h-принцип и глобальная теория особенностей
h-принцип и глобальная теория особенностей
Андрей Рябичев
Андрей Рябичев
Здесь публикуются материалы курса, прочитанного в НМУ в осеннем семестре 2021 года. Курс проходил по вторникам второй парой, с 19:30 до 21:00, в аудитории 310.
По курсу будет повторный домашний экзамен, он будет проходить на неделе с 7 по 13 февраля 2022.
Если вы хотите писать экзамен, сообщите об этом на почту ryabichev@179.ru не позднее 6 февраля.
Обратите внимание, что ко всем лекциям выложены задачи -- варианты экзамена будут составлены из этих задач.
К каждой лекции выкладываются листки с задачами.
Сдавшим не менее 2/3 задач из любых семи листков зачёт по курсу будет ставиться без экзамена. Для сдающих экзамен количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков. Вот плюсник.
Решения задач можно присылать на почту ryabichev@179.ru до 12 декабря. Если есть какие-нибудь вопросы, пишите тоже.
21 декабря 2021, лекция 14 (видео). Мы доказали существование многочлена Тома, выражающего классы когомологий бордмановских особенностей через классы Штифеля-Уитни. Задачи к лекции 14.
14 декабря 2021, лекция 13 (видео). Мы обсудили параметрическую (неверную) и относительную (верную) версии h-принципа Элиашберга. После этого мы поговорили про теорему о существования отображения поверхностей с заданными складками и сборками, и даже доказали её в случае ориентируемых поверхностей и отсутствия сборок. Задачи к лекции 13.
7 декабря 2021, лекция 12 (видео). Мы доказали теорему Элиашберга об отображениях со складками. Задачи к лекции 12.
30 ноября 2021, лекция 11 (видео). Мы вывели из теоремы о голономной аппроксимации теорему Смейла-Хирша. В конце была сформулирована теорема Элиашберга. Задачи к лекции 11.
23 ноября 2021, лекция 10 (видео). Мы поговорили про понятие h-принципа для произвольных дифференциальных соотношений в пространстве струй. Затем мы обсудили несколько примеров, а также формулировку теоремы о голономной аппроксимации. Задачи к лекции 10.
16 ноября 2021, лекция 9 (видео). Мы описали многообразия Бордмана в пространстве струй и наметили план доказательства теоремы Бордмана. Задачи к лекции 9.
9 ноября 2021, лекция 8 (видео). Мы ввели бордмановскую классификацию особенностей, поговорили про её свойства и разобрали несколько примеров. Задачи к лекции 8.
26 октября 2021, лекция 7 (видео). Мы доказали некоторые теоремы об устойчивости функций Морса и погружений. Задачи к лекции 7.
19 октября 2021, лекция 6 (видео). Мы повторили определение устойчивости и попробовали воспроизвести наивное доказательство устойчивости ростков складок. В конце мы доказали, что множество 1-струй, имеющих фиксированный ранг, всегда является гладким многообразием. Задачи к лекции 6.
12 октября 2021, лекция 5 (видео). В начале лекции мы повторили лемму о голономной тривиализации, являющуюся основным секретным шагом в доказательстве сильной теоремы Тома. Затем мы обсуждали разные версии условия регулярности для примыкания стратов в стратифицированных множествах. В середине была обширная историческая справка про особенности и стабильные отображения, а в конце мы попытались разобрать самые простые их примеры. Задачи к лекции 5.
5 октября 2021 лекция 4 (видео). Мы немного поговорили про стратификации, после чего обсудили формулировку сильной теоремы Тома о трансверсальности и наконец доказали её. Задачи к лекции 4.
28 сентября 2021, лекция 3 (видео). Мы сформулировали и доказали слабую теорему Тома о трансверсальности. После этого мы обсуждали понятие стратифицированного подмножества. Задачи к лекции 3.
21 сентября 2021, лекция 2 (видео). Мы доразобрались с пространством струй. Во второй половине лекции мы говорили о трансверсальных отображениях и сформулировали слабую версию теоремы Тома о трансверсальности. Задачи к лекции 2.
14 сентября 2021, лекция 1 (видео). Мы обсудили пару примеров задач маломерной топологии, на обобщения которых будет ориентирован курс. Затем мы определили пространство струй и поговорили про структуру гладкого многообразия на нём. Задачи к лекции 1.
Цель этого курса — познакомить слушателей с несколькими доступными результатами о гладких отображениях, на критические точки которых накладываются определённые условия, а также продемонстрировать применяемые при этом геометрические и топологические приёмы.
Курс рассчитан на студентов 3–5 курса.
Примерная программа:
• пространство струй, струйные расширения гладких отображений;
• слабая и сильная теоремы Тома о трансверсальности;
• бордмановская классификация особенностей;
• пространство морсовских отображений;
• h-принцип Элиашберга для отображений со складками;
• вложения со сморщиваниями и параметрический h-принцип Элиашберга;
• многочлен Тома для бордмановских особенностей;
• h-принцип для отображений с заданными бордмановскими ростками особенностей;
• видимые контуры, инварианты множества критических значений.
Арнольд, Варченко, Гуссейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений;
Голубицкий, Гийемин. Устойчивые отображения и их особенности;
Громов. Дифференциальные соотношения с частными производными;
Мишачев, Элиашберг. Введение в h-принцип;
Хирш. Дифференциальная топология.
Дополнительная литература:
Горески, Макферсон. Стратифицированная теория Морса.