Geometria 

A.A. 2020/2021

I semestre, 90 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto di circa 2:1, le esercitazioni saranno tenute dal Prof. Paolo Bravi) per fisici, canale A-C.

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Tutoraggi.

È ora attivo un servizio di tutoraggio per gli studenti.

Per maggiori informazioni e per la logistica, cliccare qui.

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Esami in tempi di COVID.

Gli esami della sessione estiva e autunnale si svolgeranno in presenza.

Lezioni al tempo del COVID

In linea di principio il corso si svolgerà in modalità "blended", una sapiente e antica miscela di didattica frontale in presenza e telematica.

La trasmissione telematica delle lezioni avverrà tramite la piattaforma Google Meet.

Per collegarsi, usare il proprio indirizzo email istituzionale, e cliccare all'URL

http://meet.google.com/qhf-ypwj-wym

sia per la parte teorica che per le esercitazioni (tenute come detto sopra dal Prof. Paolo Bravi).

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Testi consigliati:

            ... o qualunque altro testo di algebra lineare e geometria.

            ... o qualunque altro eserciziario di algebra lineare e geometria.

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Cliccando qui troverete il testo d'esame del 13/09/2021, con una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo d'esame del 12/07/2021, con una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo d'esame del 22/06/2021, con una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo d'esame (in modalità telematica) del 09/02/2021, mentre cliccando qui troverete una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo d'esame (in modalità telematica) del 25/01/2021 con una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete un esempio di come svolgere una prova scritta d'esame (nella fattispecie, la prova scritta dell'appello d'esame del 23/06/2020, disponibile qui). 

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Cliccando qui troverete il foglio di esercizi per le vacanze di Natale con le soluzioni (in rito abbreviato).

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Cliccando qui troverete il testo della prova autovalutativa di metà semestre del 20/11/2020, una possibile soluzione e il modo per autoassegnarsi un voto.

Alla data del 2 dicembre 2020 hanno sostenuto la prova autovalutativa 42 studenti.

Il voto medio è stato 22,63.

Il voto mediano è stato 20,50.

La percentuale dei compiti sufficienti tra quelli consegnati è 69,05%, mentre tra il totale degli studenti del canale (stimati in numero di 100) è 23,00%.

La percentuale dei compiti con voto >24 tra quelli consegnati è 28,57%, mentre tra il totale degli studenti del canale (stimati in numero di 100) è 11,00%.

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Diario di bordo

29/09/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Benvenuto e introduzione alle regole e alla vita universitaria. Accenni informali alle strutture algebriche, e in particolare agli spazi vettoriali. Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali. Esempi.

30/09/2020 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Riepilogo sugli insiemi numerici, irrazionalità della radice di un primo via il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Assiomatica di campo, esempi e non esempi. Il campo con due e con tre elementi.

01/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Altri esempi di campi: numeri costruibili, i razionali estesi con la radice di 2. Polinomi a coefficienti in un campo e funzioni polinomiali ad essi associate, grado e radici di un polinomio, divisione euclidea tra polinomi, enunciato del Teorema di Ruffini.

02/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Deduzioni di alcune proprietà elementari dei campi utilizzando gli assiomi. Dimostrazione del Teorema di Ruffini. Il campo dei numeri complessi, definizione e prime proprietà. Enunciato del Teorema Fondamentale dell'Algebra.

06/10/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Il piano complesso, rappresentazione cartesiana e polare dei numeri complessi, parte reale ed immaginaria, modulo, argomento principale. Significato geometrico delle operazioni. Formula di De Moivre, applicazione: formule di n-uplicazione per seni e coseni. Radici n-esime di un numero complesso. 

07/10/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su (fattorizzazione di) polinomi ed estrazione di radice di numeri complessi.

08/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Coniugio di un numero complesso. Radici complesse di un polinomio a coefficienti reali. Fattorizzazione di polinomi complessi e reali, molteplicità di una radice.

09/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Sistemi lineari a m equazioni e n incognite a coefficienti in un campo. Prime definizioni: soluzioni, compatibilità, sistemi equivalenti, matrice dei coefficienti e matrice completa, sistemi omogenei e non omogenei, esempi.

Criterio necessario e sufficiente per esistenza ed unicità della soluzione per un sistema quadrato triangolare superiore (dimostrazione posticipata). Combinazione lineare di due equazioni lineari, introduzione al metodo dell'Eliminazione di Gauß. 

