Geometria algebrica

A.A. 2017/2018

II semestre, 48 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile) per matematici.

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Testi consigliati:

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Fogli di esercizi

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Diario di bordo

23/02/2018

Lezione introduttiva. Presentazione e panoramica del corso e di alcune tematiche moderne della geometria algebrica. Accenni alle modalità d'esame, e al funzionamento del corso.

07/03/2018

Introduzione alle varietà affini, chiusi algebrici, prime proprietà della corrispondenza tra insieme degli zeri di un ideale e ideale associato a un sottoinsieme dello spazio affine. Ideali radicali, topologia di Zariski dello spazio affine e sua noetherianità, chiusi irriducibili e ideali primi. Esempi.

09/03/2018 

Esistenza e unicità della decomposizione finita in irriducibili, enunciato e dimostrazione di Nullstellensatz di Hilbert, e conseguenze sulla corrispondenza 1:1 tra ideali rispettivamente radicali, primi e massimali e rispettivamente chiusi, chiusi irriducibili e punti dello spazio affine. Funzioni regolari su una varietà affine, e suo anello delle coordinate.

14/03/2018

Una k-algebra ridotta e finitamente generata è l'anello delle coordinate di una varietà affine, esempi. Applicazioni regolari tra varietà affini, loro continuità, esempi. Corrispondenza tra applicazioni regolari e omomorfismi di k-algebre finitamente generate e ridotte. Isomorfismi tra varietà affini, esempi. Topologia di Zariski sul prodotto di due varietà affini.

16/03/2018 

Il prodotto di varietà affini irriducibili è irriducibile. Campo delle funzioni di una varietà affine irriducibile, regolarità in un punto, dominio, applicazioni razionali, applicazioni razionali dominanti, composizione, aperti principali, omomorfismo indotto sui campi delle funzioni. Varietà quasi affini, morfismi, isomorfismi, esempi.

21/03/2018 

Esempi di varietà quasi affini isomorfe o non a varietà affini. Interludio di algebra commutativa: elementi integrali, Lemma di Nakayama, preparazione, Lemma di Normalizzazione di Noether per campi infiniti.

23/03/2018

Rivisitazione della dimostrazione del Lemma di Normalizzazione di Noether su di un esempio esplicito. Interpretazione geometrica del Lemma di Normalizzazione di Noether: morfismi finiti. Prefasci e fasci, definizione, primi esempi. Spiga di un (pre)fascio in un punto. Morfismi e isomorfismi tra fasci.

28/03/2018

Isomorfismi tra fasci in termini di isomorfismi delle spighe. Prefascio nucleo, immagine e conucleo. Fascio associato ad un prefascio. Nucleo, immagine e conucleo di un morfismo di fasci nella categoria dei fasci, sottofasci, quozienti. Morfismo iniettivo e suriettivo di fasci. Successioni esatte, rapido accenno alla coomologia come misura del difetto di suriettività. Anello locale di una varietà affine in un punto, sistemi moltiplicativi chiusi e localizzazione, esempi (elementi non nulli in un dominio, complementare di un ideale primo proprio).

04/04/2018

Il fascio strutturale di una varietà affine, e sua relazione con le localizzazioni. Spazi anellati, localmente anellati, localmente anellati su un campo, loro morfismi. Accenni sullo spettro massimale come insieme, spazio topologico e spazio anellato. Accenni alla definizione di varietà algebrica astratta. Completezza, motivazioni allo studio delle varietà proiettive. Lo spazio proiettivo su un campo, suoi aperti affini e iperpiani coordinati.

06/04/2018

Topologia di Zariski sullo spazio proiettivo, ideali omogenei, accenni al Nullstellensatz proiettivo, varietà quasi proiettive. Completamento proiettivo di una varietà affine, esempi. Funzioni regolari e razionali su una varietà quasi proiettiva. Applicazioni regolari e razionali tra varietà quasi proiettive.

11/04/2018

Revisione della definizione di morfismo regolare e razionale tra varietà quasi proiettive, relazione con le analoghe definizioni date per varietà affini. Esempi: ogni punto ha un intorno affine, proiezione da un sottospazio proiettivo, applicazione di Veronese.

13/04/2018

Applicazione di Veronese, ripresa. Iniettività e suriettività sulla varietà di Veronese. Applicazioni: il complementare di un'ipersuperficie proiettiva è affine, ogni varietà proiettiva è isomorfa a una varietà proiettiva tagliata da iperquadriche. Curve razionali normali, in particolare cubica gobba.

