Archives‎ > ‎

Задание 9 "Гармонические функции"

   Возьмем треугольник (если хотите, то правильный). Будем рас-
сматривать его как  граф, то есть интересуясь только его верши-
нами и соединяющими их сторонами -- ребрами графа. Пусть каждой
вершине сопоставлено некоторое число. В таком  случае будем го-
ворить, что на треугольнике задана функция.  Для каждой вершины
есть соседние, соединенные  с  ней ребрами. Функцию будем назы-
вать гармонической, если  для  каждой вершины число, ей указан-
ное, является средним арифметическим чисел, указанных  соседним
вершинам.  Гармонические  функции описывают  установившиеся (не
меняющиеся со временем) распределения температуры.

   Какие имеются гармонические функции на треугольнике?

   Занумеруем вершины треугольника:  1, 2, 3,  и пусть значения
функции в них равны соответственно f_1, f_2 и f_3. Тогда

                        f_2=(f_1+f_3)/2
                        f_3=(f_2+f_1)/2
                        f_1=(f_3+f_2)/2
то есть

                     f_1 - 2 f_2 + f_3 = 0
                     f_2 - 2 f_3 + f_1 = 0
                     f_3 - 2 f_1 + f_2 = 0

9.1. Докажите, что f_1 = f_2 = f_3.

   Таким  образом,  гармонические функции  на  треугольнике  --
только константы (значения во всех точках-вершинах одинаковые).

   Докажем это  другим  образом,  используя "принцип крайнего".
Возьмем из трех чисел, значений гармонической  функции в верши-
нах треугольника,  наименьшее  (то,  которое не больше других).
Обозначим его a, а другие -- b и c. Тогда

                             a <= b
                             a <= c

и, следовательно (сложим эти неравенства и поделим что получит-
ся на 2),
                            a <= (b+c)/2

И знак неравенства строгий:
                            a < (b+c)/2

если хотя бы в одном из неравенств a <= b и a <= c строгий знак
неравенства. Но у нас a = (b+c)/2, так  как функция гармоничес-
кая. Поэтому имеют место равенства a=b и a=c, то есть a=b=c.

9.2. Докажите, что функция, гармоническая на  квадрате, -- кон-
станта. Проверьте это разными способами.

9.3. Докажите, что функция, гармоническая на  кубе, -- констан-
та. Под кубом имеется в виду граф, который образуют вершины ку-
ба и соединяющие их ребра.

   Мы рассматриваем  графы,  которые  устроены  правильно в том
смысле, что у каждой вершины положение с соседями такое же, как
и у любой другой вершины.

   Одним из  важных примеров является целочисленная решетка, то
есть граф, вершины  которого -- все целые числа, каждая вершина
n соединена в нем ребрами со своими двумя соседями n-1 и n+1.

   Гармонические функции  на целочисленной решетке -- это ариф-
метические прогрессии. Действительно, уравнение

                    f_n = (f_{n-1} + f_{n+1})/2

означает то, что
                    f_n - f_{n-1} = f_{n+1} - f_n

то есть, что число f_{n+1} -  f_n не зависит от n. А это требо-
вание фактически  и  есть в определении арифметической прогрес-
сии, причем для этого  числа  имеется и специальное название --
разность арифметической прогрессии.

   Если разность обозначить a, то мы получим

                       f_{n+1} = f_n + a
откуда

     f_n = f_{n-1} + a = f_{n-2} + a + a = ... = f_0 + a*n

(проверьте формулу для отрицательных целых n).

Если обозначить f_0=b, то

                         f_n = a*n + b

График арифметической прогрессии, состоящий  из  точек (n,f_n),
лежит на  прямой y=ax+b, являющейся графиком функции f(x)=ax+b.
И обратно,  всякая  такая прямая задает арифметическую прогрес-
сию.

