Objet : Démontrer que la limite de la série géométrique α² / (α²+1) ne peut jamais être atteinte.

 

 

LIMITE DE LA SERIE GEOMETRIQUE : α² / (α²+1)

 Considérons l’intersection I₁ d’un cercle (C₁; R₁) dont le centre O₁ se trouve sur l’axe des abscisses et tangent à l’axe des ordonnées (soit O₁ = R₁) et d’un autre cercle (C₂ ; R₂) dont le centre se trouve sur l’axe des ordonnées et tangent à l’axe des abscisses (soit O₂ = R₂).

Le point I₁ est repéré par son abscisse X et son ordonnée Y.

L’équation du premier cercle est           : (X₁)² + (Y₁ - R₁)²  = R₁²

L’équation du deuxième cercle est        : (X₂ – R₂)² + (Y₂)² = R₂²

L’intersection I₁ de ces deux cercles en fonction des rayons est : X = (2 R₁² R₂) / (R₁² + R₂²)

  

Posons R₁ = α R₂ , l’abscisse de I peut alors s’écrire : X = (2 α² R₂³) / (α² R₂²+ R₂²), soit X = 2 R₂ α² / (α² + 1)

La limite de la série α² / (α² + 1) lorsque α tend vers l’infini est 1.

α qui tend vers l’infini signifie que le rayon R₂ augmente de plus en plus avec R₁ constant.

L’abscisse X_i du point d’intersection I_i des deux cercles se rapproche donc de plus en plus de l’axe des abscisses.

Le fait de dire que la limite de la série α² / (α² + 1) lorsque α tend vers l’infini est égal à 1 signifie qu’à l’infini l’abscisse X_i du point d’intersection I_i des deux cercles se trouve sur l’axe des abscisse. Or, le cercle de rayon R₂ est déjà tangent en zéro, donc il ne peut être tangent une nouvelle fois à l’infini, nous avons donc là un paradoxe.

Nous ne discuterons pas dans ce document de l’écart entre l’abscisse X_i et le point d’abscisse 2 R₁ vers lequel tend ce point X_i. En effet, soit δ cet écart, lorsque le rayon R augmente, l’écart δ augmente proportionnellement. Lorsque R tend vers l’infini, δ tend lui aussi vers l’infini.

Revenons à notre série, la conclusion qui s’impose est que la limite de cette série tend vers 1 mais sans jamais l’atteindre, même à l’infini. Non pas à cause de l’infini des nombres, que ce soit l’infini dans N, Z,… mais à cause du concept mathématique du cercle.

Ce paradoxe réel provient de la définition du cercle. On ne peut donc pas le résoudre avec nos concepts mathématiques actuels, c’est le système mathématique défini dans son ensemble comme explicité dans nos précédents articles qu’il faut améliorer.

 

Philippe TAHMAZIAN

Département de mathématiques

Université de Sevan – Arménie