Системи числення

1. Поняття системи числення 

Ми звикли вести рахунок десятками (10 одиниць утворює десятку, 10 десятків – сотню і т.д.), тобто вести рахунок у десятковій системі числення. Існують інші системи числення.

Системою числення називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід'ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування невід'ємних чисел 0, 1,… з деякої їх скінченної множини за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв'язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв'язання зазначених задач і її використання на практиці.

Під системою числення розуміють сукупність правил зображення чисел цифровими знаками.

Розрізняють такі типи систем числення:

• позиційні

• змішані

• непозиційні

В непозиційних системах числення вага кожного знака не залежить від його положення по відношенню до інших знаків у числі, кількість знаків не обмежена.

У римській системі числення: I - 1, V - 5, X - 10 і т. д.

В одиничній системі числення число сім представляється сімома одиничками:

(7)10 = (1111111)1

Недоліками непозиційних систем числення є:

• громіздкість зображення чисел;

• труднощі у виконанні операцій.

Наочність зображення чисел і відносна простота виконання операцій характерні для позиційних систем числення.

Система числення називається позиційною, якщо при записуванні числа одна і таж цифра має різне значення, яке визначається місцем (позицією), на якому вона знаходиться.

В позиційній системі числення для записування числа використовується обмежена кількість знаків – цифр, яка визначає назву системи числення і називається її основою.

Араби взяли за основу число 10, тому що в якості обчислювального пристрою вони використовували 10 пальців рук. В десятковій системі числення для записування числа використовується десять цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і основою є число 10. Число у десятковій системі числення можна представити у вигляді полінома (у вигляді степенів десяти):

(327)10 = 3·102+2·101 + 7·100

(33,3)10 = 3·101 + 3·100 + 3·10-1

В обчислювальній техніці та програмуванні значне місце займають вісімкова й шістнадцяткова системи числення. Вони використовуються для скороченого запису двійкових кодів.

У вісімковій системі числення в якості цифр використовують символи: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. В шістнадцятковій системі потрібно 16 символів, в якості яких використовують арабські цифри і п'ять букв латинського алфавіту, що утворюють послідовність (із врахуванням ваги шістнадцяткових цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, E, F.

Приклад:

(75,67)8 = 7·81 + 5·80 + 6·8-1 + 7·8-2

(1FC,B)16 = 1·162 + 15·161 + 12·160 + 11·16-1

Десяткові еквіваленти символів A, B, C, D, E, F:

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 

1.1 Двійкова система числення 

Двійкова система числення – це позиційна система числення, база якої дорівнює двом та використовує для запису чисел тільки два символи: зазвичай 0 (нуль) та 1 (одиницю). Числа, представлені в цій системі часто називають двійковими або бінарними числами.

Для запису числа у двійковій системі числення використовується представлення цього числа за допомогою степенів числа 2.

Двійкове число можна представити як послідовність будь-яких об'єктів, які можуть знаходитися в одному з двох можливих станів. Наприклад:

• числа, що можуть приймати значення 0 або 1;

• вузли електричної схеми, які може бути, а може не бути знеструмлено;

• ділянки магнітної доріжки, які можуть бути, а можуть не бути намагнічено.

Для позначення двійкових чисел використовують нулі та одиниці. Перші персональні комп'ютери для відображення чисел мали ряд електричних лампочок (кожна з яких, могла або світитися, або бути вимкненою).

Переваги:

• для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами: є струм – немає струму; намагнічений – не намагнічений;

• представлення інформації за допомогою тільки двох станів: надійно і завадостійко;

• можливе застосування апарату булевої алгебри для виконання логічних перетворень інформації;

• двійкова арифметика набагато простіша за десяткову.

Недолік: швидке зростання числа розрядів, необхідних для запису чисел.

Рахувати у двійковій системі не складніше, ніж у будь-якій іншій. У десятковій системі, коли число у поточному розряді сягає десяти, то розряд обнуляється і до старшого розряду додається одиниця. Наприклад: 9+1=10, 44+7=51. Аналогічним чином у двійковій системі: коли число в розряді сягає двох – розряд обнуляється і одиниця додається до старшого розряду. Тобто: 1+1=10. Зверніть увагу, «10» у цьому записі – двійкове число, у десятковій системі це число записується як «2». А десяткове 9+1=10 у двійковій системі буде виглядати так: 1001+1=1010 (після додавання одиниці число в останньому розряді дорівнює двом, тож розряд обнуляється і одиниця додається до передостаннього (старшого) розряду).