   Если мы  возьмем  часть  целочисленной  решетки,  к примеру,
такую:
                        0, 1, 2, ..., N

то не  для каждой точки все  ее соседи будут  принадлежать этой
части. В рассматриваемом примере исключительными точками  явля-
ются точки 0 и N.
   В общем случае нужно говорить про  подграф. Вершина подграфа
называется внутренней, если  все  ее соседи в графе принадлежат
этому подграфу. В противном случае она называется граничной.
   Можно искать  функцию,  которая  гармоническая во внутренних
вершинах подграфа и задана явно в граничных. Несложно доказыва-
ется (эти рассуждения нам уже знакомы),  что если гармоническая
функция на подграфе принимает наибольшее значение во внутренней
вершине, то она это же значение принимает и в какой-то  из гра-
ничных вершин. Поэтому наибольшее  значение  гармонической фун-
кции на подграфе совпадает с ее наибольшим значением на границе
подграфа. То же можно сказать и про наименьшее значение. Отсюда
следует, что  если  гармоническая  функция  на границе подграфа
равна нулю, то и во всех вершинах подграфа она тоже равна нулю.
И еще отсюда следует то, что если мы ищем гармоническую функцию
на  подграфе  (то есть гармоническую во всех внутренних  верши-
нах), имеющую данные  значения  в граничных вершинах, то найдем
не более одной такой функции. Действительно, если найдем две, f
и g, то их разность f-g тоже будет гармонической функцией (про-
верьте!), причем равной 0 на границе и потому тождественно рав-
ной 0.

9.4. Найдите гармоническую функцию f на отрезке [0, ..., N] це-
лочисленной решетки с заданными значениями в граничных точках 0
и N: f(0)=A, f(N)=B.

   Перевод этой  задачи  на  язык  школьной математики: найдите
арифметическую прогрессию f_0, f_1, ..., f_N,  такую, что f_0=A
и f_N=B.
   Перевод на  язык  геометрии:  проведите  прямую  через точки
(0,A) и (N,B) координатной плоскости.
   Сформулируйте сами  перевод  на язык систем линейных уравне-
ний.

   Посмотрим теперь на другие решетки.

   С бесконечной клетчатой плоскостью  связана  двумерная цело-
численная решетка. Здесь клетки -- квадратики. Функция на клет-
чатой плоскости  задается  числами, вписанными в клетки. Введем
прямоугольную декартову систему координат так, чтобы начало бы-
ло в вершине одной  из  клеток, оси были направлены параллельно
соответствующим сторонам клеток и чтобы клетки-квадратики  были
единичными. Точке  (m,n)  получившейся  решетки припишем число,
вписанное  в  квадратик, для которого эта точка является  левой
нижней вершиной. Здесь m  и n - целые числа, поэтому и  эта ре-
шетка называется целочисленной. У точки (m,n) четыре соседа:
               (m+1,n), (m,n+1), (m-1,n), (m,n-1)

   Все гармонические функции на одномерной целочисленной решет-
ке описывались так:
                         f(n) = an + b

Что будет в двумерном случае?

9.5. Проверьте, что функции

                      f(m,n) = am + bn + c

являются гармоническими на двумерной целочисленной решетке.

Указание. Нужно проверить, что

     f(m,n) = (f(m+1,n) + f(m,n+1) + f(m-1,n) + f(m,n-1))/4


   Функции f(x,y)=ax+by+c  называются аффинными. Они  "сделаны"
из функций x, y и 1 с помощью умножения на числа и потом сложе-
ния.

  Однако аффинными функциями не исчерпываются все гармонические
функции на двумерной целочисленной решетке!

9.6. Проверьте, что функции x^2-y^2 и xy тоже гармонические.

9.7. Проверьте, что функции

                  x^3 - 3x*y^2  и  3x^2*y - y^3

тоже гармонические.

   Нужно просто проверить тождество

      f(x+1,y) + f(x,y+1) + f(x-1,y) + f(x,y-1) = 4*f(x,y)

   И можно  заметить,  что "смесями" всех перечисленных функций
(получаемыми с помощью умножения на числа  и сложения) гармони-
ческие функции на двумерной целочисленной решетке не исчерпыва-
ются!