13/10/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Dimostrazione del criterio necessario e sufficiente per esistenza ed unicità della soluzione per un sistema quadrato triangolare superiore. Somma e prodotto per uno scalare in k^n. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. 

14/10/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su sistemi lineari omogenei.

15/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Definizione di spazio vettoriale su un campo. Esempi: k^n, le matrici a coefficienti in un campo, le funzioni da un insieme ad uno spazio vettoriale, le successioni di elementi di un campo.

16/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Altri esempi di spazi vettoriali: successioni rivisitate, i polinomi a coefficienti in un campo, un campo come spazio vettoriale su sé stesso o su un suo sottocampo. Definizione di sottospazio vettoriale, combinazioni lineari, caratterizzazione in termini di combinazioni lineari. Esempio di sottospazio di k^n: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo.

20/10/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Esempi di sottospazi: matrici quadrate a traccia nulla, funzioni da un insieme verso uno spazio vettoriale che si annullano su un elemento, successioni definitivamente nulle, successioni nulle da un punto fissato in poi, polinomi di grado non superiore a un intero dato, polinomi che si annullano in un punto, ecc. Definizione di insieme linearmente indipendente. 

21/10/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi su sistemi lineari non omogenei (anche in relazione alla dipendenza/indipendenza lineare), e sottospazi.

22/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Svariati esempi di insiemi linearmente (in)dipendenti, criterio di indipendenza di un insieme finito di vettori in k^m in termini di sistemi lineari. Sottospazio vettoriale generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, esempi.

23/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Intersezione di sottospazi. Lo spazio generato come intersezione. La somma di sottospazi come spazio generato dll'unione. Caratterizzazioni. Esempi. Definizione di base di uno spazio vettoriale.

27/10/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Applicazione da k^N a uno spazio vettoriale V associata ad un sottoinsieme A di cardinalità N di V. Caratterizzazione dell'indipendenza lineare di A e del fatto che A genera V in termini di iniettività e suriettività di tale applicazione. Se A è una base, tale applicazione è biunivoca: la sua inversa dà le coordinate rispetto alla base data. Esempi.

28/10/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su spazi generati, lineare dipendenza/indipendenza.

30/10/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Enunciato del teorema generale di esistenza ed equicardinalità delle basi per uno spazio vettoriale. Esempi di spazi di dimensione finita e di dimensione infinita. Spazi vettoriali finitamente generati. Dimostrazione del teorema in questo caso: resta da mostrare che un insieme che genera ha cardinalità non inferiore ad un insieme linearmente indipendente.

03/11/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Riepilogo delle puntate precedenti sull'esistenza di basi. Dimostrazione che un insieme che genera ha cardinalità non inferiore ad un insieme linearmente indipendente. Un sottospazio di uno spazio finitamente generato è anch'esso finitamente generato. Formula di Grassmann senza dimostrazione, conseguenza: se la somma delle dimensioni di due sottospazi supera la dimensione dello spazio ambiente allora essi hanno intersezione non nulla. Come estrarre una base da un sistema di generatori di k^n usando l'eliminazione di Gauss.

04/11/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su estrazione di basi, somma e intersezione di sottospazi.

06/11/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Applicazioni lineari: definizione, immagine, nucleo, preimmagine, rango, nullità. Enunciato del Teorema della Dimensione, conseguenze. Esempi: applicazione nulla, applicazione associata ad un sottoinsieme finito di uno spazio vettoriale, applicazione associata ad una matrice, traslazione di variabile in uno spazio di polinomi. In particolare discussione sul nucleo e sull'immagine di questi esempi ed interpretazioni.

10/11/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Applicazione lineare data da una m-upla di polinomi omogenei di grado 1 in n variabili, e sua relazione con l'applicazione lineare associata a una matrice. Somma diretta, proiezione su un sottospazio parallelamente ad un altro in somma diretta. Esistenza e unicità di applicazioni lineari con valori prescritti su una base, corollari: applicazioni lineari che coincidono su una base coincidono, l'immagine è lo span del trasformato di un sistema di generatori. Applicazioni lineari iniettive trasformano insiemi linearmente indipendenti in insiemi linearmente indipendenti.

11/11/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su applicazioni lineari, nucleo, immagine, preimmagine, e proiezione su di un sottospazio parallelamente ad un altro in somma diretta.