Таблиця додавання:

Приклад:

Таблиця множення:

Приклад:

1.2 Переведення чисел із десяткової системи числення у будь-яку іншу

Переведення цілого числа з десяткової системи числення у будь-яку іншу здійснюється шляхом послідовного ділення числа на основу нової системи числення. Ділення виконується до тих пір, поки остання частка не стане менше дільника. Отримані остачі від ділення, взяті у зворотному порядку, будуть значеннями розрядів числа в новій системі числення. Остання частка дає старшу цифру числа.

Для переведення правильного дробу з десяткової системи числення у будь-яку іншу потрібно помножити заданий дріб на основу нової системи числення. Отримана ціла частина добутку буде першою цифрою після коми дробу в новій системі числення. Далі по черзі множаться дробові частини добутків на основу нової системи. Отримані цілі частини добутків будуть цифрами дробу у новій системі числення. Цей процес продовжують до тих пір, поки не буде знайдено число із заданою точністю. 

Приклад 1. Обчислити кількість інформації в слові «Інформатика» за умови, що для кодування використовується 32-значный алфавіт.

Рішення. Обчислимо кількість інформації, що відповідає 1 символу при використанні 32-значного алфавіту : 32 = 2х, х = 5 біт. Слово "Інформатика" складається з 11 символів, отримуємо 11* 5 = 55(біт).

Приклад 2. Растровий графічний файл містить чорно-біле зображення з 2 градаціями кольору(чорний і білий) розміром 800 х 600 точок. Визначте необхідний для кодування кольору точок (без урахування службової інформації про формат, авторство, способи стискування і ін.) розмір цього файлу на диску у байтах.

Рішення. Оскільки сказано, що зображення двокольорове, отже, для вказівки кольору однієї точки досить двох значень, що кодують білий або чорний колір.

Два значення можуть бути закодовані одним бітом. Обсяг графічного файлу розраховується по формулі V=i*k, де i - глибина кольору, а k - кількість точок.

Тоді розмір графічного файлу дорівнює 800 * 600 * 1 біт = 480 000 6іт, враховуючи, що 8 біт = 1 байт отримуємо 480 000 / 8 = 60 000 байтів. У реальності в графічних документах окрім опису кольору точок є присутньою ще і службово-додаткова інформація (про формат запису, авторські права, способи стискування та ін.).

1.3 Шістнадцяткова система числення 

Шістнадцяткова система числення – це позиційна система числення з основою 16. Тобто кожне число в ній записується за допомогою 16-ти символів. Арабські цифри від 0 до 9 відповідають значенням від нуля до дев'яти, а 6 літер латинської абетки A, B, C, D, E, F відповідають значенням від десяти до п'ятнадцяти. Шістнадцяткова система числення широко використовується розробниками комп'ютерів та програмістами.

Цю систему часто називають також Hex (початкові літери англ. hexadecimal — шістнадцятковий).

Кожна шістнадцяткова цифра представляється чотирма бінарними цифрами (бітами), і основне застосування шістнадцяткового запису – це зручний запис двійкового коду. Одна шістнадцяткова цифра є половиною байту (8 біт). Наприклад, значення байт лежить в діапазоні від 0 до 255 (в десяткових числах), але може бути більш зручно представити у вигляді двох шістнадцяткових цифр в діапазоні від 00 до FF. Шістнадцяткова система також широко використовується для представлення адресації пам'яті комп'ютера.

Найбільш широке застосування шістнадцяткової системи числення – це коди помилок програмних продуктів, наприклад, операційної системи. Числа, закладені в цих кодах, стандартизовані. Маючи спеціальну таблицю, завжди можна визначити, що саме означає та чи інша помилка.

Багато програмістів використовують шістнадцяткову систему числення і при роботі з мовами високого рівня, тому що числа в цій системі за допомогою спеціальної таблиці відповідності легко переводяться в двійкову систему, на якій базується робота всієї цифрової техніки. 

