Seminario

Conjuntos de división, conjuntos laxos y el ensamble de un idioma

José Armando Rosas Orozco (UDG)

Resumen: 

Sabemos que las congruencias de una retícula acotada se corresponden con el marco de conjuntos de congruencia, el cuál además es espacial, ¿pero qué sucede cuando tomamos las congruencias sobre un idioma? El objetivo de esta presentación es mostrar los conceptos necesarios para entender esta cuestión así como introducir dos familias para un idioma arbitrario y cómo se corresponden con su ensamble.

¿Para qué estudiar topología "sin puntos" y cómo hacerlo?

Juan Carlos Monter Cortés (UDG)

Resumen: 

La topología sin puntos surge como una variante de la teoría de marcos. Por medio de ella podemos estudiar aspectos y nociones dadas en la topología clásica (topología sensible a puntos) desde un enfoque algebraico, a través de herramientas categóricas y reticulares que nos brindan los marcos. En esta charla mencionamos las principales nociones para trabajar con la topología sin puntos, así como algunos ejemplos que muestren las ventajas de usar esta variante. 

Singularidades de Mori vs singularidades de Frobenius

Lorena Noh Canul (CIMAT)

Resumen: 

Algunos invariantes de singularidades en característica cero son definidos a través de resolución de singularidades, tales como los ideales multiplicadores y el umbral log-canónico. Por otro lado, en característica positiva podemos definir invariantes como los ideales de prueba y el umbral F-puro utilizando el morfismo de Frobenius. Los ideales de prueba se relacionan con los ideales multiplicadores a través de reducción a característica p, satisfaciendo muchas de sus propiedades. En esta charla daremos una breve descripción de estos objetos y sus fascinantes conexiones.

Categorías y el comportamiento de un sistema

Mauricio Medina Bárcenas (CIDESI)

Resumen: 

En esta charla veremos cómo distintas nociones de categorías, como lo son las pregavillas, categorías monoidales, categorías de spans y multicategorías se pueden unir para hacer un modelaje de un sistema. Aquí entendemos por sistema un conjunto de agentes que desarrollan una actividad de manera conjunta, esto pude ser desde un circuito eléctrico hasta toda una línea de ensamblaje. Dado un sistema Sys con agentes $X,Y,Z,...$ primero queremos una categoría que nos de un modelo de cómo interactúan los agentes dentro del sistema y después daremos un funtor a una categoría de pregavillas para ahí poder modelar el comportamiento de cada agente y de todo el sistema en conjunto. Para ejemplificar, aplicaremos la teoría a un pequeño circuito de compuertas lógicas.

Representaciones irreducibles de SU(2)

Andrés García Sandoval (UDG). 

Resumen: 

La Teoría de Grupos es una herramienta matemática que permite, entre otras cosas, estudiar las propiedades de simetría e invariancia en sistemas físicos. En particular, el grupo SU(2) es fundamental en mecánica cuántica, ya que describe las rotaciones en el espacio cuántico, está vinculado con el espín de las partículas, es crucial para la teoría de la relatividad y desempeña un papel importante en la descripción de las simetrías en la naturaleza y en el Modelo Estándar de la física de partículas. Una parte esencial para aplicar el grupo SU(2) en las mencionadas aplicaciones se relaciona con sus representaciones irreducibles. En esta charla, mostraremos cómo obtener representaciones irreducibles para SU(2) de dimensión 2j + 1 (donde j = 1/2, 1, 3/2, 2,...).

Haces vectoriales, secciones y teoría de Brill-Noether

Osbaldo Mata Gutérrez (UDG)

Resumen:

La meta de esta plática es dar una  introducción a la Teoría de Brill-Noether.

Para ello explicaremos cómo las secciones de un haz vectorial sobre un espacio X

pueden determinar su topología. Hablaremos sobre  algunos resultados clásicos

para el estudio de secciones y finalizaremos hablando de los objetivos de la Teoría de Brill Noether.

First-order model theory, surjunctivity, and Kaplansky's stable finiteness conjecture

Tullio Ceccherini-Silberstein (U. Sannio, Italia)

Resumen:

Using algebraic geometry methods, Xuan Kien Phung proved that the group ring of a surjunctive group with coefficients in a field is always stably finite. In other words, every group satisfying Gottschalk's conjecture also satisfies Kaplansky's stable finiteness conjecture. Based on a joint work with Michel Coornaert and Phung, I'll present a proof of this result based on first-order model theory.

Espacios vectoriales, haces vectoriales y sistemas coherentes

Eduardo Reza Gurrola (UDG)

Resumen:

En esta plática abordaremos  las primeras nociones sobre los haces vectoriales vistos como una familia de espacios vectoriales, seguiremos con conceptos básicos de la teoría de haces vectoriales y algunos ejemplos de estos. Finalmente, veremos los sistemas coherentes  que son parejas (E,V) las cuales consisten de un haz vectorial E y un espacio vectorial V del espacio de secciones del haz.

Idempotencia en autómatas celulares

María Guadalupe Magaña Chávez (UDG)

Resumen:

Los autómatas celulares (AC) son modelos matemáticos discretos. A pesar de definirse mediante una regla local simple, pueden mostrar comportamientos complejos. Por esta razón, son tan populares y han sido estudiados como sistemas dinámicos y para modelar fenómenos naturales. Por otro lado, también pueden ser representados en términos de topología y álgebra. En esta charla buscamos resolver el problema de caracterizar los AC idempotentes. Para ello, presentaremos los autómatas celulares definidos por un patrón, los cuales frecuentemente resultan ser idempotentes. Posteriormente, mostraremos resultados que determinan cuáles patrones definen autómatas celulares idempotentes y hablaremos sobre el orden natural entre ellos.

Estratificación de la dualidad de Stone

Josué Eduardo Maldonado Galindo (UDG)

Resumen:

El teorema de representación de Stone fue uno de los primeros resultados en los que se muestra una relación entre estructuras ordenadas y espacios topológicos. Así, años más tarde se empezaron a dar equivalencias que generalizan dicho resultado. La finalidad de esta plática es estudiar dichas equivalencias desde el punto de vista de la teoría de marcos y ver cómo estas se pueden generalizar en términos de cardinales regulares.

Una aplicación de la teoría de grupos en la teoría musical

Eduardo Véliz Quintero (UDG)

Resumen:

Revisaremos una aplicación de la teoría de grupos en la teoría musical, considerando una biyección de la escala cromática musical en Z12. Realizaremos trasposiciones e inversiones de acordes musicales, así como transformaciones de acordes paralelos, relativos y de intercambio de tono. Además, aplicaremos los diagramas de Cayley a las transformaciones de los acordes musicales.

Curvas de Petri en superficies K3

Antonio Pérez Cortés (UAZ)

Resumen:

Demostramos el teorema de Lazarsfeld y lo usamos para demostrar el teorema de Gieseker-Petri, el cuál nos dice que para la curva general, el morfismo de Petri es inyectivo.  Divididos la demostración en una serie de pasos, entre los cuales construimos el haz de Lazarsfeld-Mukai, el haz de Syzygyz y obtenemos sus invariantes.

Álgebra con dibujos

Alfredo Álvarez Contreras (UDG)

Resumen:

Trataré de explicar cómo usar la notación gráfica de Penrose para álgebra multilineal sobre un espacio vectorial, mostrando ejemplos de algunos cálculos que se vuelven más intuitivos. Daré un ejemplo de una demostración gráfica en una categoría monoidal trenzada y otro en una categoría monoidal simétrica. Trataré de mostrar cómo todos estos ejemplos son especializaciones de los diagramas de cuerdas para 2-categorías.

Árboles, marcos y espacios no-arquimedianos.

Ángel Zaldívar Corichi (UDG)

Resumen:

En esta plática veremos cómo asociarle a cada árbol un marco, cómo es que muchas propiedades del árbol están caracterizadas por ciertos cocientes de este marco. Por último, se mencionarán trabajos recientes.

Idempotentes y su orden natural

Alonso Castillo Ramírez (UDG)

Resumen:

Revisaremos algunos conceptos básicos de la teoría de semigrupos, enfocándonos principalmente en semigrupos de transformaciones. En particular, presentaremos el orden natural de los idempotentes en un semigrupo, el cual está definido en términos de la operación del semigrupo. Aplicaremos los conceptos revisados a semigrupos de autómatas celulares.

Propiedades de separación en la topología sin puntos

Juan Carlos Monter (UDG)

Resumen:

Recordemos que para un espacio topológico $(S, \tau)$, los elementos que viven en la topología ($\tau$), son los subconjuntos abiertos del espacio $S$, y estos a su vez están conformados de elementos más pequeños llamados puntos. Los axiomas de separación son propiedades que puede cumplir (o no), un espacio topológico, en las cuales se separan puntos o conjuntos cerrados por medio de elementos de $\tau$. Bajo estas circunstancias la pregunta natural que surge es ¿cómo hacer uso de las propiedades de separación cuándo nos olvidamos de la noción del punto? En esta plática damos respuesta a esta pregunta por medio de ``traducciones'' de estas propiedades topológicas dadas en el lenguaje de la teoría de marcos.   

Bicategorías y pegados de Artín 

Yamileth García Martínez (UDG)

Resumen:

En esta charla se dará un breve repaso a la teoría de categorías para poder introducir la teoría de bicategorías. Veremos que los conceptos básicos en categorías como lo es el de funtor tiene su versión dentro de las bicategorías. Además se dará la motivación para poder entender la idea de un pegado de Artín y cuál es el camino para hacer la construcción del pegado utilizando teoría de categorías.

Retículas, idiomas y prerradicales en categorías abelianas de Grothendieck 

Martha Lizbeth Shaid Sandoval Miranda (UAM).

Resumen:

Una retícula L completa, modular y superiormente continua, recibe el nombre de idioma; término dado por Harold Simmons en su investigación desarrollada en teoría de (pre)-núcleos e idiomas. Se puede demostrar que LG(X), el conjunto de subobjetos de X, junto con el orden dado por la relación de "subobjeto", es un idioma. Con esta perspectiva, notemos que en el caso de las categorías de módulos sobre un anillo unitario; y de manera más generalizada, para una categoría abeliana de Grothendieck, la teoría de retículas y la teoría de categorías están profundamente conectadas. En esta charla, recordaremos algunos hechos básicos de la teoría de idiomas, cuantales, (pre)núcleos y de los prerradicales. Veremos algunos avances obtenidos en investigaciones realizadas recientemente, en el estudio de prerradicales sobre categorías abelianas de Grothendieck.

On self-similar groups of intermediate growth

Kostas-Marios Staikos (Universidad de Utrecht, Países Bajos).

