En introduktion med et par grafiske eksempler. De fleste kan beskues i større version ved at klikke på dem! 

For videre studier i chronomatik henvises til www.tolvtonalitet.dk og http://chronomatics.info

Der er lydeksempler nederst!

Den tonale excitation, her til og med 53-systemet, men processen går videre i det uendelige!
Ekscitationerne udgår fra centrum: De koncentriske kredse danner hvert et tonesystem med hhv. 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41 og i yderste kreds 53 toner.
Til fælles har disse systemer, at tonepunkter som er naboer i kredsen indbyrdes har én af to mulige afstande: intervallet 'stort' eller 'lille'.
Tonepunkterne genereres af hhv. rene kvinter og disses komplementære rene kvarter. 
Skridt i 'plus'-retning (med uret) gengives med hvide cirkler med sort skrift; skridt i minus-retning gengives med sorte cirkler med hvid skrift.
Grafik: DSP på basis af original af Frede Schandorf og 'Bob'.
En større version af Helios – med seks videre kredse, til og med 359-systemet, kan beskues og downloades her!



Et eksempel på kvintgenerering.
Med udgangspunkt i positionen 0, primen med relativ frekvensværdi 1/1,
afsættes rene kvinter i såvel positiv som negativ retning.

Chronomatik er Frede Schandorfs overordnede betegnelse for sit monumentale værk, som tager afsæt i begrebet tonalitet, men bevæger sig langt ind i erkendelses- og talteori blandt meget andet. Her vises et par grundlæggende eksempler. Hvis man er sulten på mere, findes der værker i et tocifret antal hyldemeter.

Som afsæt for de første musikteoretisk funderede betragtninger tager Frede en forståelse af et tonesystem som et antal toner, hvor der mellem naboer kan optræde to størrelser intervaller: store og små. De fleste vil umiddelbart være på det rene med, at et pentatont tonesystem er bygget op af små og store intervaller, hhv. to og tre halvtoners afstand mellem naboer, og at  et heptatont system tilsvarende består af intervaller på hhv. en og to halvtoner. Det samme gælder når man genererer 12-systemet ud fra rene kvinter, hvilket må siges at være fundamentet for alle systemer med tolv halvtoner, uanset hvordan de i praksis stemmes. Der fremkommer hhv. små og store halvtoner, hvor førstnævnte vil antage den relative frekvensforøgelse 1:1,05350 (90,225 cent) og de sidstnævnte 1:1,06787 (113,685 cent). Hele forløbet af excitationer bygger på princippet med at fylde oktavens ramme ud ved at stable kvinter indtil systemet består af et sæt elementer, hvor der netop findes to størrelser nabointervaller.



Rammen er ofte oktaven, proportionen 1:2, men i mere avancerede modeller kan man vælge andre. På samme måde er den rene kvint, proportionen 2:3, det primære generatorinterval, men andre kan bruges og er blevet brugt i såvel teori som praksis.

I chronomatikken anvendes for klarhed og anskueligheds skyld en plus/ minus-notation: 

Som udgangspunktet, nul, vælges tonen d, som på klaveret befinder sig i symmetriaksen for intervallerne hhv. ovenfor og nedenfor. En kvint op til tonen a benævnes +1, næste tone i samme retning genereres som endnu et kvintskridt, e, +2. Tilsvarende genereres rækken af minustoner ved kvintskridt nedad. Når kvintprocessen overskrider oktavens ramme, bringes tonerne tilbage til den oprindelige oktav ved oktavering (ved at multiplicere eller dividere med to indtil tonens frekvensværdi befinder sig inden for intervallet 1:2

Praktisk vælges en notation, hvor minus-værdier angives som hvide tal på sort baggrund, plus-værdier som sorte tal på hvid baggrund:


     

Vejledningen til tydning af matricerne kan beskues i større version ved at klikke på billedet!
Værdien p-n viser desuden, hvor mange oktaver der modsvarer det antal kvinter som lægger navn til et givet system.
Eksempelvis modsvarer de 53 kvinter 53-22= 31 oktaver.
Forholdet mellem p:(p-n) konvergerer mod en konstant, omkring 1,7095, som har mange egenskaber tilfælles med den gyldne proportion. Se nederst!


Det er vigtigt at forstå, at de kendte systemer med 5 - pentaton, 7- heptaton og 12 toner, dodekaton musik, alle er baseret på rækker af kvinter, som samles inden for en oktav. Det er lige så vigtigt at forstå, at kvint og oktav aldrig vil mødes præcis på kornet, da 2n altid vil give et lige resultat, mens (3/2)n altid vil være ulige. Med andre ord: generatoren, kvinten, danser inden for oktavens ramme, men de to mødes aldrig.

Dog svarer 12 kvintskridt, (3/2)12 (=129,746) næsten til syv oktaver, 2(=128). Derfor er delingen af oktaven i tolv halvtoner en meget stærk konstruktion. Slangen i paradiset er i første omgang netop afvigelsen mellem ovenstående to værdier, som benævnes det pythagoræiske komma. Frede Schandorf viser i sine ekscitations-diagrammer, hvorledes den lille forstyrrende skævhed kan danne basis for udvidede tonale modeller. Ved at fortsætte med at stable kvinter, nås frem til nye, næsten afsluttede tonesystemer, hvor det, som indeholder 53 kvintgenererede toner, skal fremhæves, da 231 (31 oktaver) afviger ganske, ganske lidt fra 53 kvinter, (3/2)53. Her er forskellen mellem de to frekvenværdier omkring 2 promille, mens den for det pythagoræiske komma er 1,364 procent. I den musikteoretiske terminologi vil man tale om  3,615  hhv. 23,46 cent.



Den  tonale ekscitation. Grafik: Robert 'Bob' Petersen, bearbejdet af DSP.


Illustrationen ovenfor viser stamtonerne i tonaliteterne 3-5-7-12 (NB! Inkl. oktav), som kan spilles på et vanligt klaver.

Naturlige klaviaturer for hhv. 5-, 7- og 12-systemet, hhv. grafisk og som MP3:


Det kan måske synes ekstremt at dele en oktav i 53 dele og skabe et tonesystem heraf. Det giver ganske rigtigt i praksis mange tangenter at holde rede på,
men de mikrotonale delinger tilfredsstiller behovet for renhed for næsten enhver slags musik. Og jo, øret kan godt skelne de små afstande - et instrument med 53 rørklokker er blevet konstrueret til udstillingsprojektet Rundt om Tonen, se menupunktet af samme navn her!

De matematiske forhold der ligger til grund for stablingen af 53 rene kvinter blev første gang beskrevet af den kinesiske musikteoretiker Jing Fang som levede 78-37 fvt. I vores kulturkreds er ekscitationsforløbet 7- 12- 17- 29- 41- 53 blevet beskrevet af det matematiske geni Leonard Euler (1707-83). Det fremgår af Christoph J. Scribas Mathematics and music. Læs mere her (næstsidste afsnit).


Her er det kvintgenererede 53-system med et par af dets iboende logaritmiske spiraler tegnet op til et blomstermønster.
Et sådant system frembringes på fuldstændig parallel vis som eksempelvis en solsikkes blomsterstand arrangerer sine blomster og frø iht. såkaldt phyllotaxi. 
Comments