EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 2ª ORDEM OU SUPERIOR
Prof. Ana Regina Gregory Brunet
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Nesta unidade temática, você vai aprender
Nesta unidade temática, você vai aprender
A identificar variáveis relevantes e procedimentos necessários para a modelagem de problemas envolvendo equações diferenciais;
A identificar, representar e utilizar o conhecimento algébrico para a resolução de problemas, bem como levantar conjecturas e elaborar estratégias para resolver problemas;
A estabelecer sequência lógica no processo de desenvolvimento do raciocínio e habilidade de argumentação;
A estabelecer correspondências entre equações diferenciais e outras áreas da matemática e áreas afins.
Introdução
Introdução
Equações Diferenciais Ordinárias são equações nas quais comparece a derivada de ordem n de uma ou mais funções desconhecidas dependentes de uma única variável independente. O estudo das equações diferenciais de 2ª ordem ou superior será sobre equações lineares (EDL). Ou seja, sobre equações diferenciais que podem ser postas na forma:
onde ai = ai(x), i = 0, 1, 2, 3,..., n são os coeficientes das derivadas sucessivas da função y (consideramos a função y como derivada de ordem zero) e g = g(x) é uma função independente. Quando a função g é identicamente nula, dizemos que a EDL é homogênea e anotamos EDH. Mas, quando a função g não é identicamente nula, dizemos que a equação linear é não homogênea e anotamos EDNH.
Neste capítulo, daremos ênfase nas EDL com coeficientes constantes. Em particular, estudaremos as equações diferenciais lineares homogêneas e problemas de valor inicial associados a essas equações. As equações não homogêneas serão estudadas no Capítulo 4 com a transformada de Laplace. As equações diferenciais lineares de segunda ordem são comuns em problemas de engenharia, ciências naturais e exatas. A modelagem do sistema massa-mola será apresentada, e o movimento livre será o foco aqui.
EDO 2ª ordem ou superior
EDO 2ª ordem ou superior
A fim de desenvolver métodos de resolução para EDL de 2ª ordem ou superior, algumas definições são necessárias.
Dependência Linear entre Funções
Dependência Linear entre Funções
Sejam f1, f2, f3,..., fk um conjunto de funções definidas em um intervalo I. Dizemos que essas funções são linearmente dependentes (LD), se existem C1, C2, C3, ..., Ck tais que:
C1 f1(x) + C2 f2(x) + C3 f3(x) +...+ Ck fk(x) = 0
Quando não for possível determinar tais constantes, dizemos que o conjunto de funções é linearmente independente (LI).
Dessa maneira, se f1(x) e f2(x) são LD, então existe uma constante C tal que: f2(x) = C f1(x).
Wronskiano
Wronskiano
O Wronskiano de um conjunto de funções f1, f2, f3,..., fk é definido como
Onde as linhas denotam derivada. Ou seja, é o determinante de uma matriz onde os elementos são funções.
Critério para Dependência/Independência Linear
Critério para Dependência/Independência Linear
Um critério de classificação para a dependência linear de funções é baseado no Wronskiano:
Funções linearmente independentes: W não identicamente nulo em I;
Funções linearmente dependentes: W identicamente nulo em I.
Princípio da Superposição
Princípio da Superposição
Sejam y1, y2, y3,..., yk soluções para a EDH:
an(x) y(k) + ak-1(x) y(k-1) + ... + a1(x) y’ + a0(x)y = 0
no intervalo I. Então a combinação linear
y = C1 y1(x) + C2 y2(x) + C3 y3(x) +... + Ck yk(x)
também é uma solução no mesmo intervalo referido.
Conjunto Fundamental de Soluções
Conjunto Fundamental de Soluções
Quando n soluções (y1, y2, y3,..., yn) de uma EDH de ordem n são linearmente independentes no intervalo I, dizemos que essas funções formam um conjunto fundamental de soluções da equação em I e a expressão:
y = C1 y1(x) + C2 y2(x) + C3 y 3(x) +... + Cn yn(x)
é chamada solução geral da EDH em I.
Observe que, para obter a solução geral de uma EDH de ordem n em um intervalo I, são necessárias n funções soluções LI dessa equação no intervalo I.
EDO 2ª ordem
EDO 2ª ordem
A forma geral de uma equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem (EDL 2ª ordem) é:
a2(x) y’’ + a1(x) y’ + a0(x)y = g(x)
onde a2, a1, a0 e g são funções que dependem no máximo da variável independente x.
A questão motivadora para esse estudo é o sistema massa-mola, que consiste na busca por uma solução da posição de uma massa presa a uma mola e posta a oscilar, verticalmente ou horizontalmente, na presença de atrito ou não.
Sistema massa-mola
Sistema massa-mola
O problema
O problema
A Figura mostra três situações distintas: primeiro, somente uma mola, caracterizada por sua constante elástica k; segundo, a mola e uma massa m em repouso em uma posição chamada de posição de equilíbrio (perceba que, devido ao peso da massa, houve uma elongação s da mola); e terceiro, tiramos a mola e massa da sua posição de equilíbrio por mais uma elongação x. Nosso interesse é estudar o movimento da massa presa à mola.
Figura 1: Sistema massa-mola.
Onde m é a massa, c constante de amortecimento, k constante da mola, F força externa, x = x(t) é a posição da massa em um instante t.