Resumen:

In the project, we study the growth of iterated monodromy groups, which are self-similar groups naturally associated with postcritically-finite rational maps. Nekrashevych has claimed that the iterated monodromy groups of quadratic, non-renormalizable polynomials with preperiodic critical orbit have intermediate growth. Even though this conjecture seems far from being proven, we give concrete examples which support an affirmative answer to this statement.

La longitud de conmutadores en grupos compactos de Lie

Bernardo Villarreal Herrera (CIMAT-Mérida)

Resumen:

Un problema clásico en la teoría de grupos es saber cuándo cualquier elemento en el grupo conmutador [G,G] de un grupo G es un conmutador [g,h] con h y g elementos en G. Un ejemplo sencillo de un grupo infinito que no tiene esta propiedad es el grupo de matrices reales de 2x2 de determinante 1, SL(2,R). Pero incluso hay grupos finitos que no cumplen esta propiedad, y se ha llegado a este tipo de resultados usando teoría de representaciones de grupos finitos. Sin embargo hay muchas familias de grupos que sí satisfacen esta propiedad. Una particular son los grupos de Lie compactos y conexos, el cual es un resultado clásico de M. Goto. En esta plática veremos la generalización óptima del resultado de Goto a grupos compactos del Lie que no son conexos, usando técnicas muy sencillas de topología de conjuntos. Esto es trabajo en conjunto con Juan Omar Gómez y Víctor Torres.

Connections between Latin squares, cellular automata and coprime polynomials

Luca Mariot (University of Twente, Países Bajos)

Resumen:

Cellular Automata (CA) provide a very simple model of parallel computation, with applications in diverse domains. Starting from a cryptographic scenario (secret sharing), we show how to use CA for the generation of orthogonal Latin squares, a type of combinatorial designs that are equivalent to threshold secret sharing schemes where only two players are required to reconstruct a secret. More in detail, we illustrate an interesting algebraic characterization of these objects in terms of coprime polynomials, and explain how to settle natural counting questions using a recurrence equation approach.

Dimensión de Krull y algunos usos 

Ángel Zaldívar Corichi (UDG)

Resumen:

En esta charla veremos cómo la dimensión de Krull en anillos conmutativos tiene extensiones naturales a contextos como categorías de módulos y  ciertas estructuras ordenadas.

Producto en la categoría de autómatas celulares

Alejandro Vázquez Aceves (UDG)

Resumen:

Los autómatas celulares son algunas transformaciones entre espacios de funciones que tienen dominio en un grupo y codominio en un conjunto. Estos espacios son conocidos como espacios de configuraciones, y junto a los autómatas celulares forman una categoría. En esta charla quiero mostrar la construcción del producto en esta categoría, ver una construcción análoga en una subcategoría de autómatas celulares y compararlas.

Introducción a la geometría tensor-triangular

Juan Omar Gómez (Universität Bielefeld, Alemania)

Resumen:

La geometría tensor-triangular es el estudio de categorías tensor-trianguladas por métodos algebro-geométricos. Una de las ideas centrales en esta teoría es clasificar objetos bajo la siguiente noción de equivalencia: dos objetos son equivalentes si generan el mismo ideal grueso. Un ideal grueso es una subcategoría plena, cerrada bajo sumas directas, retractos y conos. A diferencia de otras nociones de equivalencia (por ejemplo, equivalencia débil en categorías de modelos), clasificar objetos salvo ideal grueso es alcanzable. Dicha clasificación corresponde a la descripción de cierto espacio topológico conocido como el espectro de Balmer. En esta charla voy a introducir las nociones básicas de la geometría tensor-triangular a fin de presentar una serie de ejemplos del espectro de Balmer en diferentes contextos, incluyendo: álgebra conmutativa, geometría algebraica, teoría de homotopía estable y teoría de representaciones modulares. 

Los n-eigenpotentes del anillo de Burnside de un grupo finito

Luis Valero Elizondo (UMSNH)

Resumen:

Un n-eigenpotente en un anillo es un elemento x tal que x*x = nx, donde n es un entero positivo. En esta plática construiremos el anillo de Burnside de un grupo finito G, estudiaremos algunas propiedades sencillas de sus n-eigenpotentes, y señalaremos algunas conexiones con el Teorema de Feit-Thompson sobre grupos solubles. Será deseable (aunque no enteramente necesario) conocer la definición de grupo. Lo único verdaderamente indispensable es que conozcan suma y producto de matrices.

Probabilidad en ciertos grupos abelianos continuos

Samuel Estala Arias (UAQ)

Resumen:

En esta plática presentaremos, con algunos ejemplos, la teoría de procesos estocásticos en grupos abelianos localmente compactos.

Anillos de Burnside y una conjetura de Daniel Quillen

Gerardo Raggi (CCM-UNAM)

Resumen:

Alrededor de 1967 Daniel Quillen propuso una conjetura acerca de la red de p-subgrupos no triviales de un grupo finito, a saber que el espacio topológico asociado a esta red es contraible si y sólo si el grupo contiene un p-subgrupo normal no trivial. Muchos matemáticos han trabajado en esta conjetura y han logrado probarla para muchos casos. Serge Bouc dió una definición totalmente algebraica de ser contraıble de esta red (G-contraible) y probó la conjetura en este caso, por supuesto es más débil que la original que todavía sigue abierta, pero hace uso del Anillo de Burnside como herramienta fundamental para su prueba.

Nuevos resultados sobre autómatas celulares generalizados

Alonso Castillo Ramírez (UDG)

Resumen:

Los autómatas celulares generalizados extienden la definición de autómata celular clásico al permitir que grupos distintos actúen en los espacios de configuraciones del dominio y codominio de la función. Después de repasar brevemente las definiciones básicas, en esta plática discutiremos algunos nuevos resultados relacionados con los autómatas celulares generalizados. 

Invitación a las topologías de Grothendieck por medio de los esquemas afines 

Adrián de Jesús Estrada Moreno (UDG)

Resumen: 

Las topologías de Grothendieck son una herramienta categórica que nos permite definir una “topología” sobre una categoría y estudiar sus propiedades por medio de familias de morfismos llamadas “cubiertas”. Esta idea fue introducida por Alexander Grothendieck en la década de 1960 y tiene gran importancia en la geometría algebraica. El objetivo de la charla es dar una muy breve introducción de esquemas afines y posteriormente definir el concepto de topología de Grothendieck, para concluir con algunos ejemplos de dichas topologías sobre la categoría de esquemas afines.

Estructuras coalgebraicas en teoría de A1-homotopía racional

Gabriela Guzmán (CIMAT)

Resumen: 

En la teoría de homotopía racional formalmente la clase de equivalencias débiles es incrementada por la colección de mapeos que inducen un isomorfismo en (co)homología singular con coeficientes racionales. Los trabajos de Quillen, Sullivan y Goerss muestran que dicho proceso, conocido como localización, permite dar una descripción completamente algebraica de ciertas subcategorías de la categoría de espacios racionales. En otras palabras es posible construir funtores fielmente plenos de dichas subcategorías a una categoría de homotopía con estructura algebraica. En esta charla describir ́e un problema análogo para la teoría de 𝔸^𝟏-homotopía de k-esquemas lisos, donde el rol del intervalo [0,1] lo juega la línea afín 𝔸^𝟏. En este contexto tenemos dos candidatos que juegan el papel de la homología singular, 𝔸^𝟏-homología estudiada ampliamente por Morel entre otros y la homología de Suslin introducida por Suslin y Voevodsky. Particularmente extenderemos en este contexto los trabajos de Goerss en términos de coálgebras.

El índice en distintos contextos

María de la Paz Suárez Fernández (UDG)

Resumen: 

Existe una importante conexión entre las propiedades topológicas de variedades  y propiedades geométricas de la teoría de las singularidades. En esta plática veremos las distintas definiciones del Índice. Veremos algunos ejemplos donde se ilustra tales relaciones en las distintas áreas. Daremos algunas interpretaciones geométricas y algebraicas.

Encajes entre contextos estándar del retículo de particiones de un número entero y el uso de Z3

Edith Vargas García (ITAM)

Resumen: 

Sobre el conjunto de todas las particiones de n se puede definir un orden parcial, denominado orden de dominación, dicho conjunto con este orden forma un retículo, que denotaremos Ln. A todo retículo completo se le puede asociar un contexto estándar. En esta plática estudiaremos los encajes entre contextos estándar de los retículos de particiones, para n = 2,3, ..., 8 demostraremos la existencia de dichos encajes a través del probador de teoremas Z3. También veremos una pequeña introducción a Z3 se explicará como se usa Z3 para mostrar que no existe un encaje entre los contextos estándar del número 9 en el número 10.

Restricción e inducción de autómatas celulares generalizados

Luguis de los Santos Baños (UDG)

Resumen: 

En esta plática abordaremos una definición generalizada de autómatas celulares y algunos resultados de restricción e inducción. 

Completaciones y sitios en marcos

Ángel Zaldívar Corichi (UDG)

Resumen: 

Muchas veces en matemáticas se tienen técnicas para asociar a estructuras que no satisfacen alguna condición otro ente en el cual se satisfaga esa condición; en particular, para estructuras ordenadas, digamos semi-retículas o monoides ordenados, el ente que las completa es un marco (o un cuantal). En esta plática describiré la forma en que se hace esta asociación la cual resulta funtorial. Esta técnica es útil ya que nos permite hablar de sitios para un marco, además observaremos que muchas construcciones conocidas (y muy usadas) son manifestaciones particulares de este procedimiento.

Spec(A) es un espacio espectral

Cristian Leonel León Nuño (UDG)

Resumen: 

Tomando como referencia un anillo A conmutativo con uno, consideremos el conjunto formado por todos los ideales primos, que se denota por spec (A) y es llamado “espectro primo de A”. Esta plática tiene como objetivo mostrar que spec (A) tiene una topología natural llamada “topología de Zariski”, además se probará que el spec (A) para todo anillo conmutativo es un espacio espectral.

Retículo de particiones de un número entero positivo

Edith Mireya Vargas García (ITAM)

Resumen: 

Las particiones han cautivado la atención de varios de los matemáticos célebres entre ellos Leibniz, Euler, G.H. Hardy y S. Ramanujan. Una partición (ordenada) de un número entero n se puede definir como una n-tupla de enteros no negativos (𝑎_1,𝑎_2,…,𝑎_𝑛), tal que 𝑎_1≥𝑎_2≥…≥𝑎_𝑛≥0 y ∑(𝑖=1)^𝑛 ??_𝑖 = 𝑛.

