iglu

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Solução:

A variável Pr corresponde a componente do peso da esfera na direção radial.

Supondo que R seja constante ao longo do movimento,

$eq=P_r =m\frac{v^2}{R}$

$eq=P_r =mgsin(\theta)$

Unindo as duas equações:

$eq=v^2=Rgsin(\theta)$

Escrevemos então:

$eq=v(\theta)=\sqrt{[2gR(1-sin(\theta)]}$

Obsevando os limites em

$eq=\theta=\frac{\pi}{2}$

$eq=v=0$

e em

$eq=\theta = 0$

$eq=v=\sqrt{2gR}$

Porém este valor é maior que

$eq=\sqrt{Rgsin(\theta)}$

Isso significa que

$eq=P_r<m\frac{v^2}{R}$

Ou seja, existe um ponto onde a esfera perde o contato com o iglú, porque a força

$eq=P_r$ não é suficiente para manter a esfera em contato com o iglú.

Considerando então que neste ponto ocorre que:

$eq=Rgsin(\theta)=2gR[1-sin(\theta)]$

Isolando $eq=\theta$ , obtemos:

$eq=\theta=arcsin(\frac{2}{3})$

Note que a consideração inicial do problema:

$eq=P_r =m\frac{v^2}{R}$

Significa que para a esfera manter a distância R até o centro constante,
a componente radial da força peso deve ser igual a:

$eq=m\frac{v^2}{R}$

___________________________________________________________

Qual o significado físico de:

$eq= \frac{v^2}{R}$

No problema do iglú, este valor é igual ao módulo da aceleração radial
que deve ser atuada sobre a esfera, para que R permaneça constante.

De onde veio isso?

Velocidade: