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Polinomios

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números asociados entre sí por las operaciones adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las letras son cantidades desconocidas a las que llamaremos variables oincógnitas. Las expresiones algebraicas son de gran utilidad, pues nos ayudan a expresar en lenguaje matemático expresiones del lenguaje cotidiano.

  • El doble de un número: 
  • El triple de un número más su quinta parte: 

Existen varios tipos de expresiones algebraicas dependiendo del número de sumandos, que llamaremos términos.

  • Monomio: Es una expresión algebraica formada por un solo término. Por ejemplo 
  • Binomio: Es una expresión algebraica formada por dos términos. Por ejemplo 
  • Trinomio: Es una expresión algebraica formada por tres términos. Por ejemplo 
  • Polinomio: Es una expresión algebraica formada por más de un término. Un polinomio de una sola variable es una expresión de la forma.

Donde:

  • n es un número natural llamado grado del polinomio.
  •  son números reales llamados coeficientes del polinomio. es el coeficiente principal y  el término independiente.
  •  (cada uno de los sumandos del polinomio) son términos.
.

Términos semejantes

Dos términos (monomios) son semejantes si su parte literal es igual (letras y exponentes). Por ejemplo,  es semejante a 

Sólo se pueden sumar o restar términos semejantes, y el resultado es otro término donde la parte literal es igual y el coeficiente es la suma o resta de los coeficientes de los monomios. Si dos términos no son semejantes, al sumarlos se obtiene un binomio.


Operaciones con polinomios

  • Suma de polinomios: La suma de polinomios se obtiene al sumar los términos semejantes. El grado del polinomio suma es igual o menor que el mayor grado de los sumandos de los polinomios.
  • Resta de polinomios: La resta de dos polinomios es la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo
  • Multiplicación de un número por un polinomio: El producto de un número real por un polinomio es otro polinomio donde todos los coeficientes del polinomio se multiplican por este número. Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.
  • Multiplicación de un monomio por otro polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
  • Multiplicación de un polinomio por un polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio. El grado del polinomio producto es la suma de los grados de los polinomios a multiplicar.
  • División de un polinomio entre un monomio: Se divide cada término del polinomio entre el monomio, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
  • División de polinomios: Para dividir polinomios realizamos los siguientes pasos:
  • Ordenamos los polinomios y los colocamos de igual manera que una división numérica. Si falta algún término dejamos un espacio en blanco correspondiente al término que falte.
  • Dividimos el primer término (monomio) del dividendo entre el primer término del divisor y lo situamos bajo la caja. Multiplicamos ese primer cociente por cada término del divisor y ubicamos el resultado bajo cada uno.
  • Al polinomio resultante le cambiamos de signo.
  • Sumamos dicho polinomio con el dividendo. Si el polinomio resultante es de grado mayor que el del divisor, se repite el proceso asumiendo como nuevo dividendo el polinomio obtenido.
Dividimos 4x3+1 entre x2-2x El cociente es 4x y su resto 8x2+1.

Veamos un ejemplo completo de un cociente entre dos polinomios:

El cociente es: 

El resto es: 


Regla de Ruffini

En la división de polinomios, si el divisor es del tipo , se puede realizar la operación mediante la regla de Ruffini. Recordemos observando la siguiente animación cómo se aplica:

Empleamos Ruffini para calcular (x3+x+10) / (x+2).
El resultado es x2-2x+5 y su resto cero.
  1. Partimos de un polinomio P(x) y completamos los términos que falten con coeficiente cero.
  2. Escogemos los coeficientes de P(x) junto con el valor acon signo contrario (en este caso -2) y los colocamos como muestra la animación.
  3. Bajamos el coeficiente principal.
  4. Multiplicamos a por el último valor ubicado bajo la línea.
  5. Colocamos el resultado bajo el siguiente coeficiente.
  6. Sumamos dicho coeficiente con ese resultado.
  7. El nuevo valor lo situamos bajo la línea.
  8. Repetimos los pasos 5, 6 y 7 hasta llegar al último coeficiente
  9. Los valores obtenidos bajo la línea (excepto el último) son los coeficientes del polinomio cociente.
  10. El último valor es el resto del cociente

Comprueba que el polinomio cociente siempre es de un grado menor que el polinomio dividendo. Además, si el resto es cero (la división es exacta), entonces decimos que  es factor del polinomio, o bien, que el resultado (el cociente) y  son divisores.

Ruffini resulta muy útil para descomponer factorialmente un polinomio P(x). Esto es importante a la hora de simplificar fracciones o hallar las raíces del polinomio, es decir, resolver P(x)=0.


Descomposición factorial de un polinomio

Descomponer un polinomio en factores es expresar dicho polinomio como producto de otros de menor o igual grado al polinomio a descomponer. Los tres métodos más comunes y usados para descomponer en factores un polinomio son:

  • Factor común: Recordemos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, que viene definida por . Realizar el proceso inverso es extraer factor común.

    Algunas veces, es necesario agrupar y sacar factor común repetidas veces hasta convertir la expresión en un producto de polinomios.

  • Productos notables: los productos notables más utilizadas son:

    Aplicando dichos productos notables en los siguientes ejemplos tenemos:

  • Teorema del resto: Sea un polinomio P(x) y un valor real a, si P(a)=0 entonces x=a es una raíz y (x-a)un factor del polinomio. En caso de que P(a)=k, el resto del cociente P(x)/(x-a) es k.

En general para descomponer en factores un polinomio procederemos de la siguiente manera:

  • Sacar factor común, siempre que se pueda.
  • Si el grado del polinomio es mayor que dos, entonces usamos la regla de Ruffini para encontrar posibles binomios divisores de P(x).
  • Si el polinomio de de grado 2 podemos descomponerlo con los conocimientos que tenemos, sea fórmula general o aplicando productos notables.

Ejemplo 1

Realiza las operaciones indicadas siendo:

a) 

Sustituimos los valores de los polinomios y operamos, reduciendo términos semejantes.

b)

Sustituimos los valores y para la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva, luego reducimos términos semejantes.

c)

Ordenamos los polinomios y procedemos a dividir.

Cociente: 

Resto: 


Ejemplo 2

Realiza las siguientes divisiones aplicando Ruffini.

a) 

Ordenamos los polinomios para efectuar la división

Cociente: 

Resto: 

b)

Cociente: 

Resto: 0


Ejemplo 3

Descomponer en factores el siguiente polinomio aplicando el teorema del resto.

Sacamos factor común , quedando: . Tenemos un nuevo polinomio  para descomponer en factores, con término independiente -18, los divisores son: .

Aplicamos el teorema del resto:

Entonces  es raíz, así que  es factor. Aplicamos Ruffini:

Por tanto: 

Tenemos un nuevo polinomio  con término independiente +18, sus divisores son . Continuamos aplicando el teorema del resto para hallar nuevos factores.

Entonces  es raíz, así que  es factor. Aplicamos Ruffini:

Por tanto: 

El último polinomio de grado dos, podemos resolverlos con la fórmula general o con productos notables, así que finalmente la descomposición factorial es:


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