Archives‎ > ‎

Задание 4 "Переливания и перемешивание"

--- Вокруг самовара -------------------------------------------

4.1. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай  и каж-
дый раз выпивали  половину имеющейся в нем воды. Оказалось, что
после этого остался всего стакан воды. Сколько воды  было в са-
моваре перед чаепитием?

4.2. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай  и каж-
дый раз выпивали половину имеющейся в нем воды  и еще полстака-
на, после  чего воды не  осталось. Сколько воды было в самоваре
перед чаепитием?

4.3. Имеются две одинаковые чашки, одна с чаем, а другая - пус-
тая. Из первой переливают половину имеющегося в ней чая во вто-
рую, затем  из второй переливают треть  имеющегося в ней  чая в
первую,  затем  из первой переливают четверть имеющегося в  ней
чая во вторую  и  т.д. Сколько чая окажется  в  каждой из чашек
после 100 переливаний?

--- Кофе с молоком --------------------------------------------

4.4. В  чашку налили 20 ложек кофе. Аня  выпивает из чашки одну
ложку кофе и  добавляет  одну ложку молока. Перемешивает. Затем
выпивает одну ложку  смеси и опять добавляет одну ложку молока.
Сколько раз Аня может проделать эту операцию, прежде чем в сме-
си кофе станет меньше, чем молока?

4.5.  Имеются  пол-чашки кофе и пол-чашки молока. Ложку  молока
перелили в кофе, небрежно перемешали и ложку полученной неодно-
родной смеси перелили обратно в молоко. Чего в результате может
оказаться больше: молока в кофе или кофе в молоке?

--- Перемешивание ---------------------------------------------

4.6. В двух достаточно больших бидонах содержится: в первом 2 л
кофе, а во втором -- 2 л молока. Из первого  переливают  1 л во
второй, перемешивают, а затем  переливают  1 л обратно в первый
бидон и опять перемешивают (будем считать, что одно переливание
состоит из двух  шагов). Докажите, что если эти действия повто-
рять, то  количество кофе как в первом, так  и во втором бидоне
будет стремиться к 1 литру.

   В этом  случае  концентрации  кофе  в бидонах выравниваются.
Когда такое наблюдается, будем говорить, что происходит переме-
шивание.

4.7. Пусть с каждым шагом переливают c литров из первого бидона
во второй и  обратно,  0 < c <  2.  Докажите, что перемешивание
также происходит.

   А если для  каждого  переливания можно брать свою поварешку?
Пусть для n-го  переливания  берется поварешка объемом c_n лит-
ров, 0 < c_n < 2. Что в решении задачи 4.7 изменится?

4.8. Докажите, что если для  каждого  переливания  можно  брать
свою поварешку, то  перемешивания может и не быть. Считаем, что
есть поварешки всех мыслимых размеров, больше 0 и меньше 2 лит-
ров, переливание состоит из двух шагов.

4.9. За 2n переливаний поварешкой объемом  c литров (0 < c < 1)
кофе с  молоком оказалось практически перемешано. Докажите, что
за n переливаний поварешкой объемом  2c  литров  кофе с молоком
окажется перемешано не хуже.

--- Вода ------------------------------------------------------

4.10. В два достаточно больших бидона как-то разлили  3 л воды.
Из первого переливают  половину имеющейся в нем воды во второй,
затем из второго переливают половину имеющейся  в  нем  воды  в
первый,  затем  из первого переливают половину имеющейся в  нем
воды во второй и т.д. Докажите, что независимо от того, сколько
воды было сначала в каждом из сосудов, после  100 переливаний в
них будет 2 л и 1 л с точностью до миллилитра.

--- Драгоценности ---------------------------------------------

4.11. Жители островов Чунга и Чанга раз в год на праздник обме-
ниваются драгоценностями. Жители Чунги привозят половину  своих
драгоценностей на остров  Чанга,  а жители Чанги одновременно -
треть своих драгоценностей на остров Чунга.  Так продолжается с
незапамятных времен.  Никаких новых драгоценностей за это время
на островах не появилось, а старые -- не  терялись. Какая часть
драгоценностей находится на каждом из островов?

4.12. То же, только жители Чунги привозят половину своих драго-
ценностей на остров Чанга, а жители Чанги после  этого -- треть
всех оказавшихся у  них драгоценностей на остров Чунга. На сле-
дующий год все повторяется. Тот же вопрос.

4.13. Пусть драгоценности  состоят  из золотых и серебряных мо-
нет, причем золотых в два раза меньше, чем  серебряных (все зо-
лотые одинаковые  и  все серебряные тоже одинаковые). Докажите,
что  тогда  и на каждом из  островов  золотых монет в два  раза
меньше, чем серебряных (как в случае задачи 4.11, так и  в слу-
чае 4.12).

4.14. (Обобщение) Пусть драгоценности состоят из  золотых и се-
ребряных монет. Докажите, что доля золотых монет среди всех мо-
нет на каждом  из островов оказывается одинаковая (как в случае
задачи 4.11, так и в случае 4.12).

--- Снова кофе с молоком --------------------------------------

4.15. В двух достаточно больших бидонах находится кофе, разбав-
ленное молоком, концентрации кофе  разные  (иначе неинтересно).
Разрешается отлить p-ую часть  смеси  из первого бидона во вто-
рой, а  затем q-ую часть из второго бидона в первый (0 < p < 1,
0 < q < 1). Эти действия можно повторять многократно. Докажите,
что происходит перемешивание, то есть концентрации кофе в бидо-
нах выравниваются.

                           О задачах

   Происхождение центральных в этом цикле задач 4.6 - 4.8 я от-
считываю от  лекций  Э.Э.Шноля "О решении уравнений", опублико-
ванных в  VIII  выпуске сборника "Математическая школа" (изд-во
МГУ, 1966). Под их впечатлением и возник цикл  задач "про пере-
мешивание".
   Задачи 4.2, 4.3, 4.10 и  4.11  происходят  из  замечательной
книги "Заочные математические олимпиады". Ее авторы Н.Б.Василь-
ев, В.Л.Гутенмахер, Ж.М.Раббот и А.Л.Тоом, а редактор - С.Л.Та-
бачников, второе издание - 1986 г., издательство "Наука". Нужно
смотреть параграф 6 "Последовательности и итерации". Задача 4.2
- это задача про гусей.
   Задачи 4.11 - 4.14 -- это тоже задачи  про перемешивание, их
можно было бы сформулировать для  сюжета  "кофе  с молоком", но
тогда длинно описывается один из типов переливаний. При решении
этих  задач  нужно не только получить ответ при  предположении,
что перемешивание происходит,  но  и доказать, что оно действи-
тельно имеет место.
   Задача 4.5  взята с Московской математической олимпиады 1998
года, окружной тур, потом она была повторена в октябре 1998 го-
да на XII Уральском Турнире юных математиков.
   Задача 4.6 - это задача Н.Н.Константинова.
   Задача 4.9 возникла благодаря замечанию А.Парамоновой,  сту-
дентки 5 курса КГПУ, в ответ на мое предположение. О других за-
дачах про перемешивание, где соавторами выступили мои студенты,
я расскажу при разборе задач этого цикла.
Comments