Archives‎ > ‎

Тождества

1. Докажите формулу (a+b)2=a2+2ab+b2, сложив квадрат со стороной a+b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b.

2. Докажем формулу a2-b2=(a+b)(a-b). Возьмём квадрат со стороной a и вырежем из его угла квадрат со стороной b, разрежем получившуюся фигуру на две части и сложим из них прямоугольник со сторонами a-b и a+b. Как нужно разрезать? Достаточно одного прямого разреза.

3. Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится квадрат целого числа. Докажите это, нарисовав картинку на бумаге в клетку.

4. Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Докажите, что получился квадрат целого числа. Указание: сведите задачу к предыдущей.

5. При положительном целом n число n2+n не может быть квадратом целого числа. Объясните по картинке на бумаге в клетку.

6. Докажите, что (a+b)2-(a-b)2=4ab. Как выглядит соответствующая картинка?
7. В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы четвертей квадратов, которые указывали значения x2/4 для x = 0, 1, 2, 3,... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)?

8. Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы квадратов двух других целых чисел (например, 5 хорошее, так как 5=22+12, а 3 - нет). Докажите, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число.

9. (Продолжение) Докажите, что произведение двух хороших чисел тоже хорошее число.

10. Напишите формулу для (a+b)3 и опишите соответствующее ей разрезание куба со стороной a+b.

Срок присылки на проверку - 21 ноября. Кто летом делал задания по алгебре, дорешивайте задачи, финиш 30 ноября.

Читайте "Алгебру" И.М.Гельфанда и А.Х.Шеня
    http://math.ru/lib/254
    http://www.mccme.ru/free-books/shen/algebra.djvu

При составлении задания использовалась книжка А.Шеня "Задачи математического класса", её можно найти здесь:
    http://www.mccme.ru/free-books/
Ċ
Sergey Sobolev,
Nov 1, 2008, 11:48 PM