Nesta unidade temática, você vai aprender

• A identificar variáveis relevantes e procedimentos necessários para a modelagem de problemas envolvendo equações diferenciais;

• A identificar, representar e utilizar o conhecimento algébrico para a resolução de problemas, bem como levantar conjecturas e elaborar estratégias para resolver problemas;

• A estabelecer sequência lógica no processo de desenvolvimento do raciocínio e habilidade de argumentação;

• A perceber a importância de buscar novas fontes de conhecimento fortalecendo sua formação profissional;

• A estabelecer correspondências entre equações diferenciais e outras áreas da matemática e áreas afins.

Equação do Calor - caso unidimensional

Questão motivadora:

Essa situação-problema foi modelada no capítulo anterior e o modelo para a temperatura ao longo de uma haste delgada de comprimento L é a equação diferencial parcial linear de segunda ordem: a² u_xx = u_t, onde a² é a constante de difusividade térmica associada ao material condutor da haste.

O Problema de Valor de Contorno surge ao levarmos em consideração a temperatura inicial (f(x)) ao longo da haste na análise do fenômeno e como é o comportamento do fluxo de energia nos extremos da haste, visto que as laterais são isoladas, e os únicos pontos de fluxo são os extremos.

Caso dos extremos mantidos à temperatura zero

A discussão do caso no qual os extremos da haste são mantidos à temperatura zero instigou o desenvolvimento da série de Fourier. De fato, a única família de soluções passível de resolver esse problema, pois é a única cujas funções soluções do PVC não são triviais, é:

Mas dificilmente um único valor para n satisfará nossa situação, pois a condição inicial u (x, 0) = f(x) nos leva a:

e a função f não será, em geral, senoidal. Porém, a combinação linear de funções da forma

para diferentes valores de n também gerará solução da equação. Ou seja, representar como uma soma de senos resolverá a solução desse problema do Calor. Desse modo, a expansão em meio período ímpar da função resolve o problema do calor unidimensional com os extremos mantidos à temperatura zero e a solução será dada por:

Onde b_n, n = 1, 2, 3,... é o coeficiente de Fourier da expansão em série de senos da f.

Assista ao vídeo que apresenta as ideias e simulação no Maple do problema do Calor – caso unidimensional.

Veja os exemplos!

Agora, assista ao vídeo com exemplos resolvidos!

Caso dos extremos isolados

Vamos modificar as condições de contorno do caso anterior. Agora, com uma haste com as mesmas características do Problema do Calor – caso unidimensional, os extremos ficarão isolados ao invés de mantidos à temperatura zero. Neste caso, o problema é:

O problema

Considere uma haste delgada de comprimento L, difusividade térmica a², calor específico e densidade constantes e independentes da temperatura u. Admita que nenhuma energia é gerada no interior da haste e que a mesma possui distribuição inicial de temperaturas dada pela função f = f(x). Admita, ainda, que os extremos e as laterais estão isolados.

Nessa situação, o problema de contorno é:

A resolução desse problema leva a uma expansão em série de cossenos da f.

Equação da Onda - caso unidimensional

Questão motivadora:

Como ocorre a vibração de um ponto qualquer de uma corda fixa nos extremos na qual foi causada uma perturbação, como uma corda de violão, ao longo do tempo?

Hipóteses Físicas

Modelagem

Considere uma corda de comprimento L mantida tensa e fixada em dois pontos no eixo x: x = 0 e x = L. Considere, ainda, que cada ponto da corda se move em direção perpendicular ao eixo x quando a corda vibra e que u = u(x, t) denota a posição de cada ponto x da corda no tempo t conforme ilustra a Figura 1.

A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual ao produto da massa pela derivada segunda da posição com relação ao tempo. Ou seja, F_R = m u_tt.

As únicas forças que atuam nesse sistema são as diferentes tensões nos diferentes pontos da corda. Para uma distância Δx pequena entre dois pontos da corda (x e x + Δx) as tensões são tangentes às extremidades da curva (Δs) determinada por eles na corda como ilustra a Figura 2.

A força resultante no segmento de corda Δs é a decomposição e respectivo somatório no eixo dos y:

F_R = T_2y – T_1y = T₂ sin θ₂ – T₁ sin θ₁

Onde θ₁ e θ₂ são os ângulos que os vetores T₁ e T₂ fazem com o eixo x.