Sobre el conjunto de todas las particiones de n se puede definir un orden parcial, denominado orden de dominación, dicho conjunto con este orden forma un retículo, que denotaremos 𝐿_𝑛. En esta plática estudiaremos el retículo 𝐿_𝑛, puntualizaremos algunas características estructurales de éste, apoyándonos en el análisis de conceptos formales, también veremos algunos de los resultados con respecto al crecimiento de ciertas particiones, obtenidos en los últimos años.

Una introducción a la teoría geométrica de grupos

Luis Jorge Sánchez Saldaña (UNAM) 

Resumen: 

La Teoría Geométrica de Grupos estudia acciones de grupos en espacios que poseen algún tipo de geometría. Siempre que la acción tenga buenas propiedades y el espacio geométrico tenga una geometría rica, se puede obtener bastante información de la estructura algebraica del grupo, y vice versa. Cabe mencionar que esta área como tal comenzó a cobrar popularidad en los 90 con los trabajos de Gromov, y a la fecha, es un área de investigación muy activa. En esta charla sólo presentaré los conceptos básicos para comenzar a estudiar teoría geométrica de grupos y trataré de ilustrar dichos conceptos con alguna cantidad de ejemplos. Los únicos requisitos que se pedirán en la charla es la definición de grupo y de espacio métrico. Esta charla servirá también de invitación para, que si les interesa abundar más en estos temas, asistan a la Segunda Escuela de Teoría Geométrica de Grupos en Morelia, la cual aún está por anunciarse.

Una pre-gavilla asociada a retículas acotadas y la construcción de un espacio étale

José Armando Rosas Orozco (UDG) 

Resumen: 

Una vez obtenido un marco y su espacio de puntos para una retícula arbitraria, se puede comenzar el proceso de obtener su representación. Para ello, el primer paso de la construcción es formar las estructuras conocidas como "pre-gavilla" y un tipo especial de espacio topológico asociado, llamado "espacio étale". El objetivo de la plática es revisar estas estructuras y cómo se relacionan. 

Grupos de homotopía de hojas de Foliaciones Logarítmicas

Diego Rodríguez Guzmán (UDG) 

Resumen: 

Retomaremos los teoremas de grupos de homotopía de superficies cuasi-proyectivas de Zariski y el Teo de secciones hiperplanas de Lefschetz que relaciona los grupos respectivos de una variedad proyectiva X y una sección generada por la intersección con un hiperplano H. A partir de estos teoremas estudiaremos los grupos de homotopía de las hojas genéricas de una Foliación Logarítmica en una variedad proyectiva X.

Conjuntos sobre un marco

Jorge Alfredo Álvarez Contreras (UDG) 

Resumen: 

La categoría de gavillas sobre el espacio unipuntual es equivalente a la categoría de conjuntos y funciones entre ellos. En esta charla veremos una descripción similar para la categoría de gavillas sobre espacios más generales. El espacio base puede ser un espacio topológico o incluso un marco, visto como un espacio sin puntos.

Acciones de grupo y sistemas dinámicos

Felipe García Ramos (UASLP) 

Resumen: 

Platicaremos sobre cómo se pueden estudiar las acciones de grupo (topológicas y algebraicas) desde el punto de vista de los sistemas dinámicos.

Pegados de Artin

Ángel Zaldívar Corichi (UDG) 

Resumen: 

El pegado de Artin es una técnica para manufacturar un espacio topológico a partir de un subespacio y su complemento, el cual sirve para realizar ciertas consideraciones de cohomología etale. En esta plática veremos una generalización del pegado de Artin y algunos usos modernos.

Un enfoque algorítmico al problema de cómo encontrar las representaciones lineales irreducibles de un grupo finito

Josué Villalobos Padilla (UDG) 

Resumen: 

En los comienzos de la teoría de grupos, el concepto de grupo generalmente era entendido de dos formas, como un subconjunto de las permutaciones de un conjunto o como los automorfismos $GL(V)$ de un espacio vectorial $V$. Una vez que la noción abstracta de un grupo fue dada, fue posible hacer una distinción entre las propiedades del grupo visto a través de estos dos enfoques, además, surge la pregunta de en cuántas maneras podemos mapear a un grupo $G$ en un grupo lineal $GL(V)$, que intentando responderla se da origen a lo que ahora se conoce como teoría de representaciones de grupos, la cual tiene aplicaciones en diversas áreas como son  física, estadística e ingenierías. Para comenzar la plática definiremos para un grupo finito $G$ lo que es una representación lineal, que de manera general se puede ver como un espacio vectorial $V$ de dimensión finta y un homomorfismo $\rho: G \rightarrow GL(V)$. Además, veremos propiedades de las representaciones y algunas representaciones destacables, como son la representación trivial o la representación permutación; además, se introducirán los conceptos de representaciones irreducibles, descomponibles y unitarias. Luego, hablaremos de la llamada la representación regular, sobre la cual se construirá un algoritmo para encontrar todas las representaciones irreducibles de un grupo finito.

Experiencias interdisciplinarias: estudios de género, matemáticas y sociología

Andrea Vera Gajardo (Universidad de Valparaíso, Chile) 

Resumen: 

En esta charla abordaremos algunas temáticas de interés común para los estudios de género, la matemática y la sociología. Partiremos revisando los aportes de la perspectiva de género  a los estudios sociales de la ciencia y tecnología, para luego analizar algunos ejemplos. Por último comentaremos la experiencia y algunos hallazgos de dos proyectos interdisciplinarios en las áreas mencionadas.

Categoría de acciones

Alejandro Vázquez Aceves (UDG)

Resumen: 

En el estudio de acciones de grupos sobre conjuntos, es un resultado clásico que hay una biyección entre las acciones de un grupo G sobre un conjunto X, y los homomorfismos de grupos entre G y el grupo simétrico de X. Como en la categoría de conjuntos, el grupo simétrico corresponde al grupo de automorfismos, podemos definir la acción de un grupo sobre un objeto en una categoría arbitraria como un homomorfismo de grupos con el grupo de automorfismos de dicho objeto como codominio. A un objeto asociado a una acción de G, le llamaremos G-objeto, y podemos formar varias categorías con estos objetos. La primera de ellas sería considerar las flechas G-equivariantes. En esta charla se abordará la definición de dos tipos de equivarianza que permiten definir dos categorías extras con los G-objetos, pero además admite morfismos entre objetos donde actúan grupos diferentes. De esta manera podemos definir dos categorías de acciones sobre una categoría arbitraria, en las cuales están encajadas todas las categorías de G-objetos para todo grupo G.

Generando códigos a través de representaciones de grupos finitos y álgebras de Lie

Claudia Maricela Solís Aguilar (UDG)

Resumen: 

Un palabra de un código es una n-tupla cuyas componentes son elementos de un alfabeto. En particular, tomaremos como alfabetos los campos finitos. Dentro de la teoría de códigos una de las principales problemáticas es la correcta descodificación de los mensajes en caso de que estos se vean alterados al transmitirse, un parámetro importante para ver que tan verosímil es la descodificación del mensaje es la distancia del código; que es el número de componentes en las que son distintas las dos palabras más cercanas del código. A mayor distancia tenga el código, mayor número de errores nos permite identificar y corregir. En esta platica, ejemplificaremos dos maneras de generar códigos lineales autoduales con el objetivo de calcular su distancia e identificar qué propiedades de un código nos podrían permitir mayores distancias entre sus palabras.

Una introducción a las representaciones por gavillas para anillos

Cristian Leonel León Nuno (UDG)

Resumen: 

Dar a conocer de como realizar una representación por gavillas para anillos conmutativos, el cual tiene por nombre "La representación de Grothendieck" y del mismo modo, hablar de cuales son los pasos para realizar una representación por gavillas para anillos no conmutativos "La representación de Mulvey".

El anillo de Burnside: construcción y algunas aplicaciones

Ramón Harath Ruiz Medina (UDG)

Resumen: 

El anillo de Burnside es una construcción que nos permite conocer algunas características que un grupo finito G tiene, esto fijándonos en los conjuntos sobre los que G actúa, los llamados G-conjuntos. En esta plática didáctica trataremos de abarcar la construcción del anillo de Burnside, así como presentar algunos temas de investigación relacionados a éste.

Endomorfismos y automorfismos de G-conjuntos

Alonso Castillo Ramírez (UDG)

Resumen: 

Un endomorfismo (o mapeo G-equivariante) de un G-conjunto X es una transformación de X que conmuta con la acción de G. Este tipo de funciones son relevantes en diversas áreas tales como topología equivariante, dinámica topológica, teoría de representaciones e inferencia estadística. En esta plática, veremos algunas propiedades básicas de los endomorfismos y automorfismos de G-conjuntos, para después examinar el monoide de endomorfismos End(X) y su grupo de unidades Aut(X). Explicaremos cómo es posible describir la estructura Aut(X) para cualquier G-conjunto X. Finalmente, presentaremos un resultado reciente que determina, cuando G y X son ambos finitos, una fórmula para la cardinalidad mínima de un subconjunto de End(X) que genera a End(X) módulo Aut(X), lo cual es conocido en teoría de semigrupos como el rank relativo de End(X) módulo Aut(X).

(Super)álgebras de Lie de Heisenberg extendidas por una derivación 

María del Carmen Rodríguez Vallarte (UASLP)

Resumen: 

En esta charla abordamos las siguientes preguntas: ¿Existen álgebras de Lie solubles que admiten más de una forma ortogonal invariante y que su forma de Cartan-Killing degenere? ¿Puede formularse la misma pregunta en el contexto de superálgebras de Lie? Veremos que la respuesta es afirmativa en ambos casos. Para esto, basándonos en la (super)álgebra de Lie de Heisenberg construimos una (super)álgebra de Lie soluble que admite una (super)forma ortogonal invariante. 

Autómatas celulares: caos y orden 

Luguis de los Santos Baños (UASLP)

Resumen: 

Se sabe que un sistema dinámico transitivo es sensible si y solo si no es casi equicontinuo, y que es sensible en promedio si y solo si no es casi equicontinuo en promedio. Decimos que (X,T) es un autómata celular si X es un espacio subshift y T:X→X es un función continua que conmuta con σ. Sin asumir la transitividad, Kurka probó que un autómata celular es sensible si y solo si no es casi equicontinuo. Aunque sería natural pensar que para autómatas celulares se cumple la dicotomía sensible en promedio - casi equicontinuo en promedio, resulta que esto no es cierto.

Marcos uniformes, continuidad uniforme y la relación de lejanía

Ana Belén Avilez García (Universidad de Coimbra)

Resumen: 

Daremos una introducción a los marcos uniformes con el enfoque de cubiertas. Presentaremos la relación de lejanía entre elementos de un marco. Exploraremos esta noción a fondo, lo cual nos permitirá caracterizar las funciones reales uniformemente continuas. Si el tiempo lo permite, veremos cómo esta caracterización ayuda a construir funciones reales uniformemente continuas a través de escalas.

