NÚMEROS ENTEROS : DEFINICIÓN, RELACIONES Y OPERACIONES

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos que se desarrollarán (pág. 36 de la guía).

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el sustraendo o divisiones donde donde el divisor era mayor que el dividendo, pero en la vida nos encontramos con situaciones y operaciones en las que es necesario el manejo de números con valores positivos y negativos; por ejemplo, cuando observamos la variación del cambio climático, el movimiento de las acciones de una empresa o de la bolsa; para indicar la variación de precios en los alimentos y en la moneda extranjera; para indicar los ingresos y los egresos de una empresa o de los miembros de una familia; al indicar temperaturas inferiores o superiores a cero, para señalar los goles a favor o en contra de cierto equipo de fútbol, cuando se indican desplazamientos hacia la izquierda o hacia la derecha, al referirse a los pisos superiores o inferiores de un edificio de un centro comercial, esas son algunas de las situaciones en las que utilizamos los números enteros. O simplemente en situaciones en las requerimos fijar un punto relativo. Es así como el manejo de los números enteros se convierte en indispensable para el buen desarrollo de nuestra vida en la sociedad.

Los números enteros nacen de la necesidad que tuvo el hombre de la antigüedad de dar un valor positivo o negativo a los números naturales, y aunque al principio no eran aceptados por todas las sociedades, hoy son reconocidos y utilizados universalmente.

El uso de los números enteros ha contribuido históricamente a la construcción de la misma Matemática en torno a problemas relacionados con hallar valores para que una ecuación sea cierta o poder representar geométricamente situaciones de variación.

Pasos para representar números enteros en la recta numérica:

1. Traza una línea recta horizontal,

2. Se toma un punto cualquiera que se señala como cero (punto de referencia).

3. A la derecha del cero y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

4. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3, -4, -5, ...

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero. Ejemplo: −7 < 0

2. Todo número positivo es mayor que cero. Ejemplo: 7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ejemplo: −7 > − 10 porque |−7| < |−10|

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: 10 > 7 porque |10| > |7|

6.1 Observa los siguientes videos.

6.2 En el primer video observa cómo debes usar el simulador de números enteros.

Luego, dale clic a la imagen, para seguir practicando valor absoluto, representación en la recta numérica y relación de orden en los números enteros.

1. Describe tres situaciones en las que se hace necesario el uso de números negativos. Por ejemplo, para expresar las lecturas del termómetro de ambiente.

2. Escribe el número que representa la situaciones que se plantea:

a) Mercedes tiene en el banco 250.000 pesos. ___________

b) Miguel debe 150.000 pesos. ___________

c) Vivo en el séptimo piso. ___________

d) Tengo el coche parqueado en el segundo sótano. ___________

e) El termómetro marca 18 °C. ___________

f) El termómetro marca tres grados bajo cero. ___________

g) Tengo un billete de 20.000 pesos. ___________

h) Debo 2.000 pesos a un amigo. ___________

3. Expresa numéricamente cada enunciado:

a) He ganado 300.000 pesos en esta quincena. ___________

b) He pagado una factura de 60.000. ___________

c) El termómetro ha subido cinco grados. ___________

d) El termómetro ha bajado cinco grados. ___________

e) El ascensor ha subido cuatro pisos. ___________

f) El ascensor ha bajado cuatro pisos. ___________

g) He perdido una moneda de 500 pesos. ___________

h) Bajamos al sótano 3. ___________

i) Nació en el año 234 antes de Cristo. ___________

j) El avión vuela a 2.455 m de altura. ___________

4. Escribe el opuesto de cada número.

a) Opuesto de (+3) =

b) Opuesto de (–7) =

c) Opuesto de (–12) =

d) Opuesto de (+15) =

e) Opuesto de (+321) =

f) Opuesto de (-286) =

g) Opuesto de (+3,890) =

h) Opuesto de (-0,861) =

i) Opuesto de (-1/2) =

j) Opuesto de (+3/4) =

k) Opuesto de (-2,0056) =

l) Opuesto de (+0,0008) =

6. Escribe >, <, =, según corresponda.

a) (+8) ____ (+3)

b) (–8) ____ (+3)

c) (+8) ____ (–3)

d) (–2) ____ (–5)

e) (+2) ____ (–5)

f) (–2) ____ (+5)

g) (-1.000) ____ (-1.001)

h) (-1.000) ____ (+1)

i) (+2) ____ (-253)

7. Ordena, de menor a mayor los siguientes números enteros:

a) +5, –3, –7, 0, +1, +6, –12, –5

a) ………. < ………. < ………. < ………. < ………. < ………. < ………. < ……….

b) –6, –3, –9, 0, –1, –5, –12, –4

b) ………. < ………. < ………. < ………. < ………. < ………. < ………. < ……….

