Modelos co-algebraicos para tipos de homotopía

Manuel Rivera (Purdue University)

Resumen: Una de las metas de la topología algebraica es clasificar espacios topológicos, salvo una relación de equivalencia, mediante modelos algebraicos. La teoría de homotopía racional de Sullivan y Quillen nos dice espacios topolgócios simplemente conexos salvo homotopía racional están completamente determinados por sus algebras diferenciales graduadas conmutativas de formas diferenciales polinomiales. Sobre los enteros, Mandell demostró que la estructura de algebra E-infinito (una noción que captura la conmutatividad salvo homotopías coherentes) de las cocadenas singulares con coeficientes enteros determina completamente el tipo de homotopía de espacios simplemente conexos.

La dificultad de extender estos resultados para espacios con grupo fundamental arbitrario tiene que ver, entre otras razones, con falla de conmutatividad del grupo fundamental.

En esta charla explicaré como extender estos resultados a todos los espacios (con grupo fundamental arbitrario).

La observación clave que será discutida es que la estructura co-algebraica de las cadenas singulares en un espacio determinan completamente el grupo fundamental. La idea principal para dar una formulación precisa de este enunciado y luego demostrarlo es modelar en términos puramente algebraicos el pasaje de un espacio a su espacio de lazos basados en un punto base. Esta es una observación que es de interés independiente a los resultados mencionados en el párrafo anterior y utiliza principalmente herramientas de topología algebraica clásica. Estos resultados son parte de una colaboración con M. Zeinalian y F. Wierstra.