2. Організація зберігання інформації в оперативній пам’яті

Будь-яку скінчену послідовність нулів і одиниць прийнято називати двійковим кодом. У кожному конкретному випадку цей код має чітку й однозначну інтерпретацію. В одному випадку він розглядається як число, а в іншому представляє собою деяке поняття, наприклад, символ якого-небудь алфавіту. Числа в комп’ютері представляються у двійковій системі числення.

Нагадаємо, що вихідною одиницею інформації є біт, зберігання якого здійснюється фізичним елементом, що може знаходитися в одному із двох стійких станів. Сукупність деякої кількості таких елементів створює комірку пам'яті. Комірка, що містить вісім біт (вісім розрядів), є базовою і називається байтом.

Умовне зображення байта й порядок нумерації його елементів:

Кількість біт у комірці пам'яті визначається її довжиною.

Оперативна пам'ять комп’ютера представляє собою сукупність базових комірок, кожна з яких має свій порядковий номер, починаючи з нуля. Кількість базових комірок ОП прийнято робити кратним величині 1024 байта (1 Кбайт).

Базова комірка має довжину у вісім біт. Якщо в ній зберігаються цілі числа, то у двійковій системі числення туди можна розмістити число не більше 255 (у шістнадцятковій системі числення – FF). Звичайно, довжина комірки для зберігання даних повинна бути більшою ніж один байт. Виникає необхідність формування з базових комірок більш довгі, хоча інколи необхідно й більш короткі, аж до одного біта.

Встановлено типові комірки, що складаються з базових:

• слово – містить два байти;

• подвійне слово – містить чотири байти;

• четвірне слово – містить вісім байт.

В особливих випадках використовують типові комірки, що містять шістнадцять байт.

Правило записування слова в оперативну пам'ять:

Слово займає дві комірки оперативної пам'яті. Молодший байт записується за молодшою адресою, а старший байт за старшою адресою. 

3. Методи представлення інформації

Комп'ютер може обробляти тільки інформацію, представлену в цифровій формі.

В комп’ютерній техніці застосовується двійкова система числення, тобто усі числа в комп'ютері представляються за допомогою нулів і одиниць, які називаються двійковими цифрами.

Для перетворення числової, текстової, графічної, звукової інформації в цифрову необхідно застосувати кодування. Кодування – це перетворення даних одного типу через дані іншого типу.

Таким чином, одиницею інформації в комп'ютері є один біт, тобто двійковий розряд, який може набувати значення 0 або 1. Вісім послідовних біт складають байт.

1 байт = 8 біт

Для вимірювання значних обсягів інформації на носіях використовують такі одиниці:

• кілобайт (Кбайт): 1 Кбайт = 1010 байт = 1024 байт;

• мегабайт (Мбайт): 1 Мбайт = 1010 Кбайт = 1024 Кбайт;

• гігабайт (Гбайт): 1 Гбайт = 1010 Мбайт = 1024 Мбайт;

• терабайт (Тбайт): 1 Тбайт = 1010 Гбайт = 1024 Гбайт

Якщо збільшувати на одиницю кількість розрядів у системі двійкового кодування, то збільшується в два рази кількість значень, яка може бути виражена в цій системі. Для розрахунку кількості значень використовується наступна формула:

N=2m,

де N – кількість незалежно кодованих значень;

m – розрядність двійкового кодування, прийнята в цій системі.

Наприклад, яку кількість значень (N) можна закодувати 10-у розрядами (m)?

Для цього підносимо 2 до 10 ступеня (m) і отримуємо N=1024, тобто в двійковій системі кодування 10-у розрядами можна закодувати 1024 незалежно кодованих значення.

Приклад 1. Перевести 376832 біт в Кбайт.

 376832 біт = 376832 / 8 = 47104 байт = 47104 / 1024 = 46 Кбайт

Приклад 2. Перевести 37 Кбайт 515 Байт 3 біт у біт.

37 Кбайт 515 байт 3 біт = 37 ∙ 1024 + 515 байт 3 біт = 38403 байт 3 біт = 38403 8 +3 = 307227 біт. 

3.1 Кодування числової  інформації

В комп’ютері кількість двійкових розрядів для записування зокрема цілих чисел фіксована і звичайно дорівнює 8, 16, 32 і називається розрядною сіткою комп'ютера.

