電磁場・量子場の数値解析アルゴリズムの研究


研究目的:

 電磁場や量子場の高精度解析アルゴリズムを開発し,その性能を検証する.
また,数値シミュレーションによって,ナノデバイスの特性や量子力学的問題を解明する.

キーワード:

  • Maxwell 方程式
  • Finite Difference Time Domain (FDTD) 法
  • Non-Standard (NS) FDTD 法
  • Graphics Processing Unit (GPU)
  • Schroedinger 方程式
  • Dirac 方程式
関連リンク:

Nonstandard FDTD Simulations:
FDTD法 ・ NS-FDTD法の基礎理論・例題・プログラムコードを公開


  • 電磁場の解析に関する研究
 電磁場の数値解析では,その支配方程式である Maxwell 方程式を差分形に書き換えることに始まる.以下の Maxwell 方程式において,B は磁束密度,E は電場,D は電束密度,H は磁場,σ は導電率,ρ は電流密度である.


本研究では,Finite Difference Time Domain (FDTD) 法と呼ばれる陽的な数値解法を用いて, Maxwell 方程式を解析する.しかし,FDTD 法は,単純な中心差分法を用いるため,差分誤差が大きい.この差分精度を向上させることは,精度の向上とともに計算量の軽減が期待できる.FDTD 法の高精度解析手法として,Non-Standard (NS) FDTD 法が提案されている.NS-FDTD 法による精度の改善は,下図のように明らかである.

 解析解
 S-FDTD
 
NS-FDTD

 

S-FDTD/NS-FDTD 法による解析精度の比較

 現在は,NS-FDTD 法を基に,特定の構造やナノデバイスについて高精度な解析手法を提案し,実際にその特性を解析している.いくつかの研究テーマを以下に示す.
    • Mie 散乱の高精度解析アルゴリズムの開発
    • フォトニック結晶・グレーティング導波路の反射・透過スペクトル解析
    • Whispering Gallery Mode (WGM) の高精度シミュレーション
  • 量子場の解析に関する研究
 最も研究が盛んな量子場の数値解析は,陰解法による定常問題の計算である.これに対して,時間依存性を考慮した量子場の非定常問題を解析することもまた重要である.本研究では,先に述べた FDTD 法を用いて,量子場の支配方程式を数値的に解析し,非定常問題に取り組む.非相対論的な支配方程式は Schroedinger 方程式である.


ここで,\hbar はプランク定数,m は粒子質量,Ψ は波動関数である.相対論的な支配方程式は Dirac 方程式である.


ここで,c は光速,p は運動量,α と β は係数行列である.また,それらの高精度解析アルゴリズムを開発する.

 Dirac 方程式を解き,時間依存問題である正負のエネルギーの干渉によって生じる Zitterbewegung の3次元シミュレーションの様子を下図に示す.


Zitterbewegung の3次元シミュレーション
(左上:3次元プロット,右上:xy平面,左下:yz平面,右下:xz平面)