8. Halla el valor absoluto adecuadamente.

a) |-5,34| =

b) |+7| =

c) |-234| =

d) |+37| =

e) |-1| =

f) |+79| =

g) |7 + 18| =

h) |-99 + 37| =

i) |-29|- 6 =

j) |-46,283 + 37| =

k) |-346,283| - 37 =

l) |3,99 - 37 |=

Adición de dos enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

Ejemplos: 3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplos: ( − 3) + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Retroalimentación de la adición de dos enteros

¿Qué significan las siguientes expresiones?

+600 +300 = +900 esta expresión significa que tienes 600 pesos y te regalan 300 pesos, en total tienes 900 pesos.

-700 -500 = -1200 esta expresión significa que debes 700 pesos y gastas 500 pesos, en total tienes una deuda de 1200 pesos.

-600 +800 = +200 esta expresión significa que tienes 800 pesos, pero debes 600 pesos, en total tienes 200 pesos.

Aquí el dinero supera las deudas

-500 +300 = -200 esta expresión significa que debes 500 pesos y tienes 300 pesos, en total debes 200 pesos.

Aquí las deudas superan el dinero.

• El signo más (+) puede indicar suma o que el número es positivo.

• El signo menos (-) puede indicar resta o que el número es negativo.

¿Cómo escribimos "sumarle al 5 el número -6"?

No es correcto escribir 5 + -6

Lo correcto es 5+(-6)

¿Cómo escribir "restarle al 6 el número -8"?

No es correcto 6 - -8

Lo correcto es 6 - (-8)

Nota: No podemos escribir dos signos seguidos, debemos separarlos mediante un paréntesis.

• Si los dos signos son iguales el resultado positivo. Así, +(+a) = +a y -(-a ) = +a

• Si los dos signos son distintos el resultado es negativo. Así, +(-a ) = -a y -(+a) = -a

Ejemplos: +(+2) =+2 -(-2) = +2

- (+2) = -2 +(-2) = -2

Cuando se presenten ejercicios del tipo:

( -5 ) + ( -2 ) =

( +3 ) - ( -7 ) =

Deberemos

1°. Eliminar los paréntesis

2°. Operar adecuadamente los números resultantes

Recuerda que :

+ (+a) = +a - (+a) = -a

+ (-a) = -a - (-a) = +a

Ejemplos: Recuerda que primero se eliminan los paréntesis y luego se opera.

a. (+3) + (-5) = +3 – 5 = -2

b. (-2) + (+4) = -2 + 4 = +2

c. (+1) - (+7) = +1 – 7 = -6

d. (+2) - (-6) = +2 + 6 = +8

e. (-2) - (+6) = -2 - 6 = -8

1. Realiza las siguientes adiciones de números enteros.

a) +7 +4 =

b) –5 –4 =

c) +8 –2 =

d) –5 +9 =

e) –5,79 + 9,99 =

f) +589,0001 + 9,001 =

g) –5/4 + 9/4 =

h) +11/17 - 99/17 =

2. Realiza la siguientes adiciones de números enteros usando el método de agrupar, recuerda utilizar los paréntesis ( ) para agrupar.

a) –4 + 5 –3 =

b ) +3 –5 +7 =

c) –3 + 5 – 8 =

d) +4 – 7 – 8 =

e) +89,0001 + 9,001 - 8 =

f) - 59,76 + 19,81 - 3 =

g) +159,76 - 19,81 - 3 =

h) -1/17 +11/17 - 99/17 =

3. Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de tener y deber.

