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Práctica 1. Circuitos RL y RC. Filtros pasivos de 1er orden


Objetivos

Un circuito que actúa como filtro se diseña para dejar pasar señales de un determinado rango de frecuencias y para rechazar o atenuar señales cuyo espectro de frecuencia está fuera de dicho rango. Los filtros más comunes son filtros paso bajo (pasan las bajas frecuencias y bloquean las altas), filtros paso alto (pasan las altas frecuencias y bloquean las bajas), filtros pasabandas (pasa sólo una banda particular de frecuencias), y filtros de rechazo de bandas (diseñados específicamente para rechazar una banda determinada de frecuencias y pasar todas las demás).

En esta práctica estudiaremos el funcionamiento de un filtro paso bajo y paso alto. Veremos en primer lugar la respuesta temporal de estos circuitos y determinaremos la constante de tiempo de cada filtro. Posteriormente analizaremos su respuesta en frecuencia: nos familiarizaremos con medidas de amplitud y fase utilizando figuras de Lissajous, y determinaremos la frecuencia de corte de cada filtro. Asimismo, diseñaremos un filtro pasabandas y analizaremos su aplicabilidad. 

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Fundamentos teóricos

Respuesta temporal

Para el circuito RC de la figura 1 se desea obtener la evolución temporal de la tensión en bornes del condensador (el circuito se denomina entonces filtro paso bajo) y de la resistencia (filtro paso alto). Aplicando la ley de tensiones de Kirchoff, y para una señal de entrada cuadrada, el problema se reduce a resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes:

La solución general de este tipo de ecuaciones es de la forma: Vc(t)=Vp+Vh. Vp es una solución particular de la ecuación diferencial completa y Vh es la solución general de la ecuación diferencial homogénea:

        

 Fig. 1:  Circuito RC

Como la tensión de entrada Vi es constante, evidentemente una función constante K1 es una solución particular de (1) si K1Vi. También es inmediato comprobar que:

Por tanto, la solución general de (1) es: 
K2 es una constante que debemos determinar a partir de las condiciones iniciales del circuito. Si el condensador no está cargado inicialmente, Vc(0)=0 y se cumple que:
K1 K2 = 0, de modo que obtenemos K2 = -K1 = -Vi

En definitiva, la evolución temporal de la tensión en el condensador, desde el instante t=0, viene descrita por la siguiente ecuación y representada en la figura 2 (a):

La constante t se denomina constante de tiempo del circuito, y corresponde al tiempo que tarda en cargarse el condensador a un 63.2% de su tensión final.
            

 Fig. 2: (a)Tensión en bornes del condensador, (b)Tensión en bornes de la resistencia.

La evolución de la tensión en la resistencia (Fig. 2(b)) se obtiene simplemente de

Un hecho importante es que la derivada en t=0 de V(t) y de V(t) es inversamente proporcional a la constante de tiempo, en particular es 
                                    
con VV y signo + para el filtro paso bajo y VVR y signo – para el paso alto.
Esto nos da un modo gráfico de obtener la constante de tiempo a partir de la visualización de la salida en el osciloscopio: basta representar el esquema de las figuras 2 (a) y (b).

La respuesta temporal del circuito RL de la figura 3 se analiza de manera análoga al caso anterior, pero ahora debemos considerar la relación i-v de la bobina VL=LdiL/dt, y resolver una ecuación diferencial de primer orden para iL(t). 
Fig. 3: Circuito RL

Los resultados, considerando que inicialmente no circula corriente por la bobina, son los siguientes:


A la vista de las expresiones obtenidas podemos establecer una equivalencia entre la salida VC (VR) de un circuito RC y la salida VR (VL) de uno RL, ambos corresponden a un filtro paso bajo (paso alto).

Respuesta en frecuencia

Funciones de transferencia y diagramas de Bode
Se denomina función de transferencia a la razón que mantienen dos magnitudes del circuito en forma fasorial. Usualmente una se refiere a la salida (Xo) y otra a la entrada (Ti) del circuito: Vo/Vi , Io/Vi , etc. En los casos Vo/Vi , Io/Ii suele hablarse de ganancia de tensión o corriente. Una función de transferencia genérica H(w) = Xo/Ti tendrá siempre una dependencia con la frecuencia que resulta de interés analizar. Como, H(w) es realmente una función compleja en jw, su representación en frecuencias se debe desdoblar en dos. Lo habitual es elegir una representación en polares: módulo (o amplitud relativa) |H(w)|, y fase f[H(w)].