Técnicas reticulares y categóricas en el estudio de anillos y módulos

Lizbeth Sandoval Miranda (UAM-Iztapalapa)

Resumen: 

La teoría de retículas aplicada al estudio de anillos y módulos, incluyendo su ''relativización'', y "absolutización", ha sido fructífera en las últimas décadas. En esta plática presentaremos un panorama general de las técnicas provenientes de las teorías de retículas y de la topología sin-puntos; así como de la teoría de categorías, para obtener propiedades de módulos, anillos, álgebras y sus (sub)categorías asociadas. En particular: 

1. En el estudio reticular del idioma-cuantal de submódulos de un módulos y de espacios topológicos asociados.

2. En el estudio de propiedades de la teoría clásica de anillos y categorías de módulos que pueden ser generalizadas a contextos más amplios, tales como ciertas categorías abelianas y 𝜎[𝑀] (la subcategoría submódulos subgenerados por un módulo dado M).

Problemas moduli y su funtor moduli 

Osbaldo Mata Gutiérrez (UDG)

Resumen: 

Los problemas de clasificación o problemas moduli es un tema importante en la Geometría Algebraica. Encontrar solución a un problema  moduli ayuda a estudiar de manera individual los objetos que se clasifican y a estudiarlos con respecto a los demás objetos (en familias). Todo problema moduli tiene asociado un funtor (funtor moduli) y la solución del problema moduli dependerá de la representabilidad de dicho funtor. En esta plática, recordaremos los conceptos básicos de problema moduli, el funtor moduli y cómo la representabilidad del funtor moduli  determina una solución a los problemas de clasificación. Hablaremos de algunos ejemplos clásicos de funtor moduli y las herramientas que se utilizan para determinar si son representables o no. 

Retículas de Rickart y de Baer

Mauricio Medina Bárcenas (UNAM)

Resumen: 

En esta plática veremos cómo un concepto algebraico puede ser llevado al contexto ordenado de retículas. En este caso el concepto es el de los módulos T y anillos de Baer y Rickart. Un módulo M es de Baer (resp. Rickart) si ⋂_(𝑓∈𝑋) ker⁡(𝑓) (resp. ker⁡(𝑓)) es un sumando directo de M para todo X ⊆ EndR(M) (resp. f ∈ EndR(M)). Notemos que la definición anterior se compone de morfismos sobre el módulo M y de la propiedad de que ciertos núcleos sean sumandos directos. Los sumandos directos de M corresponden a complementos en su retícula de submódulos. Por otro lado, dada una retícula L se pude definir un “endomorfismo” de L y una noción de núcleo. Así, podremos llevar el concepto de módulo de Baer y Rickart a retículas.

Teoría de rotación en grupos compactos

Francisco José López Hernández (UANL)

Resumen: 

Iniciaremos esta charla con una introducción a la teoría de rotación para el caso de círculo y el toro en la que veremos los principales resultados en estos espacios. Después, veremos una generalización reciente a grupos solenoidales con resultados análogos. Al finalizar mencionaremos los ingredientes para definir el número de rotación para grupos abelianos compactos en general. La charla se basa principalmente en un trabajo conjunto con Manuel Cruz López y Alberto Verjovsy.

Mi experiencia de posgrado en Londres

Alonso Castillo Ramírez (UDG)

Resumen: 

El carácter de esta plática será distinto al de las que se imparten comúnmente en este seminario, pues está dirigida a estudiantes con el interés o la curiosidad por hacer un posgrado en el extranjero. Responderé varias preguntas relacionadas con mi experiencia de Maestría y Doctorado en Matemáticas en el Imperial College London: ¿Cómo fue el proceso de admisión? ¿Cómo obtuve una beca? ¿Cómo es el plan de estudios y cómo son las clases? ¿Cómo es la vida en Londres como estudiante de posgrado? ¿Es posible quedarse a trabajar allá? Terminaré con algunas observaciones sobre las ventajas y desventajas de hacer un posgrado en el extranjero, así como sobre diferencias culturales entre las universidades en México y el Reino Unido.  

Funtores, representabilidad y moduli

Osbaldo Mata Gutiérrez (UDG)

Resumen: 

En esta charla introductoria, describiremos el problema moduli en términos funtoriales. Hablaremos sobre la representabilidad de funtores y su relación con la existencia de un moduli fino y  moduli grueso. Describiremos  los caminos que existen para resolver un problema moduli y finalizaremos con algunos ejemplos.

 La espacialidad del marco de conjuntos de congruencia

José Armando Rosas Orozco (UDG)

Resumen: 

Continuando con los temas de la plática "Congruencias y conjuntos de congruencia" (la cuál se puede revisar en el link: (20) Congruencias y conjuntos de congruencia - José Armando Rosas Orozco - YouTube) el siguiente paso es mostrar que la retícula de conjuntos de congruencia es de hecho un marco espacial, una propiedad que permite transportar el contexto de buena manera al ámbito topológico, algo útil para futuras pláticas.

Variaciones sobre un tema de Euler 

Pedro Luis del Ángel Rodríguez (CIMAT)

Resumen: 

Recordaremos el celebrado teorema de Euler sobre la clasificación de los sólidos platónicos y veremos cómo, trabajando sobre sus ideas, se puede definir la homología simplicial à la Poincaré, así como la cohomología simplicial para, refinando el análisis, producir la cohomología de De Rham (nos limitaremos al caso de superficies de Riemann compactas) y, refinando aún más, obtener la descomposición de Hodge para la cohomología de una superficie de Riemann. Si el tiempo lo permite, comentaremos el teorema de Torelli, como consecuencia de la descomposición de Hodge. 

Pares asintóticos indistinguibles

Sebastián Barbieri Lemp (Universidad de Santiago de Chile)

Resumen: 

Dos palabras bi-infinitas son asintóticas si difieren en una cantidad finita de posiciones. Diremos que son indistinguibles si para cada sub-palabra el conjunto de posiciones donde ocurre en cada una de ellas es una permutación con soporte finito de la otra. Daremos una caracterización de estos pares de palabras que curiosamente nos llevará a visitar las rotaciones del círculo por ángulos irracionales y sus codificaciones Sturmianas.

Monoides de autómatas celulares elementales

María Guadalupe Magaña Chávez (UDG)

Resumen: 

Un autómata celular elemental es una función en el espacio de configuraciones A^Z, donde A={0,1}, la cual está determinada por  el conjunto memoria {-1,0,1} y una regla local fija. Los autómatas celulares elementales tienen aplicaciones en la modelación de sistemas dinámicos discretos, y han sido ampliamente estudiados desde un punto de vista computacional. En esta plática, abordaremos un aspecto algebraico que ha sido poco estudiado: la estructura de los monoides cuyos elementos son autómatas celulares elementales. Además de presentar una clasificación completa, analizaremos estos monoides mediante las identidades que satisfacen y sus relaciones de Green. 

Linear programming complementation 

Maximilien Gadouleau (Durham University, Reino Unido)

Resumen: 

In this talk, we introduce a new kind of duality for Linear Programming (LP), that we call LP complementation. We prove that the optimal values of an LP and of its complement are complement pairs (provided that either the original LP or its complement has an optimal value greater than one). The main consequence of the LP complementation theorem is for hypergraphs. We introduce the complement of a hypergraph and we show that the fractional packing numbers of a hypergraph and of its complement are complement pairs; similar results hold for fractional matching, covering and transversal numbers. This hypergraph complementation theorem has several consequences for fractional graph theory. In particular, we relate the fractional dominating number of a graph to the fractional total dominating number of its complement.

Más allá de lo imaginario  

María Isabel Hernández (CIMAT-Mérida)

Resumen: 

Sabemos que los números complejos son de la forma z = a + bi, donde a y b son números reales (pensemos por un momento que "i"  es simplemente una etiqueta). ¿Qué pasaría  si ahora  tomamos  objetos del tipo z + wj, siendo z y w números complejos y "j"  una etiqueta?, ¿qué tipo de propiedades cumplen estos objetos?, ¿podemos volver a repetir el proceso una y otra vez?. En esta charla hablaremos sobre este tipo de construcciones y veremos que se obtienen objetos con propiedades muy interesantes. (Charla autocontenida). 

Invariant random orders on groups 

Tom Meyerovitch (Ben-Gurion University of Negev, Israel)

Resumen: 

A countable group is called left-orderable if there exists a total order on the elements of the group which is invariant with respect to multiplication from the left. The origins of the theory of orderable groups go back to the end of the nineteenth century and the beginning of the twentieth century. The study of orderability continues to be an active area of research, mainly due to its connections with many different branches of mathematics. An invariant random order is a probability measure on the space of total orders of the group, whose distribution is invariant with respect to multiplication from the left. In contrast to deterministic (left) invariant orders, any countable group admits an invariant random order. In this talk, which is based on recent joint work with Frank Yuqing Lin and Yair Glasner, I will present results that demonstrate the richness of the space of invariant random orders and relate the structure and dynamics of this space to algebraic, geometric and dynamical properties of the underlying group.

El funtor de Vietoris y el funtor de Parches a veces conmutan 

Ángel Zaldívar Corichi (UDG)

Resumen: 

En esta plática veremos cómo el funtor de parches está relacionado con la reflexión booleana de un marco y que en esta relación surge de manera natural el funtor de Vietoris. 

Crecimiento de grupos finitamente generados

Miguel Sánchez Álvarez (UDG)

Resumen: 

El concepto de crecimiento de grupos finitamente generados tiene una motivación geométrica: el crecimiento del volumen de bolas en una variedad está estrechamente relacionado con el crecimiento de su grupo fundamental. Sin embargo, este concepto ha demostrado ser una potente herramienta para estudiar grupos; probablemente el ejemplo más destacado de ello es el célebre teorema de Mikhael Gromov sobre la caracterización de grupos de crecimiento de polinomial: los grupos virtualmente nilpotentes. Este resultado nos muestra un aspecto de la filosofía que hay detrás de la teoría geométrica de grupos: una propiedad algebraica que puede detectarse mediante una propiedad geométrica (a gran escala).   

En esta plática introduciremos el concepto de crecimiento de grupos y mencionaremos algunos aspectos interesantes del teorema de Gromov sobre crecimiento de grupos.

El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Lorena Noh Canul (UDG).