A densidade linear de massa é constante; portanto, a massa do segmento de corda Δs é m = ρ Δx. A lei de Newton aplicada ao segmento fica, então:

T₂ sin θ₂ – T₁ sin θ₁ = ρ Δx u_tt

Para uma pequena deflexão, os ângulos formados pela corda com o eixo dos x são pequenos. Além disso, das hipóteses tem-se tensão de módulo constante. Disso decorrem as seguintes simplificações:

A partir do conceito geométrico de derivada, pode-se escrever após fazer Δx tender a zero:

ou ainda

Dessa maneira, a equação diferencial que descreve o deslocamento de qualquer ponto da corda em função do ponto x e do tempo t é dada por:

Construção do Problema de Contorno

Considere uma corda com as características definidas na construção da EDP da onda. Logo, temos que o deslocamento da corda será descrito pela EDP: a² u_xx = u_tt. A corda está fixa nos pontos x= 0 e x = L de modo a mesma ficar esticada. Dessa maneira, temos que: u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0.

Ao causar uma perturbação, ou seja, ao puxar a corda, tem-se que a distribuição de alturas pode ser expressa por u(x, 0) = f(x). Finalmente, deve-se considerar o caso geral em que a corda possui uma distribuição inicial de velocidades dada por u_t (x, 0) = g(x). O problema de contorno para a equação da onda fica:

Resolução do Problema de Cotorno da Onda

Montagem do Sistema de EDO’s

Separação de variáveis - supor solução produto: u(x, t) = F(x)G(t).

Cálculo das derivadas:

u_x = F’(x)G(t); u_xx = F’’(x)G(t); u_t = F(x)G’(t); u_tt = F(x)G’’(t)

Substituindo na equação da onda, vem:

Fazendo a separação das variáveis, temos:

e

Construção do PVI

A partir das condições de contorno e a equação separável geral,

u(x, t) = F(x) G(t)

u(0, t) = 0; u(L, t) = 0

faz-se as substituições e obtém-se:

u(x, t) = F(x)G(t)

F(0) G(t) = 0; F(L) G(t) = 0

que implica F(0) = 0 e F(L) = 0.

Dessa forma, construímos um PVI, utilizando a primeira equação do sistema de EDOs e as condições do item anterior:

Resolução do PVI

Dado o PVI:

Admita a equação F’’(x) – λF(x) = 0 cujo polinômio característico é: r² - λ = 0 ou r² = λ. Dessa forma, a solução dependerá de λ e cada caso possível para λ será estudado.

• Caso 1: λ = 0

Logo: r² = 0, ou seja, r = 0. Nesse caso, temos a solução:

F(x) = C₁ + C₂ x

Aplicam as condições F(0) = 0 e F(L) = 0 em F(x) = C₁ + C₂ x e temos:

• Caso 2: λ > 0, λ = c², c não nulo.

Logo: r² = c²; r = c ou r = - c. A solução será dada por:

F(x) = C₁e^cx + C₂ e^{- cx}

Com as condições F(0) = 0 e F(L) = 0 em C₁ e^cx + C₂ e^{- cx} temos:

• Caso 3: λ < 0, λ = - c², c não nulo.

Logo r² = - c²; r = c i ou r = - c i. A solução será dada por:

F(x) = C₁ cos (cx) + C₂ sin (cx)

Conforme a última solução, F(x) = C₁ cos (cx) + C₂ sin (cx) e as condições de contorno F(0) = 0 e F(L) = 0, temos:

E a solução:

Resolução da outra EDO

Voltando no sistema de EDOs construído anteriormente e admitindo a segunda equação do sistema, G’’(t) - λa²G(t) = 0, o polinômio característico é dado por r² - λa² = 0, ou r² = λa². Mas

Logo:

Assim, temos a solução:

Construção da Solução Geral

Conseguimos encontrar:

Assim, a solução geral de nosso problema é

Pelo Princípio da Superposição, podemos construir a solução:

Aplicação das Condições Iniciais

Dadas as condições iniciais: u(x, 0) = f(x) e ut (x, 0) = g(x), aplicamos cada condição na solução geral.

Primeira Condição: u (x, 0) = f(x)

Segunda Condição:

Primeiro calcula a derivada com relação à variável t de:

resulta em:

Então:

Solução Particular

Reunindo a solução geral e as integrais que fornecem os coeficientes, temos a solução final do problema de contorno da onda:

onde

Assista ao vídeo que apresenta as ideias e simulação no Maple do problema da Onda – caso unidimensional.

Veja os exemplos!

Agora, assista ao vídeo com exemplos resolvidos e interpretação dos termos!