En general, no se representa |H(w)| directamente, sino una magnitud asociada: 20 log10|H(w)|, que se medirá en unidades de decibelios (dB). Las gráficas de las funciones 20 log10|H(w)|, y f[H(w)] en un eje de frecuencias logarítmico constituyen los diagramas de Bode de la función de transferencia H(w).

La función de transferencia se puede medir utilizando los dos canales del osciloscopio en modo Y-T. La ganancia |H(w)| es directamente el cociente entre los valores de pico de la señal de salida y de entrada. La fase (en radianes) es la diferencia de tiempos entre los cruces por cero de las dos señales dividido por el período y multiplicado por 2p (ver figura 4) . 
Fig. 4: Método para determinar la fase de la función de transferencia

Otro método para medir tanto ganancia como fase, se basa en el uso del osciloscopio en modo X-Y. En el canal 1 se conecta la señal de entrada y en el 2 la de salida. De la elipse que aparece en pantalla se obtiene la ganancia y la fase a partir de las medidas y fórmulas que se muestran en la figura 5.
    
                                                            Fig. 5
 
Polos y ceros
Dado que los fasores de tensión y corriente se relacionan mediante combinaciones de  impedancias de elementos básicos (R, jwL, 1/jwC), las funciones de transferencia adoptarán la forma:

Es decir, un cociente de polinomios en  jw con coeficientes reales. A las raíces c1, c2, etc. del polinomio en jw del numerador [las que permiten factorizarlo de la forma (jw-c1)·(jw-c2)...] se les denomina ceros. Y a las pi del denominador se les denomina polos.

Los polos (ceros) asociados al factor (jw + wd) se denominan polos (ceros) simples. También podrán surgir términos del tipo [(jw/wd)2 + 2z(jw/wd) + 1], que darán lugar a polos cuadráticos. Estos serán reales o complejos dependiendo de si el factor z es ³ 1 ó < 1, respectivamente. La existencia de polos complejos delata un comportamiento “resonante” en el circuito, cuyo significado se aclara en la práctica 3.

Conocer los polos y ceros de una función de transferencia H(w) resulta de interés,  pues tienen relación con las frecuencias de corte, ancho de banda y resonancia en los diagramas de Bode, es decir, con los puntos donde se producen determinados cambios de la pendiente en las curvas de amplitud y fase.

Frecuencias de corte y ancho de banda
Como se habrá visto en las clases teóricas, un polo simple del tipo (1 + jw/wd) produce una atenuación del módulo de la función de transferencia de 20 dB por década, aproximadamente a partir de wd en adelante. Es decir, |H(jw)| se atenúa 10 veces al aumentar la frecuencia 10 veces o un orden de magnitud. Un cero simple produce un aumento del módulo desde el entorno de wd, en la misma proporción.
        Figura a         Figura b

Comparación de distintas representaciones de una ganancia |H(w)|, en escala lineal (figura a), o escala logarítmica (figura b). La línea punteada de la  figura b representa la función 20 Log10 |H(w)|, que permite analizar mucho más claramente los rasgos característicos de la ganancia.

Cuando la función de transferencia representa una ganancia en tensión o corriente [H(w)=Vo/Vi, Io/Ii] gobernada por un polo simple, la frecuencia a la cual la ganancia se atenúa un factor 1/√2 (»0.7) se denomina frecuencia de corte. Se escoge este número porque es para el cual la potencia de la señal se reduciría a la mitad. En la práctica se asume que dicha frecuencia coincide con la wd del polo o del cero correspondiente.

Nótese que los circuitos simples RC o RL presentan ganancias gobernadas por un polo simple del tipo (1+jw/wd)-1, donde la frecuencia de corte viene dada por 

wd = t -1 = 1/RC (para el caso RC) 
wd = t -1 = R/L (para el caso RL),

de donde se deduce que la frecuencia de corte está muy relacionada con el tiempo de respuesta (t), y, por tanto, con las características de los elementos pasivos. 

Cuando |H(w)| representa una ganancia gobernada por polos y ceros de 1er orden, la banda de frecuencias en que se verifica 0.7 £ |H(w)| £ 1 se denomina ancho de banda. Es decir, el ancho de banda se establece por las frecuencias de corte.

