Fusión en grupos finitos para el estudio de ciertos posets de órbitas como espacios finitos

Kevin Piterman (Universidad de Buenos Aires)

Resumen: La fusión de un grupo finito estudia, a grandes rasgos, las clases de conjugación de elementos y subgrupos, y los morfismos de conjugación entre ellos. Cuando localizamos en un primo p, fijamos un p-subgrupo de Sylow S de G y formamos la categoría de fusión F_S(G) que consiste de los subgrupos de S como objetos, y donde Hom(A,B) son los morfismos entre A,B inducidos por conjugar por un elemento de G. Esta categoría guarda gran parte de la información p-local del grupo y una fuerte conexión con el estudio de p-completaciones de espacios clasificantes y teoría de representación modular.

En esta charla, contaré sobre cierta relación entre la p-fusión y el estudio del tipo homotópico de los posets de p-subgrupos de un grupo finito G. Concretamente, si X es un G-poset cuyos elementos son p-subgrupos de G, entender la estructura del poset de órbitas X/G guarda una fuerte conexión con la p-fusión en G. Por ejemplo, la conjetura de Peter Webb (probada primero por P. Symonds) afirma que si X es el poset Ap(G) de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de G, entonces el complejo de orden de Ap(G) tiene espacio de órbitas contráctil. Veremos cómo esta conjetura puede reformularse en términos de la topología intrínseca de X como espacio topológico finito, donde resulta estrictamente más fuerte y permanece abierta. Mostraré también que dicha conjetura puede fallar con la topología finita si X es el poset Sp(G) de todos los p-subgrupos no triviales de G. Como Ap(G) y Sp(G) son G-homotópicamente equivalentes con la topología del complejo de orden pero no con la topología finita, esto resalta el poder de los espacios finitos para poder detectar ciertas propiedades homotópicas intrínsecas, invisibles en cierto sentido para la topología clásica.