Мягкие задачи в дифференциальной геометрии
Андрей Рябичев
Здесь публикуются материалы курса, прочитанного в НМУ в весеннем семестре 2022 года.
По курсу состоится ПОВТОРНЫЙ ДОМАШНИЙ ЭКЗАМЕН. Желающим написать повторный экзамен просьба сообщить об этом своём желании на почту ryabichev@179.ru не позднее 11 сентября 2022.
К каждой лекции выкладываются листки с задачами. А вот кондуит.
Сдавшим не менее 2/3 задач не менее чем из 2/3 всех листков зачёт по курсу будет ставиться без экзамена. Для сдающих экзамен количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков.
Решения задач можно присылать на почту ryabichev@179.ru. Если есть какие-нибудь вопросы, тоже не стесняйтесь писать.
23 мая состоится лекция 14 ПЕРЕНОСИТСЯ НА ИЮНЬ. Мы поговорим про характеристические классы с локальными коэффициентами и попробуем успеть доказать теорему об отображениях поверхностей с заданными складками и сборками.
В общем, мы так и не обсудили харклассы с локальными коэффициентами -- расскажу о них в осеннем семестре!
16 мая, лекция 13 (видео). Мы ещё немного поговорили про отображения с морщинами, но теорему про гомотопический тип пространства мягких погружений со складками так и не доказали.
2 мая, лекция 12 (видео). Мы плотно обсудили отображения с морщинами. Затем мы проговорили план доказательства второй части теоремы с предыдущей лекции -- про пространство мягких погружений со складками. Задачи к лекции 12.
25 апреля, лекция 11 (видео). Мы сформулировали теорему, описывающую гомотопический тип пространства погружений со складками. Далее мы доказали половину этой теоремы, относящуюся к пространству тугих погружений. Задачи к лекции 11.
18 апреля, лекция 10. (видео) Мы более-менее закончили доказывать h-принцип Элиашберга для отображений со складками в случае m=n. Задачи к лекции 10.
11 апреля, лекция 9 (видео). Мы начали доказывать h-принцип Элиашберга для отображений со складками, попутно обсуждая другие феномены мягкости (например, почему h-принцип для субмерсий не всегда имеет место). Задачи к лекции 9.
4 апреля, лекция 8 (видео). Мы поговорили про струйное определение особенностей типа складки. В конце был сформулирован h-принцип Элиашберга для многообразий произвольной размерности. Задачи к лекции 8.
30 марта лекции не состоялось, вместо неё прошёл семинар, где мы обсуждали гладкие отображения, струи, погружения, категории Бэра и разные другие вопросы.
23 марта, лекция 7 (видео). Ваня Дорофеев сделал доклад про теорему Нэша-Кёйпера об изометриях римановых многообразий (по статье Нэша). Задачи к лекции 7.
16 марта, лекция 6 (видео). Мы поговорили про наборы аффинных подпространств в общем положении и про понятие устойчивости. В конце были сформулированы разные подходы к погружениям общего положения и даны намёки, как можно доказать их устойчивость. Задачи к лекции 6.
9 марта, лекция 5 (видео). Мы поговорили про трансверсальные отображения и про некоторые их свойства. В конце было сформулировано понятие устойчивости. Задачи к лекции 5.
2 марта, лекция 4 (видео). Мы вспомнили определение и основные свойства пространства струй. Затем мы поговорили про теорему о голономной аппроксимации и h-принцип для открытых Diff-инвариантных соотношений. Задачи к лекции 4.
23 февраля, лекция 3 (видео). Мы проговорили ещё раз детали доказательства h-принципа Смейла-Хирша для погружений. Задачи к лекции 3.
16 февраля, лекция 2 (видео). Мы обсудили идею доказательства h-принципа Смейла-Хирша для погружений в положительной коразмерности. Задачи к лекции 2.
9 февраля, лекция 1 (видео). Мы поговорили про погружения многообразий и про послойные отображения касательных расслоений. А именно, мы обсудили несколько примеров применения h-принципа Смейла-Хирша для погружений и h-принципа Элиашберга для отображений со складками. Задачи к лекции 1.
Больше шестидесяти лет назад С. Смейл показал, что любые два погружения S²→R³ регулярно гомотопны. Обобщая эту технику, им с М. Хиршем удалось доказать, что для любых двух многообразий M и N, таких что dim M < dim N, пространство погружений M→N слабо гомотопически эквивалентно пространству послойных мономорфизмов TM→TN.
Впоследствии М. Громов сильно развил и широко популяризировал аналогичный подход, применив его к большому количеству геометрических задач. Громов назвал его h-принципом (“h for homotopy”), поскольку его суть в редукции геометрических условий к гомотопическим. Мы разберём несколько примеров его применения к отображениям с заданными особенностями.
Курс рассчитан на студентов 3–5 курса.
Вот примерная программа. Про пункты, выделенные курсивом, предполагается, что слушатели знакомы с ними в некотором приближении; но эти пункты могут быть подробно разобраны, в зависимости от запросов аудитории.
• теорема Смейла-Хирша;
• классификация погружений с точностью до регулярной гомотопии;
◦ пространство струй, струйные расширения гладких отображений;
◦ лемма Сарда;
• трансверсальность векторных подпространств, трансверсальность подмногообразий;
• слабая и сильная теоремы Тома о трансверсальности;
• устойчивость погружений с нормальными пересечениями;
• h-принцип Элиашберга для отображений с заданными складками (для отображений многообразий одинаковой размерности и из большей размерности в меньшую);
◦ локальные системы и характеристические классы;
• отображения 2- и 3-мерных многообразий с заданными бордмановскими особенностями;
• погружения с морщинами;
• параметрический h-принцип Элиашберга для отображений с заданными складками.
Дополнительные пункты (будут разобраны при наличии времени/сил/желания слушателей):
* h-принцип для отображений с заданными бордмановскими особенностями;
* многочлены Тома для классов бордмановских особенностей;
** видимые контуры, инварианты множества критических значений.
Книги:
Голубицкий, Гийемин. Устойчивые отображения и их особенности;
Громов. Дифференциальные соотношения с частными производными;
Мишачев, Элиашберг. Введение в h-принцип;
Хирш. Дифференциальная топология.
Статьи:
Элиашберг. Об особенностях типа складки (1970);
Элиашберг. Хирургия особенностей гладких отображений (1972);
Eliashberg, Mishachev. Wrinkling of smooth mappings and its applications–i (1997);
Eliashberg, Mishachev. Topology of spaces of S-immersions (2011).