a) –4 + 5 –3 =

b ) +3 –5 +7 =

c) –3 + 5 –8 =

d) +4 – 7 –8 =

4. Destruye los paréntesis.

a) + (+3,07) =

b) – (+4)=

c) – (-5)=

d) + (-2) =

e) +(+2) =

f) +(–8) =

g) –(+4/3) =

h) –(–9/2) =

i) –(+5,098) =

j) +(–12,56) =

5. Realiza las siguientes adiciones y sustracciones de números enteros, recuerda destruir los paréntesis y luego operar.

a) +(+3) + (-5) =

b) –(+4) – (+6) =

c) – (-5) + (+7) =

d) -(+3) + (+1) – (-4) =

e) -(+2) - (+1) – (+5) =

f) -(+2) + (-1) + (-4) – (-5)=

g) -(+1) - (+3) - (-4) – (-5)=

h) 12 + (+4) =)

i) 10 – (+8) =

j) 13 – (+9) =

k) 8 + (+3) =

l) 15 – (–6) =

6. Calcula.

a) 15 – [10 – (8 + 4)] =

b) 12 – [7 – (2 – 10)] =

c) (–6 ) + [5 + (2 – 12)] =

d) (–7) – [3 – (4 – 9)] =

e) (2 – 10) + [5 – (8 + 2)] =

f) (12 – 3) – [1 – (2 – 6)] =

g) [9 – (+5)] + [7 + (–10)] =

h) [10 – (–2)] – [5 – (+12)] =

Ejemplos: Recuerda que primero se multiplica el valor absoluto de los números y luego se aplica la ley de signos.

a. (+2) · (+5) = +10

b. (−2) · (−5) = +10

c. (+2) · (−5) = − 10

d. (−2) · (+5) = − 10

e. (+4) · (+3) = +12

f. (-4) · (-3 ) = +12

g. (+4) · (-3 ) = -12

h. (-4 ) · (+3) = -12

i. (+2,1) · (+5,2) = +10,92

j. (−2,1) · (−5,2) = +10,92

k. (+2,1) · (-5,2 ) = -10,92

l. (-2,1) · (+5,2 ) = -10,92

m. (+1/2) · (+7/2) = +7/4

n. (-1/2) · (-7/2) = +7/4

o. (+1/2) · (-7/2) = -7/4

p. (-1/2) · (+7/2) = -7/4

Situaciones matemáticas resueltas

1. Juan ahorra 6.000 pesos al mes, ¿cuánto ahorrará al cabo de 4 meses?

Procedimiento: Debo realizar una multiplicación de números enteros, para saber cuánto ahorrará Juan al cabo de 4 meses.

Operaciones: (+6.000) · (+4) = +24.000

Respuesta: Juan ahorrará $24.000 al cabo de 4 meses.

2. Ana gasta 50.000 pesos al mes. ¿Cuánto gastará al cabo de 3 meses? gastará al cabo de 3 meses.

Procedimiento: Debo realizar una multiplicación de números enteros, para saber cuánto gastará Ana al cabo de 3 meses.

Operaciones: (-50.000) · (+3) = -150.000

Respuesta: Ana gastará 150.000 pesos al cabo de 3 meses.

3. Luis gasta 70.000 pesos al mes en los pasajes para ir a su colegio. Luis deja de asistir al colegio durante 2 meses. ¿Cuánto ha ahorrado Luis?

Procedimiento: Debo realizar una multiplicación de números enteros, para saber cuánto dinero ha ahorrado Luis.

Operaciones: (-70.000) · (-2) =+140.000

Respuesta: Luis ahorrará 140.000 pesos al cabo de 2 meses.

