Введение в пространства Тейхмюллера
Здесь опубликованы материалы курса, прошедшего в НМУ в осеннем семестре 2020 года.
Видеозаписи лекций доступны на youtube-канале НМУ.
По курсу будет повторный домашний экзамен, он будет проходить на неделе с 8 по 14 февраля 2021.
Если вы хотите писать экзамен, напишите об этом на почту ryabichev@179.ru (желательно не позднее 7 февряля).
Обратите внимание, что доступны задачи к первым десяти лекциям -- варианты экзамена будут составлены из этих задач.
Сдавшим не менее 2/3 задач не менее чем из 2/3 всех листков, зачёт по курсу будет ставиться без экзамена.
Для сдающих экзамен, количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков.
Решения задач можно присылать на почту ryabichev@179.ru не позднее 7 февряля 2021.
21 сентября, лекция 1 (конспект, видео). Мы поговорили про поверхности, диффеоморфизмы и изотопии. В конце была определена группа классов отображений. Задачи к лекции 1.
28 сентября, лекция 2 (конспект, видео). Мы поговорили о римановых метриках и комплексных структурах на поверхностях. Ещё мы определили пространство Тейхмюллера и начали обсуждать способы ввести на нём топологию и посчитать его размерность. Задачи к лекции 2.
5 октября, лекция 3 (конспект). Мы доказали теорему из предыдущей лекции, отождествляющую пространство Тейхмюллера с множеством точных представлений π₁(S) в PSL(2,ℝ), а также обсудили ряд фактов из гиперболической геометрии. Задачи к лекции 3.
12 октября, лекция 4 (конспект, видео). Мы завершим доказательство того, что пространство Тейхмюллера поверхности рода g гомеоморфно евклидову пространству размерности 6g-6. Задачи к лекции 4.
19 октября, лекция 5 (видео). Мы поговорили про комплексное растяжение и квазиконформные отображения. Задачи к лекции 5.
26 октября, лекция 6 (видео). Будут обсуждаться измеримые слоения и голоморфные квадратичные дифференциалы на поверхностях. Задачи к лекции 6.
2 ноября, лекция 7 (видео). Мы обсудили свойства голоморфных квадратичных дифференциалов на поверхности, способы их построить, а также их связь с измеримыми слоениями. Задачи к лекции 7.
9 ноября, лекция 8 (видео). Мы показали, как по голоморфному квадратичному дифференциалу можно построить отображение Тейхмюллера. После этого мы доказали теорему о существовании Тейхмюллера по модулю утверждения о непрерывности зависимости этого отображения от квадратичного дифференциала. Задачи к лекции 8.
16 ноября, лекция 9 (видео). Мы в некотором приближении поняли, как доказать непрерывность отображения QD(X) в Teich(S). Также мы разобрали упрощённый вариант теоремы единственности Тейхмюллера, для прямоугольников, -- задачу Грёча. Задачи к лекции 9.
23 ноября, лекция 10 (видео). Мы повторили всё, что знаем об отображениях Тейхмюллера, и сделали попытку додоказать теорему единственности Тейхмюллера -- но в конце что-то не сошлось. Начнём прямо с этого в следующий раз. Задачи к лекции 10.
30 ноября, лекция 11 (видео). Мы наконец завершили доказательство теоремы единственности Тейхмюллера. После этого мы ввели метрику на Teich(S) и доказали её полноту.
7 декабря, лекция 12 (видео). Мы поговорили про метрику Тейхмюллера и про действие Mod(S) на Teich(S).
14 декабря, лекция 13 (видео). Мы доказали, что действие Mod(S) на Teich(S) вполне рзрывно.
21 декабря, лекция 14 (видео). Мы начали доказывать классификацию Нильсена-Тёрстона элементов Mod(S).
28 декабря лекция 15, (видео). Мы доказали простую часть классификации Нильсена-Тёрстона и обсудили, как эта классификация связана с классификацией торов отображений S→S.
Курс рассчитан на студентов 3–5 курса.
Примерная программа:
• гиперболическая геометрия, римановы поверхности и комплексные структуры;
• пространство Тейхмюллера; координаты Фенхеля-Нильсена;
• квазиконформные отображения и голоморфные квадратичные дифференциалы;
• теоремы существования и единственности Тейхмюллера;
• метрика Тейхмюллера; пространства модулей (и их замыкания*);
• псевдоаносовские отображения;
• классификация Нильсена-Тёрстона.
Курс следует второй и третьей частям книги Farb, Margalit. A primer on mapping class groups.
Дополнительная литература:
Абикоф. Вещественно-аналитическая теория пространств Тейхмюллера;
Прасолов, Шварцман. Азбука римановых поверхностей;
Wolpert. Families of Riemann surfaces and Weil-Petersson geometry.