Archives‎ > ‎

Тест А. Шеня (вариант ЕГЭ)

Школьная часть

1о. Купец купил лошадь за 5 рублей, затем продал за 6, решил, что продешевил и выкупил за 7, и, наконец, продал за 8. Сколько всего денег он на этом заработал?

2о. Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11 ⁄ 41, чтобы она обратилась в 3 ⁄ 8?

3о. Числа a,b,c,d,e положительны. Известно, что ab=3, bc=2, cd=4, de=5. Найдите отношение a ⁄ e.

4. Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Биссектриса угла A пересекает окружность в точке M. Найдите длину стороны BC, если MB=a, а расстояние от точки M до прямой BC равно d.

5о. Картонная коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Её боковые грани — прямоугольники, имеющие периметр 16, 20 и 24 сантиметров. Найдите объём коробки (в кубических сантиметрах).

6. Решите неравенство 
.

7о. Синус острого угла вдвое меньше его тангенса. Найдите этот угол. Ответ укажите в градусах.

8. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость, проходящая через точку A, середину ребра CD и точку K, лежащую на ребре CC1 и делящую его в отношении CK : KC1 = 2 : 3. Какой многоугольник получается в пересечении этой плоскости с кубом? Найдите его стороны.

9о. Даны две бутылки с растворами различной концентрации. В одной бутылке 0,5 литров, в другой 0,4 литра. Два одинаковых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего содержимое стаканчиков влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках получился раствор одинаковой концентрации. Найдите объём стаканчика. Ответ запишите в литрах.

10. Какое из чисел больше: log2 3 или 11 ⁄ 7 и почему?

Нешкольная часть

11. Положительные числа a,b,c,d таковы, что a ⁄ b = c ⁄ d. Докажите, что (a-b) ⁄ (a+b) = (c-d) ⁄ (c+d).

12. Укажите числа a и b так, чтобы множеством решений неравенства |x-a| < b был бы интервал (-1,2).

13. Число 2−12 записали в виде десятичной дроби. Сколько нулей в этой дроби после запятой (до первой ненулевой цифры)? Какова эта первая ненулевая цифра?

14. При каких a уравнение x4 −2x2 = a имеет ровно два решения?

15. Докажите тождество (углы в градусах)
cos x + cos (x+72) + cos (x+144) + cos (x−72) + cos(x−144) = 0.

16. Цилиндрическую кружку радиуса 1 и высоты 2, наполненную до верха водой, наклонили на угол 30 градусов. Найдите объём оставшейся в кружке воды.

17. Имеется сто чисел a1, a2, ..., a100. При этом известно, что a1 = 1, a100 = 100 и что каждое из остальных чисел не больше среднего арифметического двух его соседей, то есть
       ai ≤ (ai-1 + ai+1)/2  при всех  i = 2,3,...,99.
Докажите, что  ai ≤ i  при всех  i = 1,2,...,100.

В задачах с пометкой "о" нужно записать только ответ, в остальных -- также и решение.

Источник: комментарий  А.Шеня.

Тест нужно прислать на проверку 12 января.

Для семиклассника решить 8-9 задач — хорошо, 10-11 — отлично.
Ċ
Sergey Sobolev,
Jan 4, 2009, 11:32 PM