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Polinomio: expresión algebraica de la forma anxn + ... + a1x + a0.
Divisor lineal: polinomio de grado 1, d(x)=a·x + b.
Cociente: polinomio resultado de la división.
Residuo: valor constante que sobra al final de la división.
Coeficiente principal: coeficiente del término de mayor grado en un polinomio.
Regla de Ruffini: método abreviado de división sintética aplicable cuando el divisor es lineal.
Si d(x)=a·x + b, su raíz es c = -b/a.
Teorema del resto: al dividir f(x) por (x - c), el resto es f(c).
Relación fundamental: D(x) = d(x)·q(x) + R.
Suma de coeficientes de f(x): f(1).
Ordenar el polinomio dividendo en grado descendente y completar con ceros si faltan términos.
Igualar el divisor a cero y calcular c: a·c + b = 0.
Escribir en fila los coeficientes del dividendo y colocar c a la izquierda.
Bajar el primer coeficiente directamente al cociente crudo.
Multiplicar ese valor por c y escribir el resultado bajo el siguiente coeficiente.
Sumar verticalmente y repetir: multiplicar el resultado por c y sumar.
Al llegar al último término, el número resultante es el residuo; los anteriores son el cociente crudo.
Dividir cada coeficiente crudo del cociente entre el coeficiente principal del divisor para obtener los coeficientes finales.
Escribir el polinomio q(x) y el valor R.
Dividir D(x)=2x4-2x3-10x2+4x+7 entre d(x)=2x-6.
Raíz: 2x-6=0 ⇒ x=3.
Coeficientes: 2, -2, -10, 4, 7.
Regla sintética con c=3:
| 3 │ 2 -2 -10 4 7
| │ 6 12 6 30
└─────┴───────────────────────
2 4 2 10 (37)
Cociente crudo: 2, 4, 2, 10; residuo: 37.
Dividir entre coeficiente principal: 2 → 1, 2 → 2, 1, 5.
q(x)=x3+2x2+x+5, R=37.
Dividir 4x4+4x3-8x2+12x-1 entre 4x-8.
Raíz: 4x-8=0 ⇒ x=2.
Coeficientes: 4, 4, -8, 12, -1.
Regla sintética con c=2:
| 2 │ 4 4 -8 12 -1
| │ 8 24 32 44
└─────┴───────────────────────
4 12 16 44 (87)
Cociente crudo: 4, 12, 16, 44; residuo: 87.
Dividir entre coeficiente principal: 4 → 1, 3, 4, 11.
q(x)=x3+3x2+4x+11, R=87.
Dividir 2x4+x3+5x2+0·x+7 entre x-2.
Raíz: x-2=0 ⇒ x=2.
Coeficientes: 2, 1, 5, 0, 7.
Regla sintética con c=2:
| 2 │ 2 1 5 0 7
| │ 4 10 30 60
└─────┴──────────────────────────
2 5 15 30 (67)
Cociente crudo: 2, 5, 15, 30; residuo: 67.
Coeficiente principal del divisor es 1 → sin cambio.
q(x)=2x3+5x2+15x+30, R=67.
Ejercicio 4: (3x3-2x2-15x-21)/(x-3) → q(x)=3x2+7x+6, resto -3, y q(x)-3x2=7x+6.
Ejercicio 5: (nx4-x3+3n x-3)/(nx-1) → q(x)=x3+3, suma coeficientes = 4.
Ejercicio 6: (x5+n x+5)/(x-1), con suma coeficientes =10 → n=5, resto 11.
Ejercicio 7: (8x4+2x3+x2+b x + b)/(2x-1), término independiente del cociente =6 → b=10, resto 16.
Ejercicio 8: (2x4+3x2+a x+2)/(x-1) exacta → a=-7, coeficiente lineal aumentado en a = -2.
Ejercicio 9: ∑k=0nxk sobre x-1, con ∑coef=90·resto → n=180.
Ejercicio 10: ∑k=020xk sobre x-1 → ∑coeficientes = 210.
Ejercicio 11: (m2x4+(m2-m)x3+m x2+(m-2)x+6)/(m x-1), con ∑coef=resto → m=2.
Ejercicio 12: (2x12-3x9+x6-5x3+3)/(x3-2), cambio y=x3 → coef. cúbico = 3.
División directa para hallar cociente y resto.
Problemas condicionales: hallar parámetro para división exacta o suma de coeficientes.
Suma de coeficientes aplicada (f(1)).
Uso de cambio de variable para divisores de grado >1.
Preguntas de opción múltiple sobre expresiones del cociente.
Evaluación rápida de polinomios en ingeniería y física con R=f(c).
Factorización de polinomios para resolver ecuaciones algebraicas.
Modelos de crecimiento económico o poblacional representados por polinomios.
Algoritmos en informática (método de Horner) para eficiencia computacional.
Teorema del resto y teorema del factor.
D(x)=d(x)·q(x)+R para cualquier polinomio.
Suma de coeficientes y evaluación en x=1.
División sintética es equivalente a la división larga cuando el divisor es lineal.
No ordenar o olvidar coeficientes nulos en el dividendo.
Confundir el valor c (raíz) del divisor.
No dividir los coeficientes crudos entre el coeficiente principal del divisor.
Errores de suma o multiplicación en la sintética.
Olvidar aplicar cambio de variable para divisores de grado mayor a 1.
La regla de Ruffini fue ideada por Paolo Ruffini a inicios del siglo XIX.
La división sintética es una forma simplificada de la división larga exclusiva para divisores lineales.
Conexión con el método de Horner para evaluaciones polinómicas eficaces.
No aplica directamente a divisores no lineales.
Que el estudiante comprenda y aplique la regla de Ruffini para dividir polinomios por divisores lineales, interprete restos y relaciones de coeficientes, y resuelva problemas con condiciones sobre parámetros y sumas de coeficientes.