4. Análisis. Funciones no polinómicas. Aplicación de límites
5.4 Funciones irracionales
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical
El dominio depende del índice de la raíz.
- Índice impar: Dom f(x) = ℜ
- Dominio de la función radical de índice par: El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Índice par: √P(x) ⇒ P(x) ≥ 0 ⇒ radicando ≥ 0
5.5 Funciones logarítmicas
- Dominio de la función logarítmica. El valor del logaritmo debe ser > 0. No existen los logaritmos de los números negativos ni el de cero.
- Se resuelven igual que las irracionales pero en vez de usar ≥ 0 usaremos > 0
a) Para representar gráficas mediante el cálculo de límites. (asíntotas)
Se dice que una recta r es una asíntota de la curva y = f(x) cuando la distancia entre un punto de la curva y la recta dada tiende hacia cero cuando el punto de la curva recorre una rama infinita
Infinito (∞) no es un número real. Con este símbolo se indica la idea de una función, de una expresión, que crece tanto como se desee.
- Asíntotas verticales (o paralelas al eje Y). Los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales). Estudio de límites laterales. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales
- Asíntotas horizontales (o paralelas al eje X). Es conveniente hallar por separado los límites cuando x tiende a +
- , y cuando x tiende a -, que pueden ser iguales o diferentes, en este último caso hay dos asíntotas horizontales. Una función puede tener hasta dos asíntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los límites.
Un límite en el infinito no es más que el valor hacia el cual tiende la función para valores muy grandes o cada vez "más negativos" de la variable independiente.
Al aumentar x, los valores de f(x) se van acercando al valor "k". (el límite de f(x) es finito)
- Asíntotas oblicuas. Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales. Una función puede tener hasta dos asíntotas oblicuas, correspondientes a cada uno de los límites (+∞ 𝑦 − ∞).
b) Para estudiar la continuidad de una función en un punto o su discontinuidad. (tipos)
- Función continua, función cuya gráfica es una línea continua sin interrupciones ni hoyos. Son las funciones polinómicas y exponenciales.
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x = a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
- Función discontinua, función cuya gráfica tiene saltos u hoyos. Son las funciones racionales, con radicales, logarítmicas y trigonométricas. Tipos de discontinuidades:
- Discontinua inevitable de salto infinito: Si alguno de los límites laterales es infinito o no existe.
- Discontinua inevitable de salto finito: Si los dos límites laterales son finitos pero distintos. El salto es la diferencia, en valor absoluto, de los límites laterales.
- Discontinua evitable: Si los dos límites laterales son finitos e iguales, pero su valor no coincide con f(a) o no existe f(a)
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO
Cuando x→ +∞
Cuando x→ - ∞
- CÁLCULO
a) Sustituir x por el valor al que tiende.
Tras el cálculo de la función en dicho valor, podemos obtener uno de los resultados siguientes: un número k, +∞, - ∞, o bien una expresión de la que no podemos deducir una solución concreta. Esta última situación es lo que se conoce como indeterminación. Una indeterminación significa que, de entrada, no sabemos cuál es su valor y hay que seguir trabajando para averiguarlo. NUNCA se puede dejar como solución de un límite una indeterminación.
- INDETERMINACIONES
∞/∞
En toda fracción donde aparecen polinomios o radicales
En el infinito se comporta como si fuese el cociente de los términos de mayor grado, el resto de los términos pueden despreciarse por ser “muy pequeños” frente a los anteriores.
∞ - ∞
a) Si no hay radicales, efectuaremos la operación.
b) Si hay radicales, multiplicamos y dividimos por el conjugado de cada una de las expresiones que dan como resultado ∞ −∞
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Cuando x→ c
- CÁLCULO
Una función f(x) tiene límite en un punto “c” si y sólo si existen los límites laterales y coinciden; siendo dicho valor el límite de la función.
No existe límite en el punto "c":
a) Cuando no está definida la función por uno de los laterales, solamente se pude afirmar el límite lateral derecho o izquierdo.
b) Cuando los límites laterales diferentes.
- INDETERMINACIONES
k/0
El resultado es ∞ pero habrá que efectuar los límites laterales para estudiar el signo final del cociente. (Caso de asíntotas verticales)
0/0
Cuando se anulan simultáneamente numerador y denominador, se factorizan ambos polinomios (el del numerador y denominador) y simplificar, con lo que desaparecerá la indeterminación.