У перших ПК була 8-розрядна сітка. Більшість сучасних ПК мають 32- та 64 - розрядну сітку. Досить рідко зустрічаються комп'ютери з 16-розрядною сіткою.

Приклад: 8-розрядна сітка, у яку записано двійковий код числа (+23)10:

де, 0-6 – цифррові розряди із вказівкою ваги кожного з них,

а 7-й біт – це біт знаку (1 –  для від'ємного числа; 0 – для додатнього числа).

Числа, якими кодується вся інформація, комп’ютер перетворює у послідовності нулів і одиниць, а потім вже працює з ними. Цілі числа кодуються двійковим кодом досить просто (шляхом ділення числа на два). 

3.2 Кодування текстової інформації 

Для кодування нечислової інформації використовується наступний алгоритм: усі можливі значення кодованої інформації нумеруються і ці номери кодуються за допомогою двійкового коду.

Для представлення текстової інформації використовується таблиця нумерації символів або таблиця кодування символів, в якому кожному символу відповідає ціле число (порядковий номер). Вісім двійкових розрядів можуть закодувати 256 різних символів.

Існуючий стандарт ASCII (8 – розрядна система кодування) містить дві таблиці кодування – базову і розширену. Перша таблиця містить 128 основних символів, в ній розміщені коди символів англійського алфавіту, а в другій таблиці кодування знаходяться 128 розширених символів.

Оскільки в цей стандарт не входять символи національних алфавітів інших країн, то в кожній країні 128 кодів розширених символів замінюються символами національного алфавіту. Нині існує безліч таблиць кодування символів, в яких 128 кодів розширених символів замінено символами національного алфавіту.

Існує і універсальна система UNICODE, заснована на 16 – розрядному кодуванні символів. Ця система забезпечує універсальні коди для 65536 різних символів, тобто в цій таблиці можуть розміститися символи мов більшості країн світу.

У перші роки розвитку обчислювальної техніки вони були пов'язані з відсутністю необхідних стандартів, а нині, навпаки, викликані перенасиченням одночасно діючих і суперечливих стандартів.

У кодуванні ASCII на кожен символ відводиться 1 байт = 8 біт.

У кодуванні Unicode на кожен символ відводиться 2 байти = 16 біт.

Приклад 1. При кодуванні за допомогою Unicode знайти інформаційний обсяг фрази «Вчення – світло, а невчення – пітьма»!.

Рішення. Підрахуємо число символів в заданій фразі, враховуючи букви, пропуски і розділові (тире, кому, знак оклику) знаки. Всього символів – 39. Вичислимо розмір фрази: 39*2=78 байт = 624 біт. 

3.3 Кодування графічної інформації 

Кодування графічної інформації засноване на тому, що зображення складається з найдрібніших точок, який називають растром. Кожна точка має свої лінійні координати і властивості (яскравість), отже, їх можна виразити за допомогою цілих чисел – растрове кодування дозволяє використовувати двійковий код для представлення графічної інформації. Чорно-білі ілюстрації представляються в комп'ютері у вигляді комбінацій точок з 256 градаціями сірого кольору – для кодування яскравості будь-якої точки досить восьмирозрядного двійкового числа.

Для кодування кольорових графічних зображень застосовується принцип декомпозиції (розкладання) довільного кольору на основні складові. При цьому можуть використовуватися різні методи кодування кольорової графічної інформації. Наприклад, на практиці вважається, що будь-який колір, видимий людським оком, можна отримати шляхом механічного змішування основних кольорів. Як такі складові використовують три основні кольори: червоний (Red, R), зелений (Green, G) і синій (Blue, B). Така система кодування називається системою RGB.

На кодування кольору однієї точки кольорового зображення потрібно 24 розряди. При цьому система кодування забезпечує однозначне визначення 16,5 млн. різних кольорів, що насправді близько до чутливості людського ока.

Кожному з основних кольорів можна поставити у відповідність додатковий колір, тобто колір, що доповнює основний колір до білого. Відповідно додатковими кольорами є: блакитний (Cyan, C), пурпурний (Magenta, M) і жовтий (Yellow, Y). Такий метод кодування прийнятий в поліграфії, але використовується ще і четверта фарба – чорна (Black, K). Ця система кодування позначається CMYK, і для представлення кольорової графіки в цій системі потрібно мати 32 двійкові розряди. Такий режим називається повноколірним (True Color).

