Archives‎ > ‎

Олимпиадные задачи

1. 6 мороженых дороже 10 булочек, но дешевле 5 шоколадок; 10 мороженых дороже 8 шоколадок. Что дороже: 2 мороженых или 3 булочки?

2. Шоколадка имеет углубления в виде трех продольных и четырех поперечных канавок, по которым ее можно разламывать. Какое минимальное количество разломов необходимо, чтобы разломать ее на кусочки, не имеющие канавок? При разломах не разрешается прикладывать отдельные куски друг к другу, так чтобы одним разломом сломать два куска.

3. На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни?

4. Два колокола звонили в течение 2 минут. Удары первого колокола раздавались через каждые три секунды, а второго - через каждые 4 секунды. Сколько было слышно ударов? Сколько было двойных ударов (они слышатся как один)?

5. У Ани 2,4 кг ирисок и рычажные весы без гирь. Как ей отмерить Боре 0,75 кг ирисок?

6. Аня сложила куб со стороной 3 из 27 равных кубиков со стороной 1. Затем она подумала и сняла 8 угловых кубиков. Как изменилась от этого площадь поверхности?

7. Федоту выставили годовые оценки по 12 предметам. Оказалось, что его средний балл в этом году равен 3.5. По скольким предметам на следующий год он должен улучшить свою оценку на один балл для того, чтобы средний балл стал равен 4 ?

8. На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остается одна лишняя книга, а если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не остается. Сколько книг могло быть на столе?

9. Четверо ребят -- Алеша, Боря, Ваня, Гриша -- соревновались в беге. После соревнований каждого из них спросили, какое место он занял. Алеша ответил: "Я не был ни первым, ни последним". Боря ответил: "Я не был последним". Ваня ответил: "Я был первым".  Гриша ответил: "Я был последним". Три из этих ответов правильные, а один неверный. Кто сказал неправду? Кто был первым?

10. Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель - на 10. Может ли увеличиться при этом дробь?

11. Кольцевое шоссе имеет длину 330 км. Автобус выезжает из некоторой точки этого шоссе и делает остановки через каждые 75 км, пока не остановится в точке старта. Сколько километров он проедет?

12. Найдите прямоугольник с целыми сторонами, площадь которого численно равна периметру.

13. Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?

14. Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но запротестовали экологи. Директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "Мы будем рубить только сосны, сейчас они составляют 99% всех деревьев, а после рубки будут составлять 98%". Какую часть леса собирается вырубить леспромхоз?

15. В доме обитают кошки и собаки. Известно, что в первом подъезде процент кошек выше, чем в третьем, а во втором - выше, чем в четвертом. Верно ли, что процент кошек в первом и втором подъездах выше, чем в третьем и в четвертом подъездах вместе?

16. Шестизначное число увеличивается в 3 раза от перестановки первой цифры в конец. Найдите все такие числа.

17. На какую цифру оканчивается число (в десятичной записи), если его квадрат оканчивается на ту же цифру? Несложно увидеть, что на 0, 1, 5 или 6. А если у числа и его квадрата должны совпадать последние две цифры? Какие возможны окончания (то есть последние две цифры)?

18. Какая последняя цифра у числа 2100 (два в сотой степени)? А какая предпоследняя цифра у этого числа?

19. Дано 101 число, сумма любых двух больше 2. Докажите, что сумма всех больше 101. Постарайтесь придумать не одно объяснение.

20. Контора "Тише едешь -- дальше будешь" взялась строить дорогу длиной 100 км. План строительства таков: за первый месяц строится 1 км дороги, а затем, если к началу какого-то месяца уже готовы s км дороги, то за этот месяц строится еще 1/s км. Пусть
контора существует вечно. Построит ли она дорогу? Если да, то хватит ли для этого 1000 лет?

Это задачи, решённые в кружке CSMath несколько лет назад, преимущественно 6-классниками.