El seminario se desarrolla de forma virtual cada dos semanas a las 19:00 UTC 

13:00 (Méx) = 14:00 (Col, Per)=15:00(Ven) = 16:00 (Arg, Bra, Chi, Uru) = 21:00 (Esp)

Para recibir anuncios por correo electrónico, comunciarse con los organizadores.

Temporada 2024

Título: Sistemas Dinámicos y Geometría Aritmética: Funtores de Puntos, Anillos de Periodos y Deformaciones Infinitesimales

Jesús Rogelio Pérez Buendía (CONAHCYT - CIMAT Mérida)

11/06/2024 

En esta charla, exploraremos los sistemas dinámicos mediante una analogía con la categoría de variedades algebraicas, utilizando categorías y funtores de puntos. Presentaremos los sistemas dinámicos discretos y aritméticos como funtores de puntos, y discutiremos cómo las herramientas categoriales permiten una comprensión más profunda y estructurada de estos sistemas.

Analizaremos brevemente cómo estas técnicas pueden aplicarse en el estudio de sistemas dinámicos en anillos de periodos de Fontaine y en la curva de Fargues-Fontaine, destacando su relevancia para la teoría aritmética. Además, examinaremos el concepto de deformaciones infinitesimales de sistemas dinámicos, empleando métodos análogos a los utilizados en la teoría de esquemas, para mostrar cómo estas deformaciones pueden ofrecer nuevas perspectivas y herramientas de estudio.

La presentación está diseñada para proporcionar una visión general de estas intersecciones matemáticas, con el objetivo de fomentar el interés y la investigación en estos temas. Ejemplos específicos se utilizarán para ilustrar cómo estas ideas se aplican en la práctica.

Título: Irreducibilidad de potencias simétricas de ciertas representaciones ℓ-ádicas

Javier Navarro (Pontificia Universidad Católica de Valparaiso)

Resumen: En esta charla, presentaré criterios para la irreducibilidad de las potencias simétricas de ciertas representaciones ℓ-ádicas. Dado un cuerpo global de funciones F de característica p≠ℓ, me enfocaré en representaciones ℓ-ádicas irreducibles de dimensión 2 del grupo de Galois absoluto de F. Explicaré cómo estos resultados dan lugar a criterios de cuspidalidad de representaciones automorfas. Esto es un trabajo en conjunto con L. Lomelí. 

14/05/2024 

Título: Polinomios de inflexión de series lineales en curvas (súper)elípticas

Cristhian Garay Lopez (CONAHCYT - CIMAT Guanajuato)

02/04/2024 

Resumen: El concepto de punto de inflexión se estudia en la geometría de curvas algebraicas planas suaves, siendo aquellos puntos que tienen un grado de intersección especial con su recta tangente.

De manera más general, el concepto de punto de inflexión está asociado a una serie lineal construida sobre una curva algebraica proyectiva y suave sobre un campo dado F, y un problema interesante es hallar los puntos de inflexión F-racionales de la serie lineal, cuando F no es algebraicamente cerrado.

En esta charla introduciremos las herramientas necesarias para entender este problema, y describiremos los polinomios de inflexión asociados a ciertas series lineales definidas sobre curvas elípticas, hiper-elípticas, y súper-elípticas sobre un campo arbitrario F, cuyas raíces determinan los puntos de inflexión F-racionales de las mismas.

Título: Algunas variantes de la multiplicación de enteros con aplicaciones a la teoría de particiones

Francisco Javier de Vega (Universidad Rey Juan Carlos)

19/03/2024 

Resumen: En esta charla, asumiremos los axiomas de la aritmética de Dedekind-Peano (PA) formulados como un lenguaje de primer orden. A partir de aquí, modificaremos el  axioma de multiplicación. Por cada modificación, obtendremos una nueva aritmética y nuestro propósito será ver las semejanzas y diferencias entre el modelo estándar de PA y los nuevos modelos modificados. Además, veremos que la verdad o falsedad de algunas conjeturas clásicas es equivalente en los nuevos modelos de aritmética que aparecen, aunque estos tengan una operación producto no conmutativa ni asociativa.

En la segunda parte de esta charla, estudiaremos problemas de particiones considerando el conjunto de divisores de un número en las nuevas aritméticas propuestas en la primera parte. Con esta idea, nos centraremos en tres problemas de particiones:

• La enumeración del conjunto AP(n) de particiones de un entero positivo n cuya secuencia no decreciente de partes forman una progresión aritmética.

• El estudio del conjunto DPC(n), esto es, el problema de dividir n en partes cuyas diferencias entre las partes consecutivas forman la secuencia de números consecutivos. Por ejemplo: (1, 5, 10, 16) ∈ DPC(32). También aplicaremos los resultados obtenidos para resolver el problema de la representación de un entero positivo a como suma de números triangulares consecutivos. En particular, nos centraremos en el caso en el que a es también un número triangular.

