Archives‎ > ‎

Числа и суммы

Это задание — по одноимённой книге московских математиков, её можно найти у А.Л.Городенцева, а pdf-файл — в нашей библиотеке.

1 [2.8]. На рис. 2.4 изображен ряд СИММЕТРИЧНЫХ ступенчатых треугольников. Сколько клеточек в каждой такой фигуре? Каким рядом чисел выражаются их площади? Как это объяснить геометрически? Придумайте разные способы.

2 [2.11]. Докажите теорему Диофанта: 8Tn + 1 = (2n + 1)2, показав, как разрезать квадрат с произвольной нечетной стороной на 8 одинаковых ступенчатых треугольников и один квадратик.

3 [2.12]. Докажите теорему сложения треугольных чисел
Tm+n = Tm + Tn + mn
выяснив, что получится, если от ступенчатого треугольника со стороной m+n отрезать треугольник со стороной m и треугольник со стороной n.
4 [3.6]. Из скольких клеток состоит РАМКА размера n с рис. 3.6? Какая сумма получится при разрезании квадрата со стороной n на такие рамки? Обратите внимание на то, что n бывает четным и нечетным!

5 [4.15]. На сколько частей делят плоскость n прямых, любые две из которых пересекаются, однако никакие три не пересекаются в одной точке?

6 [5.8]. Подсчитайте сумму  13 + 23 + ... + n3. Поэкспериментируйте и угадайте ответ, а потом обоснуйте его.

Контрольные задачи — к 28 февраля.