   Рассмотрим теперь другой паркет  на  плоскости, образованный
равными правильными треугольниками. С ним связаны сразу две ре-
шетки!  Вершины  треугольников  образуют 6-решетку, для  каждой
точки которой есть  6  соседей. А центры треугольников образуют
3-решетку, для каждой точки которой 3 соседа - центры треуголь-
ников, с которыми соседствует данный через стороны. Эти две ре-
шетки происходят и  из сот -- паркета из правильных шестиуголь-
ников. Попробуем найти гармонические функции на таких решетках.

   Для каждой  из  решеток  нужно правильно выписать тождество,
которое придется проверять.

   Пусть (x_1,y_1), (x_2,y_2) и (x_3,y_3) -- вершины правильно-
го треугольника с центром в начале координат O(0,0).

9.8. Покажите, что нужно проверять 3-тождество

  f(x+x_1,y+y_1) + f(x+x_2,y+y_2) + f(x+x_3,y+y_3) = 3*f(x,y)

и, соответственно, 6-тождество

   f(x+x_1,y+y_1) + f(x+x_2,y+y_2) + f(x+x_3,y+y_3) +
 + f(x-x_1,y-y_1) + f(x-x_2,y-y_2) + f(x-x_3,y-y_3) = 6*f(x,y)

9.9. Покажите, что для координат вершин  (x_1,y_1), (x_2,y_2) и
(x_3,y_3) правильного треугольника с центром в начале координат
(0,0) справедливы следующие соотношения:

           x_1 + x_2 + x_3 = 0,  y_1 + y_2 + y_3 = 0

                x_1*y_1 + x_2*y_2 + x_3*y_3 = 0

9.10. Какие функции  из задач 9.6 и 9.7 являются гармоническими
на 3-решетке и на 6-решетке?

   Мы все старались найти примеры гармонических  функций на ре-
шетках. Но во  всех  примерах функции принимают как положитель-
ные, так и отрицательные значения. За одним единственным исклю-
чением, когда  гармоническая функция -- константа. Кажется, что
положительных гармонических  функций на целочисленных  решетках
кроме констант и вовсе нет!

9.11. Пусть  гармоническая  функция на решетке принимает только
положительные целые значения. Докажите, что она -- константа.

   Это старая задача математических кружков. Идея ее решения --
принцип "крайнего", нужно из значений этой  функции выбрать на-
именьшее, ведь любое непустое подмножество множества  натураль-
ных чисел имеет наименьший элемент! Далее додумайте сами.

   Но непустое  подмножество  множества  положительных чисел не
обязано иметь  наименьший элемент! Ведь среди положительных чи-
сел нет наименьшего. Поэтому решение  задачи  9.11  и просто, в
ней говорится про положительные, но _целые_ значения функции.

9.12. Положительная гармоническая функция на двумерной целочис-
ленной решетке -- константа.

                           О задачах

   Мы рассматриваем гармонические функции на дискретном множес-
тве -- на графе или на решетке. Гармонические  функции на плос-
кости -- отдельная захватывающая  тема.  Она у нас впереди. Из-
вестная по школьному курсу геометрии функция точки плоскости --
угол, под которым виден данный отрезок  -- является гармоничес-
кой функцией. О  ней изящно написал В.И.Арнольд в своих Лекциях
по уравнениям с частными производными (М.: НМУ, 1995). См. так-
же заметку В.И.Арнольда "Гармонические функции" в сборнике "Ма-
тематическое просвещение", вып. 3, 1958 г.,  раздел "В школьном
математическом кружке  при МГУ". Задача 9.12 трудная. Подсказки
к  ее  решению для случая n-мерной целочисленной решетки  можно
найти в книге Е.Б.Дынкина и  А.А.Юшкевича  "Теоремы  и задачи о
процессах Маркова" (М.: Наука, 1967).
Comments