Resumen: 

La primera versión del Teorema de Riemann-Roch, relaciona el género de una superficie de Riemann con la dimensión de su espacio de funciones meromorfas con ceros y polos fijos. Esta versión fue dada por Gustav Roch en 1865. Posteriormente, se presenta una versión que trabaja con haces vectoriales definidos sobre curvas algebraicas proyectivas no singulares. En 1986, Max Noether y  Castelnuovo presentan una generalización para haces lineales sobre superficies. Y finalmente, en 1954 Friedrich Hirzebruch nos brinda una versión más general utilizando la teoría de gavillas.

En esta plática presentamos este último teorema, conocido como el Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, hablaremos de sus componentes y daremos algunos ejemplos comparándolo con sus versiones anteriores. 

El enfoque localico de la reflexiones booleanas: un análisis en la categoría de marcos

Juan Carlos Monter (UDG).

Resumen: 

La categoría de locales es la categoría opuesta a la de marcos. Debido a esta relación, varios resultados presentados en la teoría de locales pueden ser trasladados a la teoría de marcos. En esta plática se enuncian algunos resultados sobre locales (las reflexiones booleanas) y damos su "traducción" en la teoría de marcos.

Dualidad de Esakia y el ensamble de núcleos de un marco

Ángel Zaldívar Corichi (UDG).

Resumen: 

El ensamble de un marco  (el marco de núcleos) es uno de los objetos más estudiados en la teoría de topología sin-puntos. Uno de los aspectos más interesantes del ensamble es su poder de clasificar y caracterizar clases interesantes de marcos. En esta plática veremos un nuevo método para determinar cuando el ensamble de un marco es espacial y/o booleano, este nuevo método está  basado en Dualidad de Esakia, de alguna manera se puede decir que es la aproximación topológica-ordenada de la topología sin-puntos. 

Ideales, anillos y variedades de determinantes

Luis Núñez Betancourt (CIMAT).

Resumen: 

El determinante de una matriz es uno de los conceptos más importantes que aprendemos en álgebra lineal. En esta charla veremos cómo formar ideales, anillos y variedades usando determinantes. También discutiremos varias propiedades geométricas y homológicas de estos objetos.

Categorías derivadas y trianguladas en geometría y topología

Gabriela Guzmán (Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias).

Resumen: 

La teoría de Categorías derivadas fue inventada por Grothendieck y desarrollada por Verdier; Grothendieck empleo esta teoría para desarrollar sus trabajos en Teoría de Dualidad. Los métodos de Grothendieck y Verdier fueron adaptados para estudiar sístemas de ecuaciones diferenciales parciales por Sato y Kashiwara. Ha penetrado también en la teoría de representaciones de grupos de Lie. 

Beilinson y Bernstein-Gelfand usaron categorías derivadas para establecer relaciones entre gavillas coherentes en un espacio proyectivo y representaciones de ciertas algebras de dimensión finita. Estan presentes también en la teoría de motivos y en teoría de homotopía estable, clásica y motivíca. 

En esta plática introduciré las nociones de categorías derivadas y trianguladas; discutiré algunos ejemplos en Geometría y Topología y su relación con la teoría de  $\infty$-categorías. 

Graduaciones en álgebras semisimples usando álgebras lazo

Alejandra Sarina Córdova Martínez (Universidad de Zaragoza).

Resumen: 

Partimos del problema de encontrar las graduaciones (descomposiciones como suma directa de espacios) en el producto tensorial de dos álgebras de octoniones y, con ayuda de la teoría de esquemas afines en grupos, reducimos el problema a encontrar las graduaciones en el producto de dichas álgebras. Además, puesto que las álgebras implicadas son simples, generalizamos al problema de encontrar graduaciones en un producto finito de álgebras simples (álgebras semisimples) y lo abordamos usando la teoría de álgebras lazo.

En esta charla daremos las definiciones básicas, hablaremos de la motivación para estudiar las graduaciones en este tipo de álgebras y daremos los resultados obtenidos.

*Trabajo conjunto con Alberto Elduque

Conociendo los grupos hiperbólicos

Ramón Harath Ruiz Medina (UDG).

Resumen: 

En la teoría geométrica de grupos, una rama relativamente nueva dentro de la teoría de grupos, los grupos hiperbólicos son un objeto matemático de gran presencia. Esta plática es una pequeña introducción a éstos. Damos a conocer qué son los grupos hiperbólicos, qué propiedades tienen y algunos de los resultados más sobresalientes. 

El corazón de un espacio de Alexandroff

Marlem Elizabeth Solís Santana (UAZ).

Resumen: 

Una generalización de los autómatas celulares

Alejandro Vázquez Aceves (UDG).

Resumen: 

Los autómatas celulares, en particular, son transformaciones en un espacio de configuraciones. En esta plática proponemos una definición de autómata celular donde el dominio y codominio pueden ser diferentes y la definición clásica es un caso particular. De este modo definimos una categoría de autómatas celulares, donde los objetos son todos los espacios de configuraciones, y los morfismos son estos autómatas celulares generalizados. Además hablaremos de algunas propiedades categóricas.

Problemas de clasificación de super álgebras de Lie

Ramón Peniche Mena (UADY).

Resumen: 

Mediante un ejemplo concreto se presentará un enfoque de clasificación de superálgebras de Lie que solamente utiliza álgebra lineal. Se mostrará que si comenzamos con el álgebra de Lie de Heisenberg y consideramos la representación adjunta, las superálgebras de Lie que se pueden encontrar hasta isomorfismo están determinadas esencialmente por formas canónicas de la acción del grupo de matrices invertibles en el espacio de matrices simétricas.

Espacios de representaciones

Bernardo Villarreal Herrera (UNAM).

Resumen: 

En esta plática veremos un breve panorama sobre los espacios de representaciones desde el punto de vista homotópico, con énfasis en los espacios de parejas que conmutan en grupos de Lie. Veremos cómo los grupos de homotopía superiores de estos espacios de parejas aparecen como estructuras tangenciales sobre esferas de dimensión superior.

Álgebras de Lie con estructuras geométricas invariantes.

Gil Salgado González (UASLP).

Resumen: 

El problema de clasificar álgebras de Lie es un problema sin solución, sin embargo, en el camino de resolver dicho problema se pudo notar que hay familias de álgebras de Lie que se pueden clasificar bajo la hipótesis de que existe una "estructura geométrica invariante", por ejemplo, en el caso de las álgebras de Lie semisimples existe una métrica invariante "canónica" (la métrica de Cartan-Killing)  tal que permite lograr la clasificación. Surge entonces la pregunta natural de ¿cuáles tipos de estructuras geométricas pueden permitir clasificar y/o estudiar grandes familias de álgebras de Lie? En esta plática mostraré de forma panorámica los avances en el estudio de las álgebras de Lie que admiten métricas invariantes, álgebras de Lie que admiten estructuras simplécticas (o casi Frobenius), álgebras de Lie que admiten estructuras de Frobenius (o simplécticas exactas) así como álgebras de Lie que admiten estructuras de contacto.

Una parte de los resultados a presentar son trabajos conjuntos con: M.A. Alvarez (Univ. de Antofagasta, Chile) y M.C. Rodríguez Vallarte (FC-UASLP).

Congruencias y conjuntos de congruencia

José Armando Rosas Orozco (UDG).

Resumen: 

Dada una retícula arbitraria, ¿qué formas hay para representarla a partir de retículas más sencillas? Sabemos por el lema de representación de Stone que cualquier álgebra booleana tiene una representación asociada a su espectro primo, y el resultado fue generalizado por Priestley para cualquier retícula distributiva. El objetivo es generalizar estos resultados con una representación en gavillas para cualquier retícula acotada, no necesariamente distributiva. Para lograrlo se requiere manipular congruencias de retículas, por lo que en esta charla mostraremos una forma alternativa para manejar estas relaciones y su estructura asociada.

Teoremas de Extensión y Levantamiento

Juan Manuel Caldera Beltrán (UDG).

Resumen: 

El teorema de Hahn-Banach es uno de los resultados más importantes del análisis funcional, y a pesar de su enunciado aparentemente simple, su aplicación se extiende más allá del análisis funcional, incluyendo las ecuaciones en derivadas parciales, análisis complejo y teoría ergódica. Por esta razón resulta conveniente tener una noción más general de este resultado, y ser capaces de aplicarlo a otro tipo de espacios. De aquí surge la noción de los teoremas de extensión y su contraparte dual los teoremas de levantamiento.

Cubrientes de Klein sobre curvas de género 2

Ángela Ortega (Universidad Humboldt de Berlín).

Resumen: 

Consideramos cubrientes étales 4:1  sobre curvas de género 2 cuyo grupo de monodromía es el grupo de Klein. Distinguimos dos tipos de cubrientes, isotrópicos y no-isotrópicos dependiendo de los valores de la forma de Weil restringida al grupo definiendo el cubriente. En esta charla discutiremos la correspondencia entre los cubrientes de Klein no-isotrópicos y las superficies abelianas con polarización de tipo (1,4). Como consecuencia de  esta correspondencia se obtiene la existencia de exactamente 4 curvas hiperelípticas  en una superficie abeliana general (1,4)-polarizada. Daremos también varias caracterizaciones de  los cubrientes de Klein en ambos casos, lo que nos permitirá demostrar la inyectividad de la correspondiente aplicación de Prym.

Este es un trabajo conjunto con Pawel Borówka.

Formas Bilineales para Polinomios en Varias Variables

Xavier Gómez Mont (CIMAT)

Resumen: 

El primer producto bilineal que encontramos es el producto interior Euclideano en nuestros cursos de Cálculo. Posteriormente, igual en el curso de Cálculo, para tener un criterio si un punto crítico de una función es máximo o mínimo. Conjuntamente con la Dra. Ma. Paz Suarez hemos incursionado en productos bilineales en Algebras de Polinomios en Varias Variables sujetos a congruencias. El objetivo de la charla es introducir de manera elemental estas formas bilineales, sus propiedades y sus usos.

