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Histoire des Mathématiques (Indice de crise)

En faveur de la tolérance scientifique : histoire des mathématiques

La science classique, celle des contemporains de Descartes, reposait sur l’espoir d’un progrès des sciences vers la vérité. La vérité, c’est-à-dire l’indubitable, l’incontestable, l’inébranlable certitude résistant à l’épreuve du doute. Ce n’est que dans le courant du XIX° qu’un certain nombre de mathématiciens ont commencé à entrevoir ou à retrouver la part d’arbitraire qui traverse toute science, y compris l’arithmétique ou la géométrie.

Dans la géométrie euclidienne par exemple, on admettait jusque là que l’espace était plan ; et l’on construisait sur le fondement de ce principe (cet axiome), un certain nombre de vérités ou de théorèmes. Ainsi de celui qui établit que, dans un triangle, la somme des angles est toujours égale à 2 droits ou 180°. Mais les axiomes qui disent que l’espace est plan et qu’il a 3 dimensions, etc., sont-ils vrais ? Ils sont indémontrables. On les tient pour vrais parce que nos yeux et nos sens nous montrent des plans d’espace (un tableau, un mur, une table…). Tout ce que nous voyons, si évident cela semble-t-il, doit-il être admis comme vrai sans examen ? Nous sommes obligés de l’admettre : l’espace se montre à nous comme une conjonction de plans, mais nous ne pouvons pas démontrer que l’espace est en lui-même tel que nous le voyons. Les principes, même en géométrie, sont arbitraires, contingents et donc, au fond, interchangeables.

Il s’est donc trouvé des géomètres, Riemann par exemple, pour faire remarquer que si les principes étaient contingents, on pouvaient les faire varier, l’important n’étant que de veiller à la solidité des résultats démontrés ou déduits à partir d’eux. Lobatchevski a nommé Axiomatique cette possibilité de construire des systèmes mathématiques sur des axiomes arbitraires, si saugrenus soient-ils en apparence. La géométrie dans les espaces courbes de Riemann montre qu’un triangle tracé sur une sphère avec un sommet à 90° sur l’un de ses pôles dessine avec l’équateur, si 2 côtés suivent les méridiens, deux nouveaux angles droits ; point n’est besoin d’être grand mathématicien pour découvrir que dans ce nouvel espace, la somme des angles de ce triangle peut être égale à 3 droits, soit 270°.

De cet exemple, il ne s'ensuit pas qu’on puisse démontrer n’importe quoi, ou conclure que les mathématiques ne sont pas une science. Déduisons-en plutôt qu’en mathématiques, comme en toute autre science a fortiori, il n’y a pas de vérité absolu, d’énoncé indubitable : tout dépendra des principes admis comme postulats de départ, pris comme axiomes. Tout théorème n’a de valeur que relative, à l’intérieur d’un champ d’axiomes définis et limités. Dans les sciences, tout ce qui est démontré repose sur des principes eux-mêmes arbitraires, choisis pour des raisons qui sont toujours arbitraires, ou circonstanciées. Tout est relatif. On ne l’a peut-être pas assez dit ; on ne l’a peut-être pas assez expliqué. On n’en a peut-être pas compris toute la signification : cela aurait dû ou doit un jour nous conduire à la rédaction d’un manifeste de la tolérance scientifique. Différents systèmes de savoir peuvent être recevables en raison de leur cohérence interne, sans qu’aucun puisse prétendre être plus vrai que les autres, absolument parlant. Un jour prochain viendra, où la communauté scientifique prendra véritablement acte de l’absurdité qu’il y a à se demander si Spinoza a plus raison que Descartes, si Riemann est plus vrai qu’Euclide. Les grands penseurs expriment tous une formidable puissance interne, celle qui est produite par l’enchaînement des raisons, et il n’y a guère qu’un rationalisme intolérant pour ne pas voir que l’intérêt de les comparer est essentiellement dans l’effort que cette comparaison exige de nous – effort par lequel nous élevons nous-mêmes notre propre puissance de penser.

Sortira-t-on de ce marécage en affirmant que toute autre axiomatique que celle d’Euclide n’est pas valable, en prétextant qu’il est plus judicieux de prendre pour axiome des principes qui ne contredisent pas notre expérience sensible ? Mais qui peut dire que le principe d’un espace plan est plus judicieux que celui d’un espace courbe ? Le bon sens ? Einstein qui n'avait pas notre bon sens, trouvait qu’il était plus judicieux de postuler un espace courbe. Pour lui, l’univers était courbe, non par fantaisie personnelle, mais parce que, dans sa représentation physique de l’univers, des volumes gigantesques de matière exercent les uns sur les autres des forces gravitationnelles telles qu’ils s’attirent en déformant l’espace, et l’incurvent. Einstein s’est donc servi des travaux de Riemann pour mathématiser ses intuitions. Il n’est pas besoin de rappeler toutes les découvertes qui s’en sont suivies, pesant, par leur application techno-scientifique sur le cours de l’histoire politique. On ne peut donc pas dire qu’une axiomatique, si fantasque qu’elle paraisse au premier abord, est inutile, sans application ou fausse parce qu’elle contredit notre perception commune des choses ou notre bon sens. Dans ce domaine, vrai et faux sont des notions relatives qui n’ont de valeur qu’à l’intérieur d’un système d’axiomes donnés, à l’intérieur de ce que T. Kuhn appelait un « paradigme » (La structure des Révolutions Scientifiques, 1962).

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