representados por polinomios.

• Algoritmos en informática (método de Horner) para eficiencia computacional.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Teorema del resto y teorema del factor.

• D(x)=d(x)·q(x)+R para cualquier polinomio.

• Suma de coeficientes y evaluación en x=1.

• División sintética es equivalente a la división larga cuando el divisor es lineal.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• No ordenar o olvidar coeficientes nulos en el dividendo.

• Confundir el valor c (raíz) del divisor.

• No dividir los coeficientes crudos entre el coeficiente principal del divisor.

• Errores de suma o multiplicación en la sintética.

• Olvidar aplicar cambio de variable para divisores de grado mayor a 1.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• La regla de Ruffini fue ideada por Paolo Ruffini a inicios del siglo XIX.

• La división sintética es una forma simplificada de la división larga exclusiva para divisores lineales.

• Conexión con el método de Horner para evaluaciones polinómicas eficaces.

• No aplica directamente a divisores no lineales.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante comprenda y aplique la regla de Ruffini para dividir polinomios por divisores lineales, interprete restos y relaciones de coeficientes, y resuelva problemas con condiciones sobre parámetros y sumas de coeficientes.