Sobre la clasificación de Hom-álgebras de Lie en dimensión 3

Rosendo García Delgado (CIMAT-Mérida)

Resumen: 

Una Hom-álgebra de Lie es un espacio vectorial dotado de un producto antisimétrico M, que junto con una transformación lineal T en el espacio satisface una identidad que generaliza a la bien conocida identidad de Jacobi par álgebras de Lie de la siguiente manera: M(T(x),M(y,z))+M(T(y),M(z,x))+M(T(z),M(x,y))=0. Si T es la identidad, esta estructura algebraica resulta ser un álgebra de Lie, por lo que en ese sentido la familia de Hom-álgebras de Lie incluye a la de álgebras de Lie. Hasta donde se sabe, las Hom-álgebras de Lie aparecieron en el año 2005 como una especie de deformación de un corchete de Lie para una familia particular de álgebras de Lie. Recientemente, las estructuras de Hom-álgebras de Lie han cobrado interés debido a que estas aparecen de forma natural en otras áreas como álgebras de Lie con métricas invariantes, derivaciones generalizadas en álgebras de Lie, entre otras. Para resolver el problema de clasificar Hom-álgebras de Lie en dimensión 3, se hace uso de herramientas geométricas básicas propias de un espacio vectorial de dimensión 3. En esta plática se muestra que, usando conceptos y métodos básicos del álgebra lineal, es posible clasificar todas las Hom-álgebras de Lie de dimensión 3 sobre el cuerpo de los números complejos. Este es un trabajo en conjunto con O. Adolfo Sánchez Valenzuela y Gil Salgado González. 

Un marco sin reflexión booleana

Ángel Zaldívar Corichi (UDG)

Resumen: 

La categoría de álgebras booleanas completas es una subcategoría plena de la categoría de marcos, esta categoría no es reflexiva. Es por eso que se pueden considerar los marcos para los cuales tal reflexión existe, en esta plática veremos el ejemplo de un marco sin reflexión booleana. Si el tiempo lo permite veremos una manera de construir familias reflexivas y no reflexivas para cierta clase de marcos espaciales.

El Teorema Fundamental de Galois en categorías

Guillermo Andres Lopez Cafaggi (UCLouvain)

Resumen: 

La derivada de Cantor-Bendixson en los marcos

Juan Carlos Monter (UDG)

Resumen: 

La derivada de Cantor-Bendixson es una herramienta topológica que permite construir conjuntos perfectos. Sabemos que existe una adjunción entre Top (categoría de espacios topológicos) y Frm (categoría de marcos). Bajo esta dualidad exploramos la noción de la derivada de Cantor-Bendixson en los marcos y mencionamos algunas de sus aplicaciones.

Hablando categóricamente de uniones e intersecciones

Martha Lizbeth Shaid Sandoval Miranda (UAM-Iztapalapa)

Resumen: 

En esta plática veremos diferentes definiciones de unión e intersección en categorías y daremos condiciones  en las categorías para que esas nociones coincidan. Además veremos que la adjunción entre la imagen inversa y la imagen directa válida en la categoría de conjuntos también se generaliza a ciertas categorías.

El teorema de Riemann-Roch y la estabilidad sobre curvas

Lorena Noh Canul (UDG)

Resumen: 

Sobre una curva algebraica proyectiva X, no singular y de género g, podemos definir tres objetos importantes de estudio: los divisores, las gavillas y los haces vectoriales. Para estudiar las propiedades topológicas de los haces vectoriales utilizamos la cohomología de gavillas y el teorema de Riemann-Roch relaciona estos grupos de cohomología de un haz vectorial E con el grado y rango de E, así como el género de la curva. Podemos clasificar los haces vectoriales utilizando la noción de estabilidad dada por David Mumford en 1963. Posteriormente, David Gieseker introduce otra noción de estabilidad. En esta plática presentaremos el teorema de Riemann-Roch, mostrando algunas aplicaciones en el cálculo de secciones de un haz vectorial y lo utilizaremos para probar la equivalencia entre la MT-estabilidad y la G-estabilidad de haces vectoriales sobre curvas.

Haces vectoriales sobre curvas, haces proyectivos y grassmanianas

Osbaldo Mata Gutiérrez (UDG)

Resumen: 

En esta plática, daremos un breve repaso a la teoría de haces vectoriales sobre curvas algebraicas, hablaremos sobre cómo asociamos a cada haz vectorial un haz proyectivo y su relación con ciertas superficies. Finalizaremos sobre haces grassmanianos y cómo han sido usados para describir algunos espacios de clasificación.

El enfoque sin puntos del espacio de Zariski 

Ángel Zaldívar Corichi (UDG)

Resumen: 

En esta plática veremos como construir la topología de Zariski del espectro de un anillo conmutativo con uno como un cociente de una estructura ordenada llamada quantale.

Este ejemplo es el punto de partida para distintas generalizaciones que se tienen de la topología de Zariski las cuales se mencionarán (si el tiempo lo permite).

La función de Möbius de un copo

Alonso Castillo Ramírez (UDG)

Resumen: 

Si P es un conjunto parcialmente ordenado (un copo) localmente finito, podemos definir su álgebra de incidencia como el conjunto de funciones que van de los intervalos en P a un campo K. Ésta es un álgebra asociativa con identidad que contiene dos elementos importantes: la función zeta de P y su inverso multiplicativo, la función de Möbius de P. En este escenario, podemos demostrar la Fórmula de Inversión de Möbius, la cual tiene diversas aplicaciones en combinatoria enumerativa y teoría del orden. 

En esta plática, además de profundizar en lo descrito en el párrafo anterior, mostraremos una aplicación de la Fórmula de Inversión de Möbius en el conteo de configuraciones en A^G cuyo estabilizador es un subgrupo fijo de G, lo cual resulta de interés en áreas como la dinámica simbólica y la teoría de autómatas celulares. 

La nilpotencia del radical primo de un módulo de Goldie

Mauricio Medina Bárcenas (BUAP)

Resumen: 

El radical primo de un anillo R se define como la intersección de todos sus ideales primos. Este ideal consiste de elementos nilpotentes del anillo pero en general no es un ideal nilpotente. Para un anillo Artiniano izquierdo R, el radical primo de R coincide con su radical de Jacobson y  éste es nilpotente. Para un anillo Noetheriano izquierdo R, su radical primo y su radical de Jacobson no suelen coincidir pero el radical primo también resulta ser nilpotente. Hay una clase de anillos llamada anillos de Goldie izquierdos que incluye propiamente a los anillos Noetherianos izq. Para un anillo de Goldie izq. también es cierto que su radical primo es nilpotente. En esta charla trataremos de llevar este último resultado al caso de módulos. Daremos una definición de submódulo primo y definiremos el radical primo de un módulo de la forma obvia. También definiremos los que es un módulo de Goldie y veremos que bajo ciertas hipótesis su radical primo es nilpotente.

Introducción al álgebra categórica 

Guillermo Andrés López Cafaggi (UCLouvain)

Resumen: 

Una introducción a la topología sin-puntos 

Juan Carlos Monter (UDG)

Resumen: 

Un marco A es una retícula completa que satisface cierta propiedad distributiva (Ley distributiva de marcos). Un morfismo entre marcos es un morfismo que preserva ínfimos finitos y supremos arbitrarios. De esta forma podemos obtener la categoría de marcos Frm. Un marco puede entenderse como un espacio generalizado (por ejemplo si consideramos S un espacio topológico, su conjunto de abiertos OS  resulta ser un marco). En esta platica observamos algunas características generales de los marcos. También se construye una adjunción entre la categoría de espacios topológicos Top y la categoría de marcos (ó locales Loc=Frm^{op}).

Moduli de gavillas cocientes y moduli de haces vectoriales sobre curvas  

Eduardo Reza Gurrola (UDG)

Resumen: 

En esta plática hablaremos del problema moduli de gavillas cocientes sobre una variedad algebraica, cómo este problema ayuda a dar solución al problema de la grasmaniana la cual considera subespacios vectoriales de un espacio vectorial y al problema de clasificación de haces vectoriales sobre una curva.  

The structure of axial algebras 

Justin McInroy (Universidad de Bristol)

Resumen: 

Axial algebras are a new class of non-associative algebra, introduced recently by Hall, Rehren and Shpectorov, which have a strong link to groups.  The prototypical example is the Griess algebra, whose automorphism group is the Monster, and they also generalise some properties found in vertex operator algebras.  Recently, examples have been found in other areas of maths, including in the theory of non-linear PDEs and algebras of Ricci flows.  We will discuss some recent developments about the structure of such algebras: their ideals, sum decomposition and an alternating bilinear form.

This is joint work with Sergey Shpectorov (Birmingham) and Sanhan Khasraw (Salahaddin University-Erbil). 

Introducción a la Teoría de Invariantes Geométricos

Eduardo Reza Gurrola (UDG)

Resumen: 

En un problema moduli tenemos una colección de objetos y una relación de equivalencia entre dichos objetos, la solución al problema  es dotar al conjunto de clases de equivalencia con una estructura de variedad algebraica. En general no es sencillo hacerlo y por esta razón recurrimos a la Teoría de Invariantes Geométricos (TIG) desarrollada por David Mumford. Con esta teoría se consideran acciones de grupos algebraicos en variedades proyectivas y se determinan condiciones para garantizar que el conjunto de órbitas tenga una estructura de variedad algebraica. Para ello es necesario identificar ciertos puntos nombrados "estables" y "semiestables”.

En esta plática abordaremos definiciones y conceptos básicos en la TIG así como algunos ejemplos que nos ayuden a comprender esta teoría.

Z-Shifts de tipo finito y sus grupos de automorfismos

Miguel Sánchez Álvarez (UDG)

Resumen: 

En esta plática presentaremos algunas nociones elementales de dinámica simbólica, incluyendo a  los Z-shifts de tipo finito. Además, mencionaremos algunas propiedades destacadas del grupo de automorfismos de un Z-shift de tipo finito. 

Curvas en superficies orbifold y sus interpretaciones en categorías derivadas

Yadira Valdivieso Díaz (Universidad de Leicester)

Resumen: 

El concepto de categoría derivada fue desarrollado por Grothendieck al inicio de los 60’s para formular y probar una generalización del Teorema de la dualidad de Serre, desde entonces sus métodos han sido adaptados en diferentes áreas de la matemática mostrando ser un lenguaje universal.

 En esta charla nos enfocaremos en categorías derivadas de álgebras (skew-) gentle, las cuales son álgebras de dimensión finita descritas en términos de grafos orientados (carcajes). Mostraremos que es posible describir los objetos indescomponibles de las categorías derivadas y morfismos entre dichos objetos en términos de curvas en superficies orbifold con puntos marcados y sus intersecciones. Esta interpretación, además de dar un modelo geométrico de una clase de categorías derivadas, también permite dar un link entre geometría simpléctica  y teoría de representaciones.

Espacio Moduli

Eduardo Reza Gurrola (UDG)  

Resumen: 

El espacio Moduli es la solución a un problema de clasificación dado a partir de una colección de objetos bajo una relación de equivalencia entre los mismos. Abordaremos el tema con unos ejemplos sencillos para la comprensión de los conceptos y definiciones básicas, y finalmente, concluir con un problema moduli de gran interés: el problema moduli de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. 

