Archives‎ > ‎

Числовая прямая

Координаты на прямой

1. Найдите координаты точки, делящей в отношении 2:3 отрезок а) [0,1]; б) [0,t]; в) [a,a+t]; г) [a,b].

2. Найти координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты x и y.

3. При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x^2?

4. Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых среди неравенств
 x>1, x>2, ... , x>9, x>10
нечётное число верных.

5. Нарисуйте на числовой оси те точки x, для которых
(x −1)(x −2)...(x −9)(x −10) < 0

6. На числовой оси находятся точки A,B,C,D. Аня нашла середины
отрезков AB и CD, соединила их отрезком и взяла середину этого
отрезка. Боря сделал то же с отрезками AC и BD. Докажите, что
Аня и Боря получили одну и ту же точку.

7. Нарисуйте на отрезке [0,1] числа, в десятичной записи которых первая цифра после запятой нечётна.

8. На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?

Абсолютная величина

Абсолютной величиной (или модулем) числа x называется само x, если x ≥ 0, и число −x, если x<0. Обозначение: |x|. Например, |2|=|−2|=2. |x| — это расстояние от точки x числовой оси до точки 0 и, соответственно, |x−y| — расстояние между точками x и y.

1. Аня считает, что |−a| при a<0 равно a, а Боря — что −a. Кто из них прав?

2. Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых а) |x| < 1; б) |x −1| ≤ 2; в)  |x +1| > 2 и |x −2| ≤ 5.

3. Точки A и B имеют координаты −1 и 2. Найдите точки C, для которых сумма расстояний до A и B равна а) 5; б) 3; в) 2. Укажите все возможные варианты.

4. Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых
а) |x +1| + |x −2| = 5;
б) |x +1| + |x −2| = 3;
в) |x +1| + |x −2| = 2.

5. Найдите наименьшее значение выражения |x +1| + |x −2|. При каких x оно достигается?

6. Какие значения может принимать сумма x+y+z, если |x|=1, |y|=2, |z|=4?

7. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a ≤ b, −a ≤ b и |a| ≤ b два верных и одно неверное?

8. Найдите выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y.

Целая часть

Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначение: [x]. Например, [2] = 2, [3,1] = 3, [−2] = −2, [−3,1] = −4. Дробной частью числа x называется разность x − [x]. Обозначение: {x}. Таким образом, x = [x] + {x}, причём 0 ≤ {x} < 1 для любого числа x.

1. Нарисуйте на отрезке [−2,3] точки x, дробная часть которых меньше 2/3.

2. Какие значения может принимать сумма [x] + [−x] ? А сумма {x} + {−x} ?

3. Аня знает, что [x]=3, [y]=4. Достаточно ли у неё данных, чтобы найти [x + y] ?

4. Боря знает, что {x}=0,3, {y}=0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y} ?

5. Нарисуйте на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3].

6. Напишите выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два).

7. Напишите формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части).

8. Аня обозначила дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6 и придумала формулу
день недели  =  7⋅ {число/7}
которая годится, если первое число месяца понедельник. Как нужно её изменить, когда первое число месяца — пятница?

Дроби

1. Найдите целые положительные числа x, y, z, t, для которых


2. Какая обыкновенная дробь при переводе в десятичную даёт а) 0,17171717... ; б) 0,217171717... ?

3. Вычислите

4. Сумма нескольких различных правильных дробей с числителем 1 может быть равна 1, например
Есть ли другие такие примеры?

5. Докажите, что


Подсказка: насколько левая и правая части меньше




6. Докажите, что число
не целое.

7. Вычислите произведение


8. Сначала бревно хотели распилить на 7 равных частей, и наметили распилы красной краской; потом собрались пилить на 13 равных частей и наметили распилы зелёной краской; наконец, его распилили на 20 равных частей. Докажите, что все части, кроме двух крайних, имеют ровно одну пометку — либо красную, либо зелёную.
Ċ
Sergey Sobolev,
Feb 25, 2009, 12:19 AM