Filtros paso bajo

Un filtro paso bajo ideal debe dejar pasar las frecuencias por debajo de una frecuencia determinada w0 (para la cual se ha diseñado el filtro); su característica de frecuencia se muestra en la figura 6(a) (línea continua). Sin embargo, no es posible obtener tal filtro con un número finito de elementos lineales (R, L o C). La característica real de frecuencia sería la mostrada en la figura 6(a) en trazo discontinuo. Un circuito paso bajo simple es el de la figura 6(b). Sustituyendo cada elemento por su impedancia y analizando con fasores se obtiene una ganancia de tensión: 

donde t=RC es la constante de tiempo del circuito que, como ya vimos, da idea del tiempo de carga y descarga del condensador a través de la resistencia.
La amplitud, en decibelios, de dicha ganancia es: 

            20Log10|Hv|=-20Log10|1+jwt

Y su característica de fase:   f(w) = -arctg(wt)

Fig. 6:(a) Característica ideal de  frecuencia (línea continua) y real (trazo discontinuo) de un filtro paso bajo.
(b)Filtro paso bajo simple. 

La curva de Bode ideal para una y otra se obtiene analizando por asíntotas. Para wt<<1 la amplitud es de 0 dB y la fase 0º. Para wt>>1 la amplitud se aproxima por la recta -20Log10(wt) y la fase correspondiente es –90º.  Las características de amplitud y fase (asintóticas y reales) del circuito corresponden al diagrama de Bode de la figura 7. Como podemos ver, la amplitud de ganancia es plana para bajas frecuencias y cae a altas frecuencias, como es de esperar en un filtro paso bajo. La fase varía de 0º a –90º a medida que las frecuencias aumentan. 
La frecuencia angular de corte (wc) es aquella para la cual la amplitud de ganancia es igual a 1/√2, en este caso wc=1/ t. Dicha frecuencia corresponde al cambio de pendiente en la curva de Bode asintótica y puede también determinarse a partir de la característica de fase, correspondiendo en este caso a una fase de –45º.

    
Fig. 7: Amplitud (eje izquierdo) y fase (eje derecho) real y asintótica de la función de transferencia del filtro de la fig.6(b).

Filtros paso alto

Si en el circuito de la figura 6(b) tomamos la salida en bornes de la resistencia, tenemos un filtro paso alto cuya característica de frecuencia ideal (trazo continuo) y real (trazo discontinuo) se muestra en la figura 8(a). El circuito en su forma estándar es el de la figura 8(b).  


         
  
Fig. 8: ( a) Característica ideal de  frecuencia (línea continua) y real (trazo discontinuo). (b) Filtro paso alto.

Mediante un análisis similar, la ganancia en tensión viene dada por: 
        

donde de nuevo = RC. La amplitud de la ganancia y su fase son, respectivamente:


La curva de Bode asintótica se obtiene analizando Hv(jw) en la región wt<<1 y wt>>1. Obtenemos las curvas de la figura 9. Comprobamos que el circuito deja pasar las frecuencias altas: para señales de frecuencia mayor que 1/t la salida no sufre amortiguamiento (|H(jw)|=0 dB corresponde a una amplitud de ganancia unitaria), mientras que por debajo de w=1/t  la amplitud de la ganancia decae con una pendiente de 20 dB por década. La frecuencia w=1/es la frecuencia de corte (frecuencia para la que la potencia del circuito es la mitad de la potencia máxima). Como se comprueba a partir de la figura 9, en este caso la fase es +45º. 

        
Fig. 9: Amplitud (eje izquierdo) y fase (eje derecho) real y asintótica de la función de transferencia del filtro de la fig.8(b).

Filtros pasabandas y filtro de rechazo de banda

La amplitud de ganancia de un filtro pasabandas ideal se muestra en la figura 10(a); la curva real se indica en trazo discontinuo. w0 es la frecuencia central del paso de banda y a la cual se tiene la máxima amplitud. wL y  wson las frecuencias de corte inferior y superior, respectivamente, donde la amplitud es 0.7 veces el valor máximo. 
La amplitud de ganancia ideal y real de un filtro de rechazo de banda es la de la figura 10(b). Se definen de manera análoga al caso anterior las frecuencias de corte wL wHw0 es la frecuencia central del rechazo de banda y corresponde a la mínima amplitud. 
El ancho del paso (o rechazo) de banda se llama ancho de banda y está dado por: 
BW= wH  wL

Fig. 10: Característica de amplitud  para: (a) filtro pasabandas, (b)  filtro de rechazo de banda

Los filtros pasivos con resistencias y condensadores se suelen usar cuando la pérdida de señal no supone un problema, de otro modo es preferible usar un pasabandas RLC y aprovechar el fenómeno de la resonancia, tal y como se verá en la práctica 3. 
Podemos construir un filtro pasabandas con sólo resistencias y condensadores como el que muestra la figura 11, conectando la salida de un filtro paso bajo a la entrada de un paso alto. 