EDH 2ª ordem
EDH 2ª ordem
A forma geral de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de 2ª ordem (EDH 2ª ordem) é:
a2(x) y’’ + a1(x) y’ + a0(x)y = 0
onde a2, a1 e a0 são funções que dependem no máximo da variável independente x. Nesse caso, a função independente g é identicamente nula.
EDH 2ª ordem com Coeficientes Constantes
EDH 2ª ordem com Coeficientes Constantes
Neste caso, os coeficientes a2, a1 e a0 são constantes reais. Então, podemos reescrever a equação como:
a y’’ + b y’ + c y = 0
onde a, b e c são constantes reais, e a é diferente de zero.
As equações diferenciais lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes possuem solução da forma exponencial. Então, é natural procurarmos soluções da forma y = er x, onde x e y são as variáveis independente e dependente da equação respectivamente, para resolver essa equação.
Dessa maneira, após cálculo das derivadas e substituição na ED, obtemos a equação polinomial:
a r² + b r + c = 0
denominada equação característica ou equação auxiliar.
A equação auxiliar é um polinômio do segundo grau, portanto, suas raízes podem ser reais e distintas (r1 e r2 números reais diferentes), reais e iguais (r1 = r2) ou um par de números complexos conjugados (r1 = α - β i e r2 = α + βi). Dessa maneira, o tipo de solução está relacionado com a natureza das raízes da equação característica e, por consequência, ao discriminante (Δ = b² - 4ac) dessa equação.
Duas raízes reais e distintas: Δ > 0; r1 diferente r2
y = C1 er1 x + C2 er2 x, C1 e C2 reais.
Duas raízes reais e iguais: Δ = 0; r1 = r2
y = C1 er1 x + C2 x er1 x, C1 e C2 reais.
Duas raízes complexas conjugadas: Δ < 0; r1 = α + β i, r2 = α - β i
y(x) = C1 e α x cos (βx) + C2 e α x sin (βx)
Assista ao vídeo tipos de soluções com o professor Rafael Valada!
Veja os exemplos com aplicação no sistema massa-mola livre!
Assista aos vídeos com o professor Rafael Valada!
Exemplo I PVI EDH 2ª ordem;
Exemplo II PVI EDH 2ª ordem;
Exemplo sistema massa-mola.
Classificação de um sistema mass-mola
Classificação de um sistema mass-mola
Podemos classificar um sistema massa-mola em forçado ou livre a partir da existência ou não de forças externas atuantes no sistema. Mas, a partir da existência de força de amortecimento no sistema, consideramos três casos, conforme a natureza das raízes da equação auxiliar. Consideramos a equação diferencial que modela o sistema massa-mola na sua forma padrão:
A saber, um sistema massa-mola pode ser classificado em:
Superamortecido: λ² - ω² > 0
Criticamente amortecido: λ² - ω² = 0
Subamortecido: λ² - ω² < 0
EDH ordem superior
EDH ordem superior
Poucos fenômenos naturais são modelados por equações diferenciais de ordens superiores. Um modelo que surge naturalmente da teoria da mecânica estática e leva a uma equação diferencial de ordem superior é a conhecida Equação da Viga de Euler Bernoulli.
A deflexão estática de uma viga uniforme de comprimento L suportando uma carga w (= w(x)) por unidade de comprimento é descrita pela equação diferencial
EI y(4) = w(x)
onde E representa o módulo de elasticidade de Young e I o momento de inércia de uma seção transversal da viga.
A função w torna a equação não homogênea, por isso não tentaremos resolver essa equação neste momento. Esse assunto voltará a ser contemplado em nosso material, onde encontraremos uma maneira de resolver tal EDO com o auxílio da Transformada de Laplace.
Por hora, vamos estender as ideias construídas para uma EDL de segunda ordem ao caso de equações diferenciais lineares homogêneas de ordens superiores a dois com coeficientes constantes. Ou seja, para equações diferenciais que podem ser postas na forma:
De forma semelhante ao método utilizado nas EDH de 2ª ordem, buscam-se soluções da forma exponencial (y = erx). A equação característica resultante é um polinômio de grau n, o qual possui n raízes reais e/ou complexas contando as multiplicidades.
an rn + an-1 rn-1 +…+ a1 r + a0 = 0
A solução geral y será escrita de acordo com a natureza das raízes obtidas conforme generalização:
n raízes distintas: y(x) = C1 er1x + C2 er2x +...+ Cn ernx
n raízes iguais: y(x) = C1 er1x + C2 xer1x +...+ Cn xn-1 er1x
Lembre-se de que as raízes complexas aparecem aos pares de conjugadas e podem ter multiplicidade também (raízes complexas iguais) em polinômios de ordem maior ou igual a quatro.
Infográfico
Infográfico
Referências
Referências
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
ULBRA. Matemática Aplicada I. Canoas, 2015.
ULBRA. Modelagem de Sistemas Dinâmicos I. Canoas, 2015.
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem. 10. ed. São Paulo: Centage Learning, 2016.
Créditos
Créditos
Coordenação e Revisão Pedagógica: Claudiane Ramos Furtado
Design Instrucional: Gabriela Rossa
Diagramação: Marcelo Ferreira
Ilustrações: Rogério Lopes
Revisão ortográfica: Ane Arduim
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