•  Una posible generalización de los dos problemas previos: la enumeración del conjunto PP(n) de particiones de n cuyas no decrecientes partes p(1),p(2),...,p(d), están contenidas en un polinomio de segundo grado p(x) ∈ Q[x].

Referencias

[1] A. O. Munagi and F. J. de Vega. An extension of Sylvester’s theorem on arithmetic progressions. Symmetry, 15(6):1276, 2023. doi: 10.3390/sym15061276.

[2] F. J. de Vega. Some variants of integer multiplication. Axioms, 12(10):905, 2023. doi:10.3390/axioms12100905.

Título: Algunos resultados sobre Distribuciones de Schwartz discretas y teoría de números

Alberto Verjovsky (Universidad Nacional Autónoma de México)

20/02/2024 

Resumen:  Se describirán familias μ(t, F)  de medidas discretas en ℝ_+={t ∈ ℝ  | t>0], dependiendo de un parámetro real positivo t>0, y una función aritmética F, tales que convergen como distribuciones, cuando t tiende a cero, a una medida de Lebesgue en ℝ_+, de la forma kt^α dt. (donde k una constante) y α depende de la función aritmética F. Cuando F es una de las funciones de Euler, von Mangoldt, Möbius, o Liouville, se obtienen criterios equivalentes a la hipótesis de Riemann, si el exponente α es óptimo.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Temporada 2023

Título: Endomorfismos de variedades abelianas de tipo GL_2 y ecuaciones diofánticas

Lucas Villagra Torcomian (Universidad Nacional de Córdoba)

01/12/2023 

Resumen:  Sean f y g dos formas modulares con el mismo cuerpo de coeficientes. En esta charla veremos cómo una congruencia entre las representaciones de Galois de f y g para un primo p suficientemente grande implica fuertes condiciones entre las álgebras de endomorfismos de las variedades abelianas asociadas a las formas f y g. Luego, veremos una de las posibles aplicaciones de dicho resultado para la prueba de la no existencia de soluciones de ecuaciones diofánticas.

CANCELADA

Betzabe Topete Galvan (Universidad Nacional Autónoma de México)

17/11/2023 

Título: Sobre la geometría de la variedad de Hecke para GL(4)

Daniel Barrera Salazar (Universidad de Santiago de Chile)

03/11/2023 

Resumen: Las variedades de Hecke son espacios de moduli de formas automorfas p-ádicas de un grupo reductivo dado.  Los puntos correspondientes a formas automorfas algebraicas son llamados puntos clásicos y su estudio tiene importancia en aritmética. En esta charla explicaremos algunos trabajos sobre la geometría de variedades de Hecke para GL(4), tales como suavidad en ciertos puntos clásicos y la densidad de estos puntos en componentes irreducibles. 

Título: Formas de Bianchi y cohomolgía

Luis Santiago Palacios (Institut de Mathématiques de Bordeaux)

20/10/2023  

Resumen: El objetivo de esta charla es dar ideas sobre la contribución de las formas automorfas en la cohomología de espacios localmente simétricos. Comenzaremos introduciendo las formas automorfas, centrándonos en caracteres de Hecke, formas modulares y formas de Bianchi. Posteriormente, definiremos los espacios localmente simétricos, mostraremos ejemplos y discutiremos la contribución de las formas automorfas en su cohomología. Si el tiempo lo permite, describiremos como utilizar lo anterior para producir variación p-ádica de formas de Bianchi.

Título: Puntos enteros sobre curvas elípticas 

Marc Hindry (Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche)

06/10/2023  

Resumen: Partimos de un problema clásico relativamente antiguo: ¿cuales números naturales se pueden escribir como producto de dos números consecutivos y también como producto de tres números naturales  en una progresión aritmética de razón a? Mordell resolvió el caso a=1, Godinho-Porto-Togbé el caso a=2,5 y luego Lee-Louboutin realizaron nuevos avances para algunos valores de a. En particular, este último encontró, para todos los valores de a, tres soluciones, que llamaremos "estándar". Aportamos la potencia de la teoría de las curvas elípticas (ley de grupo, descenso, reducción modulo p, alturas canónicas, formas lineales de logaritmos elípticos) para avanzar sustancialmente  en el problema, dando en particular un criterio bastante general que garantiza cuando las tres soluciones estándar  son las únicas. También demostramos que hay infinitos valores de a para los que existen soluciones adicionales. La familia de curvas elípticas que estudiamos : y^2+y=x^3-a^2x es un ejemplo interesante para testar varias conjeturas.