División por Horner

1. Definiciones

• Polinomio: Expresión algebraica que suma términos de la forma a·xn, donde a es coeficiente real y n entero ≥ 0.

• Dividendo D(x) y Divisor d(x): Polinomios que participan en la división; se busca cociente y residuo.

• Cociente q(x): Polinomio que multiplica al divisor para aproximarse al dividendo.

• Residuo R(x): Polinomio que completa la identidad D(x)=d(x)·q(x)+R(x), con grado(R)<grado(d).

• División exacta: Cuando R(x)=0.

• División inexacta: Cuando R(x)≠0 y su grado es menor que el del divisor.

• Método de Horner: Técnica de reducida complejidad para dividir polinomios por x−c o evaluar polinomios, usando un esquema de coeficientes.

2. Fórmulas clave o reglas matemáticas

• Identidad de la división: D(x) = d(x)·q(x) + R(x), donde grado(R)<grado(d).

• Grado del cociente: grado(q) = grado(D) − grado(d).

• Máximo grado del residuo: grado(R) ≤ grado(d) − 1.

• Residuo por sustitución: Si d(x) se factoriza en ceros ci, entonces R(x) de grado ≤ k se halla evaluando

  • D(ci) = R(ci), para cada raíz ci.

3. Procedimientos paso a paso

1. Ordenar: Escribir D(x) y d(x) en forma decreciente de grado, completando con coeficientes cero si faltan.

2. Esquema de Horner: Colocar coeficientes del divisor y dividir mediante un cuadro; trazar línea vertical dejando grado(d) columnas para el residuo.

3. Iterar operación:

   • Dividir: Primer coeficiente del resto parcial ÷ primer coeficiente del divisor.

   • Multiplicar: Resultado × cada coeficiente del divisor.

   • Sumar: Sumar verticalmente a los coeficientes del paso previo.

4. Repetir hasta procesar todos los coeficientes del dividendo.

5. Interpretar: Los coeficientes a la izquierda de la línea vertical son de q(x); los resultados finales, del R(x).

4. Ejemplos resueltos

4.1 División simple: x² + 2 entre x + 3

1. Aplicar identidad: x² + 2 = (x + 3)·q(x) + R.

2. Observar que (x + 3)(x − 3) = x² − 9; para obtener x² + 2, se suma 11.

3. Concluir: q(x)=x−3, R=11. Verificar grado(R)=0<1=grado(d).

4.2 División: x³ + 5x + 2 entre x² + 4

1. Identidad: x³+5x+2=(x²+4)·q(x)+R(x).

2. Multiplicar: (x²+4)·x = x³ + 4x; restar de x³+5x+2 da resto x+2.

3. Concluir: q(x)=x, R(x)=x+2. Verificar grado(R)=1<2.

4.3 División exacta: x²+5x+6 entre x+2

1. Notar que (x+2)(x+3)=x²+5x+6.

2. Concluir: q(x)=x+3, R=0.

4.4 Cálculo de residuo por raíces

1. Dividir x⁴+1 entre (x−1)(x−2). El divisor anula en x=1,2.

2. El residuo es R(x)=ax+b. Sustituir:
   - En x=1: 1+1=a+b=2.
   - En x=2: 16+1=17=2a+b.

3. Resolver sistema: a=15, b=−13. Así, R(x)=15x−13.

4.5 Método de Horner: 2x⁴+5x³+8x²+3 entre 2x²−x+3

1. Ordenar y completar: D=[2,5,8,0,3], d=[2,−1,3].

2. Esquema de Horner: dividir coeficientes sucesivamente (ver procedimiento).

3. Obtener: q(x)=x²+3x+4, R(x)=−5x−9.

5. Tipos de ejercicios propuestos

• Divisiones simples por binomios (x±c).

• División por polinomios de grado ≥2.

• Cálculo del residuo mediante sustitución en raíces.

• Uso completo del método de Horner.

• Problemas de parámetros desconocidos (hallar coeficientes para división exacta).

6. Aplicaciones prácticas o contextualizadas

• Factorizar polinomios mediante divisiones sucesivas.

• Evaluar polinomios en un punto usando Horner, útil en interpolación científica.

• Optimizar cálculos en métodos numéricos y programación de algoritmos.

• Verificar divisibilidad en álgebra computacional.

7. Propiedades matemáticas relevantes

• Unicidad: Cociente y residuo son únicos para una división dada.

• Relación de grados: grado(q)=grado(D)−grado(d), grado(R)≤grado(d)−1.

• Linealidad parcial: Si D₁,D₂ comparten divisor, sus cocientes y residuos mantienen relación aditiva.

8. Errores comunes o puntos difíciles

• Olvidar completar términos con coeficiente cero.

• No ordenar correctamente los polinomios.

• Equivocarse al trazar la línea vertical en Horner (número de columnas).

• No verificar grado(R)<grado(d) tras el cálculo.

• Confundir raíces al calcular residuo por sustitución.

9. Otros tipos de información relevantes del tema

• Comparación entre Horner en orden creciente vs. decreciente.

• Uso de software algebraico para validación de resultados.

• Relación con teorema del resto y teorema del factor.

10. Objetivo pedagógico

Que el estudiante comprenda y aplique la división de polinomios, identifique el cociente y residuo, y domine el método de Horner como herramienta eficiente para cálculos algebraicos.