Здесь публикуются материалы курса, прочитанного в НМУ в весеннем семестре 2021 года.
Осенью состоится повторный экзамен.
Желающим его сдать необходимо до 12 сентября написать на почту ryabichev@179.ru.
Ещё можно присылать записанные решения задач, а также любые вопросы.
Видеозаписи лекций доступны на youtube-канале НМУ.
К каждой лекции будут выкладываться листки с задачами.
Сдавшим не менее 2/3 задач не менее чем из 2/3 всех листков зачёт по курсу будет ставиться без экзамена.
Для сдающих экзамен количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков.
Решения задач можно присылать на почту ryabichev@179.ru, если есть какие-нибудь вопросы, пишите тоже.
15 февраля, лекция 1 (видео). Мы обсудили несколько примеров, а именно -- h-принцип Смейла-Хирша для погружений, теорему Элиашберга для отображений со складками, теорему Нэша-Кёйпера об изометрических вложениях и принцип Оки для голоморфных сечений. Задачи к лекции 1.
20 февраля, лекция 2 (видео). Мы дали определение пространства струй и долго его обсуждали. В конце мы ввели понятие дифференциальных соотношений и дали описание h-принципа в терминах сечений в пространстве струй. Задачи к лекции 2.
1 марта, лекция 3 (видео). Мы доказали лемму Сарда и слабую теорему Тома о трансверсальности. Задачи к лекции 3.
9 марта, лекция 4 (видео). Мы доказали сильную теорему Тома о трансверсальности и обсудили перспективы её применения в теории особенностей. В конце была сформулирована теорема о голономной аппроксимации. Задачи к лекции 4.
16 марта, лекция 5 (видео). Мы обсудили разные версии теоремы о голономной аппроксимации. Из неё мы вывели несколько простых следствий, в числе которых теорему Смейла и h-принцип Смейла-Хирша. Задачи к лекции 5.
23 марта, лекция 6 (видео, доска). Мы обсудили доказательство теоремы о голономной аппроксимации. Задачи к лекции 6.
30 марта, лекция 7 (видео, доска). Мы сформулировали и доказали локальный h-принцип для открытых Diff-инвариантных дифференциальных соотношений в окрестности подкомплекса положительной коразмерности. Задачи к лекции 7.
13 апреля, лекция 8 (видео). Мы разобрали доказательство теоремы Нэша-Кёйпера, данное Нэшем. Задачи к лекции 8.
20 апреля, лекция 9 (видео). Мы доказали относительный h-принцип для коротких решений произвольных дифференциальных соотношений в 1-струях отображений из прямой в евклидово пространство при помощи выпуклого интегрирования. Задачи к лекции 9.
11 мая, лекция 10 (видео). Мы доказали h-принципа для дифференциальных соотношений, обильных в координатных направлениях. Задачи к лекции 10.
18 мая, лекция 11 (видео). Мы доказали теорему Элиашберга об отображениях со складками. Задачи к лекции 11.
25 мая, лекция 12. Мы сформулировали и начали доказывать h-принцип для отображений с заданными бордмановскими особенностями. Задачи к лекции 12.
1 июня, лекция 13 (видео). Мы закончили доказательство теоремы с прошлой лекции. В конце мы переформулировали условие этой теоремы для поверхностей в терминах гомологических классов особенностей -- множеств складок и сборок. Это была последняя лекция курса. Задачи к лекции 13.
Курс рассчитан на студентов 3–5 курса.
Примерная программа:
• пространство струй, струйные расширения, голономные сечения;
• теорема Тома о трансверсальности;
• теорема о голономной аппроксимации, выворачивание сферы;
• дифференциальные соотношения, Diff-инвариантность;
• погружения в положительной коразмерности (h-принцип Смейла-Хирша);
• выпуклое интегрирование, теорема Нэша-Кёйпера;
• симплектическая геометрия, h-принцип для изосимплектических вложений.
Литература:
Громов. Дифференциальные соотношения с частными производными;
Мишачев, Элиашберг. Введение в h-принцип.
Дополнительная литература:
Арнольд, Варченко, Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений;
Spring. Convex Integration Theory;
Горески, Макферсон. Стратифицированная теория Морса.