Geometria 

A.A. 2018/2019

I semestre, 84 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto di circa 2:1) per fisici, canale A-C.

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Nota bene (prove scritte): durante le prove d'esame scritte sarà ammesso portare con sé un foglio formato A4, fronte-retro, in cui l'esaminando può scrivere ciò che ritiene più opportuno al fine dello svolgimento dello scritto stesso.

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Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 16/09/2019 e una possibile soluzione degli esercizi (a cura del Prof. D'Andrea).

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 15/07/2019 e una possibile soluzione degli esercizi (a cura del Prof. Piccinni).

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 25/06/2019 e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 05/02/2019 e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 21/01/2019 e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo della prova autovalutativa di metà semestre del 23/11/2018, una possibile soluzione e il modo per autoassegnarsi un voto.

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Testi consigliati:

            ... o qualunque altro testo di algebra lineare e geometria.

            ... o qualunque altro eserciziario di algebra lineare e geometria.

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Diario di bordo

25/09/2018 (Corso)

Introduzione al corso: contatti docente, modalità d'esame, struttura delle lezioni, panoramica degli argomenti. Accenni sulla nozione di campo: razionali, reali, complessi, ed esempi di campi finiti.

26/09/2018 (Corso)

Accenni sui polinomi, divisione, Teorema di Ruffini, Teorema Fondamentale dell'Algebra. Ripresa sui campi, i razionali estesi con la radice quadrata di 2, definizione formale dei numeri complessi. Rappresentazione grafica, modulo, argomento, forma polare, interpretazione geometrica di somma e prodotto.

28/09/2018 (Corso)

Riepilogo sui complessi, formula di De Moivre, radici n-esime di un numero complesso. Esempi.

02/10/2018 (Corso)

Retta, piano e spazio. Vettori applicati, e loro struttura di spazio vettoriale sui reali. Sistemi di riferimento affini e coordinate.

03/10/2018 (Corso)

Equazioni parametriche in forma vettoriale e analitica di rette nel piano e nello spazio, e di piani nello spazio. Discussione sull'intersezione in tali oggetti via le loro equazioni parametriche. Esempi.

05/10/2018 (Esercitazione)

Esercizi vari sui numeri complessi, primi esercizi sui sistemi lineari e loro riduzione a scala.

09/10/2018 (Corso)

Generalità sui sistemi lineare a m equazioni e n incognite. Matrice dei coefficienti, vettore dei termini noti, matrice completa. Scrittura compatta e suo significato. Compatibilità dei sistemi omogenei e struttura dell'insieme delle loro soluzioni. Equivalenza di sistemi e combinazioni lineari di equazioni di un sistema.

10/10/2018 (Corso)

Riepilogo della lezione precedente. Matrici a scala, pivot. Esempi. Un sistema quadrato a scala ammette una e una sola soluzione se e solo se tutti gli elementi sulla diagonale sono non nulli.

12/10/2018 (Corso & Esercitazione)

Compatibilità e struttura delle soluzioni di un sistema a scala. Eliminazione di Gauss. Primi esercizi sull'eliminazione di Gauss.

16/10/2018 (Corso)

Spazi vettoriali, definizione ed esempi. Sottospazi vettoriali, esempi. Combinazioni lineari, spazio generato da un insieme finito di vettori, dipendenza e indipendenza lineare.

17/10/2018 (Corso)

Ancora sugli spazi generati da un insieme di vettori, e sulla dipendenza e indipendenza lineare. Spazi vettoriali finitamente generati, basi, insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Una base è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, e viceversa senza dimostrazione. Conseguenza: ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base. Esempi.

19/10/2018 (Corso & Esercitazione)

Dimostrazione del viceversa lasciato in sospeso la volta precedente. I vettori colonna di una matrice sono linearmente indipendenti se e solo se il sistema lineare omogeneo associato ha la sola soluzione nulla. Esercizi: basi, sistema di generatori, estrazioni di basi.

23/10/2018 (Corso)

Teorema del completamento, due basi hanno lo stesso numero di elementi. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale, conseguenze. Somma e intersezione di sottospazi, enunciato della formula di Grassmann, esempio di due piani nello spazio passanti per l'origine.

24/10/2018 (Corso)

Dimostrazione della formula di Grassmann, esempi. Somma diretta, esistenza del supplementare. Definizione di applicazione lineare.

26/10/2018 (Esercitazione)

Esercizi vari su sottospazi, somma, intersezione, basi.

31/10/2018 (Corso)

Richiamo della definizione di applicazione lineare, prime proprietà, esempi. Isomorfismi. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari. Lo spazio duale. Lo spazio delle matrici a m righe e n colonne a elementi in un campo K è isomorfo allo spazio delle applicazioni lineari da K^n a K^m.

06/11/2018 (Corso)

Esistenza e unicità di applicazioni lineari dati i loro valori su una base. Nucleo e immagine, rango, esempi. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo.

07/11/2018 (Corso)

Teorema della dimensione, iniettività e suriettività in base al rango, il rango per righe è uguale al rango per colonne, trasposizione, matrici simmetriche e antisimmetriche, sottospazi affini.

09/11/2018 (Esercitazione)

Esercizi su sottospazi, somma e intersezione, applicazioni lineari.

13/11/2018 (Corso)

Ancora sui sottospazi affini, loro convessità. Composizione di operatori lineari, invertibilità, moltiplicazione tra matrici. Esempio: invertibilità di una matrice quadrata di ordine due.