Ejemplos: Recuerda que primero se divide el valor absoluto de los números enteros y luego se aplica la ley de signos.

a. (+10) : (+ 5) =+2

b. (−10) : (−5) =+2

c. (+10) : (−5) = −2

d. (−10) : (+5) = −2

e. (+12) : (+3) = +4

f. (-25 ) : (-5 ) = +5

g. (+14) : (-2 ) = -7

h. (-24 ) : (+4) = -6

i. (+2) : (+4) = +0,5

j. (-2) : (-4) = +0,5

k. (+2) : (-4) = -0,5

l. (-2) : (+4) = -0,5

m. (+1/2) : (+1/7) = +7/2

n. (-1/2) : (-1/7) = +7/2

o. (+1/2) : (-1/7) = -7/2

p. (-1/2) : (+1/7) = -7/2

1. Quita el paréntesis, calcula, y comprueba el resultado.

a) +(1 – 8 + 3) =

b) –(–6 + 5 – 7) =

c) –(7 – 5 + 4) =

d) +(–3 – 1 – 4) =

e) –(–2 – 4) =

2. Realiza los siguientes productos y divisiones de números enteros.

a) 3 · (–2) =

b) 4 · (+5) =

c) (+3) · (–8) =

d) (–9) · (–3) =

e) (–6) · (+4) =

f) (+24) : (+3)=

g) (+15) : (-3)=

h) (-14) : (-2)=

i) (-30) : (+6)=

3. Calcula

a) [(+6) · (– 4)] : (–3) =

b) [(–15) · (–2)] : (+6) =

c) (–5) · [(+12) : (–3)] =

d) [(–5) · (+12)] : (–3) =

e) 5 · (– 4) + 2 · (–3) =

f) 20 : (–5) – 8 : (+2) =

g) 2 · (–8) – 3 · (–7) – 4 · (+3) =

h) 6 : (+2) + 5 · (–3) – 12 : (–4) =

i) (–8) · (+2) + (–5) · (–3) =

j) (+27) : (–3) – (+3) · (–5) – (– 6) · (–2) =

k) 19 – (–3) · [5 – (+8)] =

l) 12 + (–5) · [8 + (–9)] =

m) 12 – [13 – (–7)] : (–5) =

n) 10 – (+20) : [7 + (–3)] =

o) (–2) · (5 – 7) – (–3) · (8 – 6) =

p) (9 – 6) · (–2) + (13 + 3) : (–4) =

q) (+40) : (–8) – (–30) : (+6) =

r) (–2) · (–9) + (–24) : (–3) – (–6) · (–4) =

8.8.1 Observa el siguiente video, donde se da una explicación del concepto de potenciación con varios ejemplos de la potencia de diferentes números y diferentes exponentes, además algunas potencias de números especiales como base 0 y 1 o exponente 0 y 1. Escribe en tu cuaderno las ideas principales y los ejemplos del video.

Ejemplos: Observa muy bien los siguientes ejemplos y escríbelos en tu cuaderno.

8.9.1 Observa el siguiente video, donde se da una explicación del concepto de radicación y su relación con la potenciación. Escribe en tu cuaderno las ideas principales y los ejemplos del video.

Un ejercicio de radicación plantea el siguiente interrogante:

¿Qué número elevado al índice de la raíz da como resultado el radicando?

O dicho de otra forma: ¿Qué número elevado a la n da como resultado a?

El resultado de la radicación se denomina ráiz y es ese número elevado a la n del cual se busca que de como resultado al radicando a.

Importante:

• La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones, que no siempre son números enteros.

• La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe.

Por ejemplo: la raíz cuadrada de -4 no existe, porque ningún numero multiplicado por si mismo da como resultado -4.

1. Calcula

2. Calcula mentalmente

3. Calcula

4. Calcula

5. Calcula

6. Calcula

7. Calcula las siguientes potencias y raíces cuadradas

Ahora pongamos en práctica lo aprendido. ¡Activa tus neuronas!

Recuerda que cada ejercicio debe tener su procedimiento, operaciones y respuesta.

3. La siguiente tabla muestra tres formas de gobierno en Roma y su tiempo de duración.

a) ¿Cuántos años duró cada forma de gobierno?

b) ¿Cuál gobierno duró más tiempo?

a) Si Platón vivió 90 años, Arquímedes 75 años y Euclides 82 años, ¿en qué año murió cada uno?

b) ¿Cuántos años después de haber nacido Platón nació Arquímedes?

a) ¿Cuál elemento de la tabla necesita menor temperatura para fundirse?

b) Ordena los elementos de la tabla de menor a mayor temperatura de fusión.

c) Felipe afirma que el helio tiene mayor punto de ebullición que el hidrógeno, ¿es correcta su afirmación? ¿por qué?