                                
                                            Fig. 11: Filtro pasabandas.

La función de transferencia de este circuito se obtiene fácilmente trabajando con fasores y calculando el equivalente de Thévenin en bornas de R2:

                               con        

                                                 

De la solución de la ecuación s2+2zs+1=0, donde s=jw/wd,  obtenemos los polos de la función de transferencia:


De modo que ésta la podemos escribir de la forma

Se puede demostrar que la frecuencia central w0 viene dada por 1/√tt2 y las frecuencias que delimitan el ancho de banda tenderán a: wL=1/t1 y wH=1/t2 conforme mayor sea la relación R2/R1, para C1=C2.

Descomposición de una función periódica en serie de Fourier trigonométrica

Puede demostrarse que TODA función f(t) periódica con período T = b-a (o frecuencia w=2p/T) es equivalente a una determinada superposición (infinita) de senos y cosenos de la forma:
f(t) » aoS [an cos(nwt) + bn sen(nwt) ] (n = 1, 2, 3....)

Esa serie infinita es denominada desarrollo trigonométrico de Fourier de la función f(t). Las funciones cos(wt) o sen(wt) son los llamados armónicos principales, mientras que cualquiera de las funciones cos(nwt) o sen(nwt), cuya frecuencia es un múltiplo entero de la w, son los armónicos de orden superior.

Los ao, an, bn  son coeficientes numéricos que indican el “peso” o contribución de cada armónico a la función f(t), y cuyo valor se obtiene de acuerdo a las expresiones:

Esto significa que una función cuadrada del tipo:   

 


puede expresarse como el siguiente desarrollo de Fourier.


              
Desarrollo de la función cuadrada hasta n=1     Desarrollo de la función cuadrada hasta n=3


              

Desarrollo de la función cuadrada hasta n=7     Desarrollo de la función cuadrada hasta n=20
Asimismo, una función “diente de sierra” del tipo: 
 

puede expresarse como el siguiente desarrollo de Fourier:


                 
 
Desarrollo de la función diente de sierra hasta n=1      Desarrollo de la función diente de sierra hasta n=3

                     
Desarrollo de la función diente de sierra hasta n=7      Desarrollo de la función diente de sierra hasta n=20

El desarrollo de Fourier encuentra muchas ventajas en el campo de los circuitos lineales. Una señal cualquiera a la entrada podrá ser manejada mediante descomposición en sus distintos armónicos, que serán tratados separadamente en régimen permanente sinusoidal. Posteriormente, se aplicará el principio de superposición y proporcionalidad para obtener la salida. Esta operación de análisis de la señal facilita, en muchos casos, la comprensión del fenómeno. 

Cuestiones previas

Cuestión 1

Se desea visualizar en la pantalla del osciloscopio la carga y descarga del condensador de un circuito RC, donde R=12K, C=10nF y cuya señal de entrada es una onda cuadrada. Si queremos que el condensador tenga tiempo de alcanzar el 95% del valor máximo de la señal de entrada antes de empezar a descargarse, ¿cuál es la máxima frecuencia que puede tener la señal de entrada?. 

Cuestión 2

Se pretende diseñar un filtro paso bajo como el de la figura 1, con frecuencia de corte w=10 kHz. Si se dispone de condensadores con capacidad entre  12 pF y 10 nF ¿qué rango de resistencias será el adecuado? Para C=10 nF y una resistencia de tolerancia 5% y valor 10 KW, ¿qué error induce la tolerancia de R en el valor de wc? ¿En qué rango de valores estaría entonces wc
(Nota: Considerar que no hay error en el valor de C y usar el criterio de propagación de errores visto en otras asignaturas).  

Cuestión 3

Considerar el circuito de la figura 1 donde en lugar de un condensador se conecta una bobina de inductancia L. Comprobar que la ganacia en tensión Hv(jw), tomando la salida en bornes de la bobina, puede escribirse en la forma siguiente:

¿A qué tipo de filtro corresponde? ¿Cuál es su frecuencia de corte? 
Así como el parámetro t de un circuito RC está relacionado con el tiempo de carga/descarga del condensador, ¿qué representa el parámetro t’ en un circuito RL?