27/04/2018

Grassmanniane, descrizione di un ricoprimento affine, immersione di Plücker, relazioni di Plücker. Studio dettagliato del caso G(2,4). Prodotto di varietà algebriche, applicazione di Segre, dettaglio del prodotto della retta proiettiva con se stessa.

02/05/2018

Ancora sul prodotto di varietà quasi proiettive e sua topologia. Scoppiamento dello spazio proiettivo in un suo punto, descrizione in carte affini, esempi di trasformate strette. L'immagine di una varietà completa tramite un morfismo regolare è chiusa.

04/05/2018

Le funzioni regolari e i morfismi verso le varietà affini di una varietà completa irriducibile sono costanti. Le varietà proiettive sono complete. Applicazione: un polinomio generico di grado dato è irriducibile. Accenni alle proprietà del grado di trascendenza, definizione di dimensione, primissime proprietà. Una varietà ha dimensione zero se e solo se consta di un numero finito di punti.

09/05/2018

Morfismi finiti e loro prime proprietà, enunciato del Lemma di Normalizzazione di Noether proiettivo, e varianti. Dimensione di un prodotto di varietà, dimensione della Grassmanniana, dimensione e inclusione. Una varietà affine o proiettiva è una ipersuperficie se e solo se ha codimensione pura uno. Intersezioni complete, congettura di Hartshorne, la cubica gobba non è intersezione completa.

16/05/2018

Dimensione dell'intersezione con una ipersuperficie proiettiva, e corollari vari: caratterizzazioni della dimensione in termini di lunghezza di bandiere di sottovarietà irriducibili, e di dimensione di sottospazi lineari disgiunti. Un sistema di n equazioni omogenee in n+1 variabili ha sempre soluzioni non nulle. Ancora sui morfismi finiti e applicazioni: località rispetto alla base, l'immagine di un morfismo dominante contiene un aperto non vuoto.

18/05/2018

La proiezione di una varietà proiettiva da un sottospazio proiettivo da essa disgiunto è un morfismo finito. Normalizzazione di Noether proiettiva. Le componenti irriducibili non vuote dell'intersezione di una varietà quasi proiettiva con una ipersuperficie proiettiva hanno tutte codimensione uno.

25/05/2018

Le componenti irriducibili non vuote dell'intersezione di una varietà quasi proiettiva di dimensione n con m ipersuperfici proiettive hanno dimensione maggiore o uguale a n-m. Due varietà proiettive la cui somma delle dimensioni eccede la dimensione dello spazio ambiente si intersecano sempre, coni affini su una varietà proiettiva e loro dimensione. Teorema della dimensione per una fibrazione regolare. Una fibrazione a base e fibra irriducibili ha spazio totale irriducibile. 

30/05/2018

Fuoriprogramma sulla tricotomia topologica, riemanniana, algebrica, aritmetica e analitica per le superfici di Riemann compatte. Le curve piane lisce di grado alto essendo iperboliche, cosa si può dire del problema analogo in dimensione superiore? Varietà di incidenza retta-ipersuperficie, sua irriducibilità e calcolo della sua dimensione.

01/06/2018

Applicazioni dello studio della varietà di incidenza: la generica ipersuperficie di grado al meno 2n dello spazio proiettivo di dimensione n+1 non contiene rette, le superfici quadriche contengono infinite rette, le superfici cubiche generiche contengono un numero finito di rette, esempi. Spazio tangente ad una ipersuperficie affine, suoi punti lisci e singolari, densità dei punti lisci.

06/06/2018

Spazio tangente ad una varietà affine in un punto, differenziale di una funzione regolare, isomorfismo tra spazio tangente e duale del quoziente tra ideale massimale in un punto e suo quadrato. Natura locale dello spazio tangente, differenziale di un'applicazione regolare tra varietà affini. Spazio tangente in un punto ad una varietà algebrica astratta. Dimensione dello spazio tangente come ostruzione all'immersione in uno spazio affine di dimensione "piccola". Esempi.

08/06/2018

Fibrato tangente di una varietà affine irriducibile, semicontinuità della dimensione dello spazio tangente, punti regolari e punti singolari, i punti regolari formano un aperto denso, stratificazione. Ogni varietà irriducibile è birazionale ad un'ipersuperficie affine, la dimensione dello spazio tangente in un punto regolare è uguale alla dimensione della varietà (in ogni caratteristica). Punti regolari e singolari per varietà arbitrarie, criterio Jacobiano di non singolarità.

13/06/2018

Esercizi vari.