Una aplicación de bases de Gröbner para simplificar sistemas de ecuaciones definidos sobre cuasigrupos 

Ismael Romo Alvarado (UDG)  

Resumen: 

En esta charla veremos dos formas de representar a las funciones booleanas, las cuales, usaremos para representar la operación binaria de un cuasigrupo (de orden 2^n) mediante una n-tupla de funciones booleanas. Así, esta representación nos permitirá determinar sistemas de ecuaciones equivalentes a sistemas de ecuaciones sobre cuasigrupos. Y finalmente, usaremos bases de Gröbner para simplificar el sistema obtenido. 

El Monstruo y las álgebras de Majorana

Alonso Castillo Ramírez (UDG)  

Resumen: 

Breve historia del teorema de clasificación de grupos finitos simples, el grupo Monstruo y las álgebras de Majorana. 

Rank relativo de monoides

Ramón Harath Ruiz Medina (UDG)  

Resumen: 

En álgebra, el rank relativo es un objeto matemático el cual ha sido estudiado desde hace tiempo. Estudiamos el número mínimo de elementos que se necesitan para generar un monoide. Más aún estudiamos el número mínimo de elementos que en conjunto con el grupo de unidades generan nuevamente al monoide completo. De manera particular trabajamos con el monoide de autómatas celulares. Estudiamos las propiedades indispensables de los autómatas celulares las cuales nos permiten encontrar el rank relativo de su grupo de unidades.

Bases mutuamente complementarias en dimensión seis 

Andrés García Sandoval (UDG)  

Resumen: 

En información cuántica, la “complementariedad” de los observables juega un papel clave en el desarrollo de protocolos de reconstrucción de estados, corrección de errores, criptografía, entre otras. Específicamente, se utilizan los estados propios de operadores complementarios, pues los estados propios de dos conjuntos (con “𝑑” operadores conmutativos) complementarios forman un par de bases mutuamente complementarias (MUB, por sus siglas en inglés) de ℂ𝑑. En términos más generales, un conjunto de MUB’s consiste de bases de ℂ𝑑 que son todas complementarias por pares. A excepción de espacios de Hilbert de dimensión prima o potencia de primos, los conjuntos maximales de MUBs son desconocidos en general. En esta plática se abordará el problema de MUBs maximales en dimensión seis, el cual a la fecha permanece como un problema abierto.

Divisores, gavillas y haces vectoriales II 

Lorena Monserrat Noh Canul (UDG)  

Resumen: 

Desde siempre los matemáticos se han enfrentado con problemas de clasificación. Por ejemplo, la clasificación de las curvas proyectivas, complejas no singulares salvo isomorfismo (o equivalentemente, superficies de Riemann compactas salvo biholomorfismo). 

En Geometría Algebraica se han clasificado muchos objetos, tales como: curvas algebraicas, superficies complejas, variedades abelianas, haces vectoriales, gavillas, etc. 

Por lo que, en esta plática estudiaremos los conceptos de divisores, gavillas y haces vectoriales sobre una superficie de Riemann. Con el fin de establecer una relación entre ellos. En especial, mostramos la equivalencia categórica que existe entre las gavillas y los haces vectoriales, el cuál nos facilita mostrar la relación entre estos tres distintos objetos matemáticos. 

Cohomología de Čech y sucesión exacta larga de Cohomología

Manuel Estévez (UDG)  

Resumen: 

La Cohomología de Čech es una herramienta que nos permite relacionar las intersecciones que ocurren en la cubierta de un espacio topológico M con las gavillas de grupos abelianos. En particular es de gran utilidad en la clasificación de haces vectoriales sobre una variedad algebraica. De hecho existe un teorema de gran importancia en dicha clasificación, el cual menciona que para determinados espacios topológicos existe una sucesión exacta larga en los grupos de cohomología.

 Se estudiarán los conceptos básicos de la Cohomología de Čech. Comenzaremos por un breve repaso de gavillas de grupos abelianos, posteriormente se hablará de Cohomología de Cech para terminar con la construcción de la sucesión exacta larga.

Divisores, gavillas y haces vectoriales  

Lorena Monserrat Noh Canul (UDG)  

Resumen: 

En este trabajo se pretende entender y estudiar la relación que existe entre los divisores, haces vectoriales lineales y gavillas localmente libres de rango uno definidos sobre una superficie de Riemann X con el fin de concluir que la clasificación de cualquiera de estos objetos implica la clasificación de los otros dos.

Para ello estudiamos la Teoría de Superficies de Riemann, funciones holomorfas y meromorfas sobre una Superficie de Riemann, Divisores y su relación con las funciones de transición de los Haces vectoriales lineales (y en general rango n) y la Teoría de Gavillas (gavillas localmente libres de rango 1).

Caracterización dinámica de grupos residualmente finitos 

Alejandro Vázquez Aceves (UDG)  

Resumen: 

Se estudiarán las propiedades generales de los grupos residualmente finitos; además, se darán algunas propiedades topológicas del espacio de configuraciones , que es el conjunto de funciones con dominio en un grupo y codominio en un conjunto arbitrario, dotado de la topología prodiscreta; con el fin de dar una demostración del teorema de caracterización dinámica de grupos residualmente finitos. 

Bases de Grobner y su construcción con el algoritmo de Buchberger

Ismael Romo Alvarado (UDG)  

Resumen: 

En esta plática definiremos y construiremos una base de Gröbner de un ideal polinomial, apoyándonos en el lema de Dickson, el teorema de la base de Hilbert y el algoritmo de Buchberger. 

¿Cuándo End(A^G) no es finitamente generado?

Alonso Castillo Ramírez (UDG) 

Resumen: 

Revisaremos la demostración, a grandes rasgos, del siguiente resultado: si G es un grupo para el cual existe una cadena infinita decreciente de subgrupos normales de índice finito, entonces End(A^G) no es finitamente generado. En particular, esto implica que End(A^G) no es finitamente generado cuando G es infinito residualmente finito. 

Cocientes en la categoría de marcos y el problema de la reflexión booleana

Ángel Zaldívar Corichi (UDG) 

Resumen: 

En esta plática introduciré una manera de estudiar los cocientes de estructuras algebraicas ordenadas, en particular veremos el caso de los marcos (locales, álgebras de heyting completas). Veremos cómo estás técnicas se relacionan con la complicada estructura de la categoría de marcos.

Espacios uniformes y el teorema de Curtis-Hedlund generalizado

Alejandro Vázquez Aceves (UDG) 

Resumen: 

Estudiaremos las propiedades de un conjunto de configuraciones, dotado de la estructura uniforme prodiscreta; las cuales nos llevarán al teorema de Curtis-Hedlund generalizado, el cual consiste en una caracterización de los autómatas celulares en términos de equivarianza y continuidad uniforme.

La modificación de Vietoris para un espacio topológico: su versión sin puntos y la construcción de parches (continuación)

Ángel Zaldívar Corichi (UDG) 

Resumen: 

En esta plática veremos como se construye la modificación de Vietoris para un marco arbitrario (esta construcción está inspirada en la versión topológica la cual explicaremos) , a su vez la modificación de Vietoris tiene una intrinseca relación con el espacio de parches (marco de parches ) de un marco dado, hablaré de algunos resultados en este camino. 

Módulos y sus anillos de endomorfismos: Módulos endoregulares abelianos

Mauricio Medina Bárcenas (BUAP) 

Resumen: 

Una forma de generalizar nociones de anillos a módulos es mirando al anillo de endomorfismos de un módulo. Dado un anillo $R$ como el anillo de endomorfismos del $R$-módulo $R_R$ es canónicamente isomorfo a $R$, podemos generalizar una propiedad de $R$ a un $R$-módulo $M$  pidiendo que el anillo de endomorfismos de $M$ cumpla la propiedad. En esta charla generalizaremos, en este sentido, los anillos von Neumann regulares, diremos que un módulo es endoregular si su anillo de endomorfismos es von Neumann regular. En particular, queremos estudiar los módulos endoregulares en los cuales los endomorfismos idempotentes son centrales.

La modificación de Vietoris para un espacio topológico: su versión sin puntos y la construcción de parches

Ángel Zaldívar Corichi (UDG) 

Resumen: 

En esta plática veremos como se construye la modificación de Vietoris para un marco arbitrario (esta construcción está inspirada en la versión topológica la cual explicaremos) , a su vez la modificación de Vietoris tiene una intrinseca relación con el espacio de parches (marco de parches ) de un marco dado, hablaré de algunos resultados en este camino. 

Autómatas celulares sobre espacios proyectivos

Ramón Harath Ruiz Medina (UdeG) 

Resumen: 

Un autómata celular es una función  continua y G-equivariante cuyo dominio y codominio es el llamado espacio de configuraciones, el cual consta de todas las funciones de G en A. Los autómatas celulares están definidos por un subconjunto finito de G el cual llamamos conjunto memoria y una función llamada regla local.

En nuestro trabajo se han probado resultados interesantes a partir de autómatas celulares algebraicos, estos son aquellos autómatas celulares cuya regla local sea una función regular.

También realizamos una subclasificación de los autómatas celulares algebraicos, definiéndolos a partir de su alfabeto. Y a partir de esto se realiza la construcción de un autómata celular proyectivo a partir de uno o varios autómatas celulares afines, proponiendo ciertas propiedades que el conjunto algebraico que se toma como alfabeto y la regla local deben de cumplir  para poder llevar a cabo estas construcciones.

Teorema Fundamental de la teoria de Galois para extensiones infinitas

Aldebaran Alaniz Rochín (UdeG) 

Resumen: Una extensión de un campos es un monomorfismo de campos $\theta : k \rightarrow L$, en partícular, se dice que una extensión (finita) $L/k$ es de Galois si es una extensión normal y separable; al grupo de automorfismos de $Aut(L/k)$ se le conoce como el grupo de Galois de esta extensión y se denota $Gal(L/k)$. El teorema fundamental de la teoria de Galois establece una biyección entre los subcampos intermedios de una extenseión de Galois y los subgrupos del grupo de Galois de la extensión.

Si tomamos una extensión de Galois infinita, esta se puede ver como la unión de extensiones finitas de Galois, lo cual da a pensar que el teorema anterior se aplica también para extensiones infinitas; esto se demuestra con el teorema de Krull, que es el caso del teorema fundamental de la teoria de Galois para extensiones infinitas, sin embargo, cabe destacar que dichos teoremas no son iguales, ya que hay condiciones con las cuales estos teoremas difieren. Como observación necesaria para demostrar el teorema de Krull, se necesita demostrar que un grupo de Galois $Gal(L/k)$ es un grupo profinito, es decir, es el limite inverso de un sistema de grupos finitos. 