14/11/2018 (Corso)

Ancora sull'invertibilità, unicità dell'inversa, condizioni equivalenti. Cambiamento di coordinate, esempi.

20/11/2018 (Corso)

Ancora sul cambiamento di base, esempi. Matrice associata ad un'applicazione lineare, e comportamento rispetto a cambiamenti di base in partenza e in arrivo. Matrice associata ad un endomorfismo, con stessa base in partenza e in arrivo, matrici coniugate.

21/11/2018 (Corso & Esercitazione)

Esempi ed esercizi su matrici associate ad applicazioni lineari, e cambiamenti di base.

23/11/2018 (Prova autovalutativa di metà semestre)

27/11/2018 (Corso)

Determinante per matrici di ordine due, interpretazioni geometriche e sull'indipendenza di due vettori di K^n. Proprietà che si richiedono a una funzione sullo spazio delle matrici quadrate per essere chiamata determinante. Determinante per matrici quadrate di ordine tre. Determinante per una matrice triangolare superiore. Come cambia il determinante durante una riduzione a scala, unicità del determinante. Esistenza del determinante come sviluppo di Laplace lungo la prima riga.

28/11/2018 (Corso)

Sviluppo di Laplace per righe e per colonne, matrice cofattore e calcolo dell'inversa via i determinanti. Determinante della matrice trasposta, Teorema di Binet e sue conseguenze: determinante dell'inversa e invarianza del determinante per coniugio. Determinante di un endomorfismo. Teorema di Cramer.

04/12/2018 (Corso - Sostituzione)

Diagonalizzazione.

05/12/2018 (Corso)

Ricapitolazione sulla diagonalizzazione, traccia di un endomorfismo. Forme bilineari, forme bilineari simmetriche, nucleo di una forma bilineare simmetrica, forme bilineari simmetriche non degeneri. Prodotto scalare, esempi.

07/12/2018 (Esercitazioni)

Esercizi vari sulla diagonalizzazione.

11/12/2018 (Corso)

Ricapitolazione su forme bilineari, forme bilineari simmetriche, e non degeneri. Forme bilineari (semi)definite e indefinite. Esempi. Spazi vettoriali euclidei, norma e distanza. 

12/12/2018 (Corso)

Definizione ed esempi di prodotti hermitiani. Spazi vettoriali hermitiani. Proprietà e disuguaglianze per la norma in uno spazio vettoriale euclideo, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, diseguaglianza triangolare. Coseno dell'angolo tra due vettori, ortogonalità. Basi ortogonali e ortonormali, esempi. 

14/12/2018 (Corso)

Coefficienti di Fourier, esempio: ortogonalità di seni e coseni di differenti frequenze rispetto al prodotto scalare L^2. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, esempi.

18/12/2018 (Esercitazioni)

Esercizi su proiezioni ortogonali, diagonalizzazione di matrici simmetriche, geometria euclidea.

19/12/2018 (Corso)

Matrice associata a una forma bilineare. Cambio di base, matrici congruenti. Prime proprietà invarianti per congruenza: simmetria, segno del determinante, singolarità. La matrice associata a un prodotto scalare definito positivo ha determinante positivo, il nucleo di un prodotto scalare coincide col nucleo di una matrice associata, prodotto scalare definito positivo associato ad una base. Definizione di operatore autoaggiunto e di isometria lineare. Matrice associata ad un operatore autoaggiunto. Prodotto scalare associato ad un operatore autoaggiunto, autovettori di un operatore autoaggiunto relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

21/12/2018 (Esercitazioni)

Esercizi vari su diagonalizzazione tramite basi ortonormali, operatori aggiunti.

08/01/2019 (Corso)

Riepilogo su operatori aggiunti, autoaggiunti, isometrie lineari. Gruppo ortogonale, ortogonale speciale, unitario e unitario speciale. Esempi: SO(2), U(1), SU(2) e loro rappresentazioni geometriche. 

09/01/2019 (Corso)

Operatore autoaggiunto associato a una forma bilineare simmetrica (risp. sesquilineare) su uno spazio vettoriale euclideo (risp. hermitiano). Enunciato del Teorema Spettrale per matrici simmetriche (risp. hermitiane), per operatori autoaggiunti su uno spazio vettoriale euclideo (risp. hermitiano), e per forme bilineari simmetriche (risp. hermitiane) su uno spazio vettoriale euclideo (risp. hermitiano). Equivalenza dei tre enunciati. Gli operatori autoaggiunti hanno spettro reale.

10/01/2019 (Corso)

Esempio: il Teorema Spettrale in azione su R^2. Altre applicazioni: determinare se e quando un prodotto scalare (risp. sesquilineare) è definito positivo, Criterio di Cartesio. Esempio: massimi e minimi locali di una funzione C^2 in due variabili.

11/01/2019 (Corso)

Dimostrazione del Teorema Spettrale per matrici hermitiane e per operatori autoaggiunti su uno spazio vettoriale hermitiano. Dimostrazione del Teorema Spettrale per matrici simmetriche. Esempio: le matrici di SO(3) sono tutte e sole le rotazioni lungo un asse.

15/01/2019 (Corso)

Il prodotto vettoriale in uno spazio euclideo orientato di dimensione tre: motivazione (rotazioni infinitesimali), definizione, proprietà, ed espressione in coordinate.

16/01/2019 (Esercitazioni)

Esercizi vari in preparazione dello scritto.

17/01/2019 (Esercitazioni)

Esercizi vari in preparazione dello scritto.