13/11/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Dimostrazione del Teorema della Dimensione, in varie salse. Reinterpretazione della descrizione parametrica di un sottospazio in termini di applicazioni lineari. Definizione di sottospazio affine.

17/11/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Struttura delle soluzioni di un sistema lineare non necessariamente omogeneo in termini delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Sottospazi affini, giacitura, dimensione, parallelismo. Calcoli in coordinate data una base: equazioni cartesiane per sottospazi affini.

18/11/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su calcoli con le basi.

20/11/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Struttura di spazio vettoriale sull'insieme delle applicazioni lineari da uno spazio vettoriale ad un altro, spazio vettoriale duale, spazio vettoriale degli endomorfismi di uno spazio vettoriale. Composizione di applicazioni lineari, isomorfismi. Isomorfismo canonico tra lo spazio delle matrici a m righe ed n colonne a coefficienti in un campo k e lo spazio della applicazioni lineari da k^n a k^m. Prodotto tra matrici, corrispondenza con la composizione di applicazioni lineari. Struttura di anello unitario non commutativo sullo spazio delle matrici quadrate a coefficienti in un campo e sullo spazio degli endomorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici invertibili. Esempi di prodotti di matrici e di calcolo dell'inversa tramite doppia eliminazione di Gauss.

24/11/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Giustificazione teorica del calcolo dell'inversa tramite doppia eliminazione di Gauss. Matrice associata ad un'applicazione lineare data una base in partenza ed una in arrivo, isomorfismo (non canonico) tra lo spazio delle matrici a m righe ed n colonne a coefficienti in un campo k e lo spazio della applicazioni lineari da uno spazio vettoriale di dimensione n ad uno di dimensione m una volta fissate delle loro basi. Caso particolare: matrice del cambio di coordinate. Esempi.

25/11/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su matrici associate ad applicazioni lineari.

26/11/2020 (Corso) Aula 3, 12:15 - 14:00

Matrici associate e cambi di coordinate. Esempi, cambio di coordinate da una base ad un'altra passando per una terza base. Come ottenere B^{-1}C con una doppia eliminazione di Gauss. Trasformazione della matrice associata ad un endomorfismo utilizzando stesse basi in partenza ed in arrivo. Il gruppo generale lineare e la sua azione per coniugio sulle matrici quadrate, orbite. Interpretazione delle orbite in termini di matrici associate ad endomorfismi. Rapidissima introduzione al determinante.

27/11/2020 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Determinanti: unicità di una funzione dallo spazio delle matrici quadrate al campo che sia lineare sulle righe, che valga 0 se due righe sono uguali e che valga 1 sulla matrice identità. Esistenza per matrici di ordine 2 e 3.

01/12/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Riepilogo delle proprietà del determinante. Sviluppo di Laplace per righe e per colonne, determinante della matrice trasposta. Esempi. Teorema di Binet, applicazioni: determinante della matrice inversa, Teorema di Cramer, invarianza per coniugio, determinante di un endomorfismo.

02/12/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su determinanti, metodo di Cramer, rango per minori.

03/12/2020 (Corso) Aula 3, 12:15 - 14:00

Calcolo della matrice inversa tramite la matrice dei cofattori, rango per minori e Teorema degli Orlati. Il problema della diagonalizzazione dal punto di vista dell'algebra matriciale e dal punto di vista degli endomorfismi. Matrici diagonalizzabili ed endomorfismi diagonalizzabili. Autovettori, autovalori, autospazi. Lo spettro di un endomorfismo.

04/12/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Molteplicità geometrica degli autovalori, forma e fattura del polinomio caratteristico, traccia di un endomorfismo, molteplicità algebrica degli autovalori. Enunciato del criterio di diagonalizzabilità, enunciato della diseguaglianza tra molteplicità geometrica e algebrica, conseguenza: un endomorfismo che ha tutti autovalori distinti e nel campo è diagonalizzabile. Esempi: endomorfismi in dimensione due, la derivata seconda.

09/12/2020 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Ad autovalori distinti corrispondono autovettori indipendenti, la molteplicità geometrica è minore o uguale a quella algebrica. Dimostrazione del criterio di diagonalizzabilità. Esempio.