Якщо зменшувати кількість двійкових розрядів, що використовуються для кодування кольору кожної точки, то можна скоротити об'єм даних, але при цьому діапазон кодованих кольорів помітно скорочується. Кодування кольорової графіки 16-розрядними двійковими числами називається режимом High Color. 

3.4 Кодування звукової інформації 

Прийоми і методи кодування звукової інформації прийшли в обчислювальну техніку найпізніше і досі далекі від стандартизації. Безліч окремих компаній розробили свої корпоративні стандарти, хоча можна виділити два основні напрями.

Метод FM (Frequency Modulation) заснований на тому, що теоретично будь-який складний звук можна розкласти на послідовність простих гармонійних сигналів різної частоти, кожен з яких представляє правильну синусоїду, а отже, може бути описаний числовими параметрами, тобто кодом. У природі звукові сигнали мають безперервний спектр, тобто є аналоговими. Їх розкладання в гармонійні ряди і представлення у вигляді дискретних цифрових сигналів виконують спеціальні пристрої – аналогово-цифрові перетворювачі (АЦП). Зворотне перетворення для відтворення звуку, закодованого числовим кодом, виконують цифро-аналогові перетворювачі (ЦАП). При таких перетвореннях частина інформації втрачається, тому якість звукозапису зазвичай виходить не цілком задовільною і відповідає якості звучання простих електромузичних інструментів з "забарвленням", характерним для електронної музики.

Метод таблично-хвилевого синтезу (Wave - Table) краще відповідає сучасному рівню розвитку техніки. Є заздалегідь підготовлені таблиці, в яких зберігаються зразки звуків для безлічі різних музичних інструментів. У техніці такі зразки називаються семплами. Числові коди виражають тип інструменту, номер його моделі, висоту тону, тривалість і інтенсивність звуку, динаміку його зміни. Оскільки як зразки використовуються "реальні" звуки, та якість звуку, отриманого в результаті синтезу, виходить дуже високим і наближається до якості звучання реальних музичних інструментів. 

Питання для перевірки:

1. Поясніть відмінність поняття «точність» та «достовірність» інформації?

2. Для чого в комп'ютерах використовується шістнадцяткова система числення?

3. Переведіть число (35,62)10 з десяткової системи числення у двійкову.

4. Здійсніть переведення числа (1F,C)16 із шістнадцяткової системи числення у десяткову?

5. Запишіть шістнадцяткове число 3F0A у двійкову систему числення.

6. Замініть двійковий код 111110000111101101 шістнадцятковим числом.

7. Яким чином в ЕОМ кодуються числа й символи?

8. Що є вихідною одиницею інформації?

9. Що називають базовою коміркою оперативної пам'яті?

10. Які комірки називаються типовими?

11. Сформулюйте правило записування машинного слова в оперативну пам'ять.

12. Що є адресою типової комірки пам'яті?

13. У чому полягає суть представлення чисел у двійково-десятковій формі?

14. Що називають розрядною сіткою комп'ютера?

15. Запишіть число (-49)10 у восьми розрядну сітку.

16. Запишіть число (+1395)10 у шістнадцяти розрядну сітку.

17. З якою метою в комп'ютерах використовують доповняльний код?

18.  У шістнадцяти розрядну сітку записано число FF0C. В якому коді і з яким знаком представлено число?

1.  Баглай Р.Є. Обчислювальна техніка та програмування  [фондові лекції] / Баглай  Р.Є. (електронний підручник у форматі pdf).

2. Войтюшенко Н.М. Інформатика і комп’ютерна техніка: навч.пос. [для студентів вищих навчальних закладів] / Н.М. Войтюшенко, А.І. Остапець. - [2-ге вид.] – К.: Центр учбової літератури, 2009. – 564 с.

3.  Маценко В.Г. Обчислювальна техніка та програмування [навчальний посібник] / Маценко В.Г. – Чернівці:ЧНУ, 2010. – 112 с. (електронний варіант, формат djv)