Montaje experimental y medidas

Material necesario
 1 resistencia de 4,7 KW
 1 resistencia de 10 KW
 1 resistencia de 1 KW
 2 condensadores de 100 nF

Montaje y medidas

Parte A

A.1) Montar el circuito RC de la figura 1 con R=4,7 K y C=100 nF. Aplicar a la entrada un pulso cuadrado de 2 V de pico y frecuencia adecuada para que el condensador se llegue a cargar completamente (respuesta a la cuestión 1). Visualizar la carga y descarga del condensador en la pantalla del osciloscopio e indicar cual es la frecuencia escogida.
(Nota: Poner el osciloscopio en acoplamiento CC a lo largo de toda la práctica)
f= 

A.2) Medir la constante de tiempo t. Para ello usar el cursor del osciloscopio en modo tensión y tener en cuenta que tras un tiempo t el condensador estará cargado al 63% de su valor final (en este caso 2 V). Comparar el valor obtenido para t con su valor teórico. ¿A qué puede deberse las diferencias?  
texp= tteor=

A.3) Hacer un barrido de la frecuencia de la señal de entrada y ver en la pantalla del osciloscopio como varía la forma de onda en bornes del condensador.  ¿Para qué orden de frecuencias observamos una señal cuadrada? ¿y una triangular? Representarlas y justificad los resultados. 
fcuadr=
ftriang=

A.4) Aplicar ahora como entrada al circuito una señal senoidal ¿cómo es la salida que se observa en el condensador? ¿Por qué?

Parte B

B.1)  Continuando con  el circuito que habeis montado en la sección anterior, aplicar como entrada una señal senoidal de 2V de amplitud pico-pico. Medir el módulo |H(w)| y la fase f de la función de transferencia V0/Vi (la fase se debe medir de las dos maneras descritas en la parte teórica).

 f (Hz)  Vppi  Vpp0  |H|=Vpp0/Vppi  20Log10|H|
 50        
 100        
 200        
 300        
 400        
 700        
 1,5 K        
 3 K        
 10 K        

 f (Hz)   Dt  f=2P* Dt*f   V0pp  V0  f=sen-1(V0c/V0pp)
 50          
 100          
 300          
 700          
 1,5 K          

B.2)  ¿Qué procedimiento crees más adecuado para medir la fase? ¿Por qué?

Dibujar los diagramas de Bode para el módulo de la ganancia |H(w)| y su fase f(w).
A partir de los diagramas de Bode calcular la frecuencia de corte fc y la constante de tiempo t del circuito. ¿A qué tipo de filtro corresponde?
  
fc=        t(a partir de H(f))=        t(a partir de f(f))=

¿Cuál es la pendiente del diagrama de Bode |H(f)|? En una escala no logarítmica, ¿a qué atenuación de señal corresponde?¿Podemos obtener una ganancia mayor que 1?

Parte C

Montar el circuito RC de la figura, con R=4,7 K y C=100 nF. ¿Cuál debe ser el valor teórico de la frecuencia de corte?
            

Para la salida indicada en la figura, repetir las medidas realizadas en la parte B para este circuito (usar el procedimiento que hayáis considerado más adecuado para medir la fase).

 f (Hz)  Vppi  Vpp0  |H|=Vpp0/Vppi  20Log10|H|
 50        
 100        
 200        
 300        
 400        
 700        
 1,5 K        
 3 K        
 10 K        

f (Hz)   Dt  f=2P* Dt*f   V0pp  V0  f=sen-1(V0c/V0pp)
 50          
 100          
 300          
 700          
 1,5 K          

Dibujar los diagramas de Bode para el módulo de la ganancia |H(f)|  y su fase f(f).
Calcular a partir de ellos, la frecuencia de corte fc y la constante de tiempo t del circuito. ¿A qué tipo de filtro corresponde?

Parte D

Montar un filtro pasabandas uniendo la salida de un filtro paso bajo RC a la entrada de un paso alto RC tal y como se indica en la figura. R1=1K, R2=10 K, C1=C2=100 nF
        

Aplicar como entrada una señal senoidal de 2V de pico y representar la salida que observáis en el osciloscopio para las siguientes frecuencias:

f=100 Hz
f=500 Hz
f=1,5 KHz 

Interpretar los resultados.
Medir la ganancia para las frecuencias indicadas en la siguiente tabla y dibujar el diagrama de Bode |H(f)|  correspondiente.

 f (Hz)  Vppi  Vpp0  |H|=Vpp0/Vppi  20Log10|H|
 50        
 100        
 300        
 450        
 1,5 K