10/12/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 12:15 - 14:00

Esercizi vari sulla diagonalizzazione, la matrice di rotazione in R^2 e la sua diagonalizzabilità su R e su C.

11/12/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Forme bilineari, a partire da qualche esempio (ivi compreso il prodotto scalare canonico in R^2, ed alcune sue proprietà peculiari come l'essere simmetrico, definito positivo, soddisfare la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, ecc.). Definizione generale, forme bilineari simmetriche, esempi. Matrice associata ad una forma bilineare in una base data, cambio di base, matrici congruenti, esempi.

15/12/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Forme bilineari simmetriche: ortogonalità, sottospazio annullatore, sottospazio annullatore come nucleo di una matrice associata, esempi. Spazio-tempo di Minkowski. Se il sottospazio annullatore è non banale allora esiste un vettore isotropo, ma non è vero il viceversa. Sottospazio ortogonale di un sottoinsieme rispetto ad una forma bilineare simmetrica, enunciato dell'esistenza di basi ortogonali. Segnatura di una forma bilineare simmetrica reale, enunciato del Teorema di Sylvester.

16/12/2020 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari su forme bilineari e accenno di proiezioni ortogonali.

18/12/2020 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Dimostrazione dell'esistenza di basi ortogonali (in caratteristica diversa da 2), esempi. Il rango è un invariante completo per le forme bilineari complesse. Forme sesquilineari, simmetria hermitiana, esempi. Matrici a simmetria hermitiana, congruenza hermitiana, enunciato del Teorema di Sylvester per forme hermitiane.

22/12/2020 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Proiezione ortogonale su un sottospazio rispetto a una forma bilineare simmetrica la cui restrizione al sottospazio è non degenere. Esempio in dettaglio. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ortogonale per una forma non degenere. Nozione di (semi)definito positivo/negativo e di indefinito per una forma bilineare simmetrica reale e per una forma sesquilineare hermitiana, e interpretazione in termini della segnatura. Definizione di spazio euclideo e di spazio hermitiano.

08/01/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Elementi di geometria euclidea ed hermitiana: esempi, norma, distanza, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, diseguaglianza triangolare, angolo tra due vettori non nulli in uno spazio vettoriale euclideo. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

12/01/2021 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Riepilogo sul procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, nel caso euclideo e hermitiano, esempio. Endomorfismi in spazi euclidei/hermitiani, matrice associata in una base ortonormale/unitaria, operatori nulli, traccia. Isometrie lineari, e loro matrici associate in una base ortogonale/unitaria, gruppo ortogonale e unitario, e loro versioni speciali. Esempio: le matrici di SO(2,R) sono tutte e sole quelle date dalle rotazioni intorno all'origine. Operatore aggiunto, e sua matrice associata in una base ortogonale/unitaria. Operatori autoaggiunti, operatori normali. Enunciato del Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti.

13/01/2021 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari sul Teorema Spettrale.

15/01/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

La matrice del cambio di coordinate tra due basi ortonormali/unitarie è ortogonale/unitaria. Teorema Spettrale per operatori normali su spazi vettoriali hermitiani, e sua versione matriciale. Prime conseguenze: un operatore normale è somma pesata di proiettori ortogonali, operatori autoaggiunti e isometrie lineari sono diagonalizzabili sui complessi.

19/01/2021 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Riepilogo su operatori autoaggiunti, normali, e isometrie lineari complesse. Un operatore è normale se e solo se è somma pesata di proiezioni ortogonali su sottospazi che decompongono in somma diretta ortogonale lo spazio. Esempio di costruzione di un operatore normale (che non sia né autoaggiunto né un'isometria). Un operatore autoaggiunto ha tutti autovalori reali. Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti reali.

20/01/2021 (Esercitazioni) Aula 3, 09:15 - 11:00

Esercizi vari in preparazione allo scritto d'esame.

22/01/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Gran finale (fuori dal programma di esame). Orientazione di uno spazio vettoriale, prodotto vettoriale in uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione 3. Espressione in coordinate relative a una base ortonormale orientata. Le matrici di SO(3,R) sono tutte e sole le rotazioni dello spazio. Lo spazio tangente al gruppo ortogonale nell'identità è dato dalle matrici antisimmetriche. Operatore lineare associato al prodotto vettoriale contro un vettore dato, e sua antisimmetria. Esponenziale di tale operatore e rotazione ottenuta. Tristo commiato.