En esta platica veremos una parte de la demostración del teorema fundamental de la teoría de Gaalois, también se verán mas a fondo las definiciones de limites inversos y de grupos profinitos para utilizarlos en la demostración del teorema de Krull y se verá un eejemplo donde se visualize que efectivamente los dos teoremas (Galois y Krull) no son iguales.

Una introducción a la Teoría de invariantes Geométricos 

Graciela Astrid Reyes Ahumada (UAZ) 

Resumen: En el año 1900 David Hilbert inauguró el Congreso Internacional de Matemáticos en París con una lista de 23 problemas, los cuales marcarían el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX; tal fue el caso del problema 14 de esta lista, que es una pregunta de álgebra y puede ser parafraseada en lenguaje moderno como:

Si G es un grupo actuando en una k-álgebra finitamente generada ¿es finitamente generada la subálgebra de invariantes?

Esta pregunta tardó casi 60 años en poder ser resuelta y ahora se sabe que la respuesta en general es <No>; sin embargo, el estudio de este problema motivó el desarrollo de nuevas e interesantes áreas de investigación principalmente en Geometría Algebraica, una de ellas es la llamada Teoría de Invariantes Geométricos.

En esta charla daremos una introducción a las primeras construcciones de la Teoría de Invariantes Geométricos, nos concentraremos en ejemplos e intentaremos ilustrar el tipo de preguntas que estudia esta área de investigación. 

Un espacio que mide la falta de conmutatividad en un grupo

Bernardo Villarreal (UNAM) 

Resumen: En esta plática daré una breve introducción a los espacios clasificantes para conmutatividad de un grupo G, que denotamos BcomG. Una manera de estudiar estos espacios, es mediante la fibra homotópica de la inclusión de BcomG en el espacio clasificante clásico BG. Esta fibra la denotamos por EcomG, que se puede interpretar como ‘qué tan lejos está el grupo G de ser abeliano’. Por ejemplo, veremos que para un grupo discreto G, es suficiente que el grupo fundamental de EcomG sea trivial para que G sea abeliano. Esto es trabajo en conjunto con Omar Antolín Camarena.

Dos Teorema-Subgrupo Clásicos

Juan Manuel Márquez Bobadilla (UdeG) 

Resumen: En el 2010 Ribes-Steinberg reportaron el uso del producto wreath para demostrar dos teoremas clásicos en la teoría de grupos: un subgrupo de un grupo libre o de un producto libre también es libre o producto libre respectivamente. Con esto lograron explicar como la técnica de transversales de Schreier que data del año 1927 es adaptada para encontrar los generadores del subgrupo mediante el producto semidirecto de los grupos de coset maps con el grupo arbitrario usado en las definiciones diagramáticas de un grupo libre o de un producto libre de grupos. Después de las demostraciones de Schreier (en 1927) y Kurosh (en 1934) se inició una busqueda para simplificar las demostraciones lográndose, alrededor del año 1936 por Baer-Levi, una demostración breve usando topología. El producto wreath tiene su génesis en los años 1980s con los trabajos de Cossey-Kegel-Kovács y Haran. El producto wreath permite una demostración interna al álgebra donde la prueba de Ribes-Steinberg explota las propiedades functoriales del producto wreath. En esta plática, desarrollaremos una simplificación extra que permitiría una versión didáctica para una exposición breve a la hora de desarrollar técnicas para el estudio de los grupos infinitos.

Categorías derivadas, categorías trianguladas y sus usos en geometría algebraica

Ángel Zaldívar Corichi (UdeG) 

Resumen: Introduciremos las categorías derivadas desde dos puntos de vista (si da tiempo), como la categoría derivada de la categoría de CW complejos y el otro usando la categoría de coomplejos de cadena con coeficientes sobre una categoría de modulos (de hecho cualquier categoría abeliana con suficientes proyectivos-inyectivos). Por último veremos el enfoque moderno usando categorías trianguladas, estas introducidad por Verdier, para hacer algebra homologica en la categoría de gavillas perversas. 

 Cómo construir formas cuadráticas no-negativas y sus raíces

Jesús Jiménez González (Instituto de Matemáticas, UNAM)

Resumen: Las formas cuadráticas enteras non-negativas han sido estudiadas desde muy distintas perspectivas. En el álgebra aparecen en los teoremas estructurales de álgebras de Lie semi-simples y en la teoría de representaciones de álgebras asociativas. En ambos casos son las raíces de la forma cuadrática quienes controlan estructuras algebraicas, por lo que se han invertido décadas de investigación en desarrollar técnicas para su cálculo. Por otro lado y aproximadamente en las mismas décadas, en la teoría de gráficas se caracterizaron aquellas gráficas cuyo menor valor propio es mayor o igual a -2, con especial atención al cálculo de valores y espacios propios.  En la plática daremos una introducción unificada a estas dos variantes del mismo tema, con un breve diccionario Formas Cuadráticas-Sigráficas Representables, y especial atención a raíces y sistemas de raíces.

Espacios de teselaciones vía difeologías

Darío Alatorre Guzman (C3_UNAM)

Resumen: Platicaré acerca de la geometría de los espacios de teselaciones. Estos son una especie de solenoide y se conocen varias de sus propiedades dinámicas. Han sido estudiados por L. Sadun y R. Williams quienes probaron que dichos espacios son haces fibrados sobre toros. Sin embargo su construcción es -en palabras de los autores- "muy abstracta para ser de utilidad en términos prácticos de clasificación". Veremos una construcción alternativa y más natural obtenida al dotar a los espacios de teselaciones con una estructura de difeología.

Funciones zeta locales y amplitudes de cuerdas 

Miriam Bocardo Gaspar (CUCEI)

Resumen: En 1968, el físico italiano Gabriele Veneziano descubrió una función, llamada la amplitud de Veneziano, que describe las interacciones fuertes entre un cierto tipo de partículas. Con  este descubrimiento, nace la teoría de cuerdas, y con ella las amplitudes de cuerdas, las cuales son consideradas como generalizaciones de la amplitud de Veneziano. Debido a algunas dificultades que se  encontraron para su estudio, se han construido modelos p-ádicos, llamados amplitudes p-ádicas de cuerdas. En este seminario mostraremos como utilizamos la teoría de las funciones zeta locales (las cuales son objetos algebro-geométricos) para demostrar algunas propiedades analíticas de las amplitudes de cuerdas p-ádicas y reales.  

Dualidad de Schur-Weyl

Andrés García Sandoval (CUCEI)

Resumen: La transformada de Schur en sistemas cuánticos de n qubits es un cambio de base entre la base computacional estándar a una nueva base relacionada con la teoría de representación de los grupos simétricos y unitarios. Cambiar a la nueva base permite distinguir entre espacios degenerados (misma dimensión) para discriminarlos físicamente. En esta charla se discute como determinar explícitamente la base etiquetada por la dimensionalidad de la representación del grupo simétrico a partir de la dualidad de Schur-Weyl. Se considera a detalle el caso de tres qubits.

Espacios espectrales y el problema de la reflexión booleana 

Ángel Zaldívar Corichi (Departamento de Matemáticas, UdeG) 

Resumen: Veremos por qué la categoría de álgebras booleanas completas no es reflexiva como subcategoría de la categoría de marcos, aún con este defecto existen marcos que tienen reflexión. Demostraremos que las topologías espectrales tienen reflexión exactamente cuando la topología de parches tiene reflexión. Esto último se puede generalizar al contexto puramente sin-puntos, trataremos de ver tal generalización. 

MUBs y Planos Afín

Andrés García Sandoval (Departamento de Matemáticas, UdeG) 

Resumen: El concepto fundamental de bases mutuamente complementarias (MUB) ha encontrado numerosas aplicaciones en diferentes ramas de la física cuántica. Se ha demostrado que en el espacio de Hilbert d-dimensional H_d existe un conjunto completo de d + 1 MUBs si d = p^n, donde p es un número primo. En esta charla se resume brevemente una aproximación algebraica para generar conjuntos completos de MUB en C^{2^n} y su relación con planos afín.

Más sobre el problema del Rank para grupos de autómatas celulares invertibles

Alonso Castillo Ramírez (Departamento de Matemáticas, UdeG) 

Resumen: Continuaremos hablando sobre el problema de encontrar la cardinalidad mínima de un conjunto generador para grupos de autómatas celulares invertibles. Estudiaremos algunos ejemplos explícitos en detalle, como el caso de autómatas celulares invertibles sobre grupos finitos cíclicos, y veremos una aplicación al estudio de autómatas celulares sobre grupos infinitos. 

El problema del Rank para el grupo de autómatas celulares invertibles

Miguel Sánchez Álvarez (Departamento de Matemáticas, UdeG) 

Resumen: En los últimos años la teoría matemática de los autómatas celulares ha sido enormemente enriquecida a partir de sus conexiones con la teoría de grupos, la topología, entre otras áreas; el conjunto de células y el conjunto de estados son equipados con estructuras matemáticas y nuevas preguntas surgen. El Rank de un semigrupo consiste en la cardinalidad mínima de un conjunto generador para éste. En esta plática hablaremos de cómo construir cotas superiores para el Rank del grupo de autómatas celulares invertibles, cuando éstos están definidos sobre grupos simétricos y diédricos. 

Estabilidad de haces y haces de Higgs

Osbaldo Mata Gutiérrez (Departamento de Matemáticas, UdeG) 

Resumen: Una manera de estudiar los objetos matemáticos es comparándolos con sus pares. Para ello se forman familias de objetos y se construyen espacios de clasificación, llamados espacios moduli. Por otro lado, uno de los objetos más importantes en la matemática son los haces vectoriales, y son estudiados desde diferentes áreas, por ejemplo: En geometría diferencial, geometría algebraica, topología algebraica entre otras. Una de las virtudes de los haces vectoriales es que al estudiarlos podemos determinar ciertas propiedades geométricas de su espacio base. En nuestra platica hablaremos sobre el espacio moduli de los haces vectoriales estables definidos sobre una curva algebraica proyectiva. Explicaremos cómo la estabilidad de Mumford permite la construcción del espacio moduli. Finalmente,  veremos la relación que existe entre el espacio moduli de haces vectoriales estables y los haces de Higgs.

La forma canónica de... ¿Jordan o Weierstrass?

Jesús Jiménez González (Instituto de Matemáticas, UNAM)

Resumen: En 1874 el famoso teorema de Jordan-Weierstrass fue centro de un controversia histórica: tanto Kronecker (del lado de Weierstrass) como Jordan argumentaban la trascendencia de sus métodos. Más de un siglo después y en medio de una creciente abstracción de conceptos matemáticos, seguiremos la huella de tal controversia en la moderna teoría de representaciones de álgebras.