Archives‎ > ‎

Задание 10 "Экзаменационные задачи"

   Задачи этого задания -- из несложных вариантов вступительных
экзаменов в вузы, однако на них  можно неплохо потренироваться.
Они были подобраны или придуманы для  вступительных экзаменов в
Карельский  государственный  педагогический университет  (и для
школьного выпускного,  засчитываемого за вступительный).  Среди
них есть доступные школьникам 6-8 классов, так что  и эти учас-
тники кружка не оказываются обделенными.

10.01.  Два  поезда вышли одновременно навстречу друг другу  из
двух городов,  первый  --  из  A  в  B, второй -- из B в A. Они
встретились в полдень и прибыли первый в B в 16 часов, а второй
в A -- в 21 час. Найдите время отправления поездов.

10.02. Числа 1/5, 1/3 и  1/2  являются  членами  арифметической
прогрессии (1/5 -- первым, 1/2 -- последним). а) приведите при-
мер такой арифметической  прогрессии  и вычислите сумму ее чле-
нов; б)  найдите  наибольшее  возможное значение разности такой
арифметической прогрессии.

10.03. В  букинистическом магазине книжку стоимостью 350 рублей
уценивали дважды  на одно и  то же число процентов. Найдите это
число, если известно, что после двойного  снижения цен собрание
сочинений стоит 283 руб. 50 коп.

10.04. Две прямые, параллельные стороне правильного треугольни-
ка, делят другие стороны на три равные части. В каком отношении
они делят площадь треугольника?

10.05. a) Диагонали выпуклого четырехугольника  равны и перпен-
дикулярны, а площадь его равна 1. Найдите длины диагоналей.
б) Дополнительно известно, что  периметр этого четырехугольника
равен 4  и что в  нем какие-то две стороны параллельны. Найдите
длины сторон.

10.06. В окружность  радиуса 1 вписана трапеция, у которой ниж-
нее основание вдвое больше каждой из  остальных сторон. Найдите
площадь этой трапеции.

10.07. Радиус окружности, описанной  около  прямоугольного тре-
угольника, равен 5 см, а  радиус  окружности,  вписанной в этот
треугольник, равен 2 см. Найдите периметр этого треугольника.

10.08. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и острым уг-
лом a вписана окружность.
а) Выразите через a площадь и периметр этого треугольника и оп-
ределите, при каком значении a они наибольшие.
б) Выразите через a диаметр вписанной окружности. Преобразовав,
если необходимо, полученную формулу, покажите, что он равен
cos a + sin a - 1.

10.09.  Парабола  y=ax^2 делит квадрат 0<=x<=a, 0<=y<=a на  две
части.
а) Найдите отношение  площади  большей  части к площади меньшей
части при a=1, a=2 и при a=1/2.
б) При каком значении a это отношение равно 1 ?

10.10. Дан многочлен P(x) = x^2 - 2 a x + 1.
а) При каких a этот многочлен имеет хотя бы один корень?
б) Найдите сумму квадратов корней этого многочлена.
в) Найдите наименьшее значение суммы квадратов корней.

10.11. Решите уравнение  2^x + 2^{-x} = a  для a=17/4, a=10/3 и
a=2sqrt{5}.

10.12. Пусть f(x)=cos(2 arcsin x).  а) Упростите правую часть и
нарисуйте (или опишите) график функции f; б) Найдите наибольшее
и наименьшее значения функции f и точки, в которых они достига-
ются.

10.13. В треугольнике длины двух сторон равны 10 и 24, а радиус
описанной окружности равен 13. Найдите длину третьей стороны.

10.14. Укажите на окружности (x-8)^2+(y+6)^2=25 точку, наиболее
удаленную от начала координат.

10.15. а) При каких значениях параметра a уравнение x^2-2*x = a
имеет единственное решение?
б) Решите уравнение   2^{2t} - 2*2^t = 3.
в) Решите уравнение  2^{2t} - 2*2^t = a.  При каких значениях a
это уравнение имеет единственное решение?

10.16. Функция  f(x) = (x - a)(x^2 - 1) имеет экстремум в точке
x=1. Найдите другую точку  экстремума  и выясните, какая из них
является точкой максимума.

10.17. Арбуз  имеет форму шара  диаметром 30 см, корка у арбуза
ровная и не толще 1.5 см. Какую часть объема арбуза может зани-
мать мякоть?

                           О задачах

10.01. Это переформулировка задачи, широко упоминаемой  В.И.Ар-
       нольдом.
10.02. Эта задача - по мотивам "Алгебры" Гельфанда  и Шеня. Вы-
       пускной школьный экзамен 1999 г.
10.03. Традиционная задача "на проценты".
10.04. Можно ли сделать такой рисунок,  чтобы из него  все было
       видно?
10.05. Придумана для школьного выпускного экзамена 1999 г., до-
       пускает различные подходы и может быть развита.
10.06. Следите за логикой решения.
10.07. Попробуйте использовать только геометрию и не обращаться
       к алгебре.
10.08. Задача по мотивам учебника Башмакова,  близка к предыду-
       щей. Выпускной школьный экзамен 1996 г.
10.09. Придумана для выпускного школьного экзамена 1996 г.
10.10. Будьте внимательны, решая эту задачу!
10.13. Сколько решений имеет задача?
Comments