BU BÖLÜMDE DEĞİŞİK FORUM SİTELERİNDE ÇÖZMÜŞ OLDUĞUM GÜZEL SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ VE YİNE DEĞİŞİK KAYNAKLARDA GÖRDÜĞÜM VE BEĞENDİĞİM SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ BULABİLİRSİNİZ. BÖLÜMLERİN ÜZERLERİNİ TIKLAYARAK AÇILACAK OLAN YENİ PENCEREDEN KONULARA GÖRE DÜZENLENMİŞ SORULARA VE CEVAPLARA ULAŞABİLİRSİNİZ. 1. n5 = 1335 + 1105 + 845 + 275 denkleminde n = ?
2. n > 1 ise x49 = x (modn) x = ?
3. (cosx)2 + (cos2x)2 + (cos3x)2 = 1 denklemi çözünüz. (IMO 1962 )
4. logÖ (0,333...) Ö (0,037037...) = ?
5. (tan((3p )/11) + 4sin((2p )/11))2 = ?
6. tan(p /13).tan((2p )/13).tan((3p )/13).tan((4p )/13).tan((5p )/13).tan((6p )/13) = ?
7. Ö (4 + Ö (4 - Ö (4 + Ö (4 - x)))) = x ise x=?
8. 105x + 29y � 1 = 0 denklemini tamsayılarda çözünüz?
9. a.b ¹ 0
10. Bir ABC üçgeninde aşağıdaki bağıntıyı gerçeklediğini kanıtlayın. cot(A/2) = (sinB + sinC)/(cosB + cosC)
11. z karmaşık sayı olmak üzere,
12. a ¹ 1 ve a > 0
13. 36x3 - 12x2 - 5x + 1 = 0 denklemini reel kümede çözünüz.
14. tanA = 1/3
15. z karmaşık sayı olduğuna göre aşağıdaki denklemi karmaşık sayılarda çözünüz.
16. (1/(1.4)) + (1/(4.7)) + (1/(7.10)) ... + (1/(2998.3001)) = ?
2x =70 (mod83)
34. 1/1 + 1/3 = 4/3 ,42 + 32 = 52 1/5 + 1/7 = 12/35, (12)2 + (35)2 = (37)2
35. [x/(1!)] + [x/(2!)] + ... + [x/(10!)] = 1001 tamdeğer ifadelerden oluşan denklemi tamsayılarda çözünüz.
36. 22004 = x (mod2004) ise x = ?
37. (Ö (3(a)) + Ö (3(b)) - 1)2 = 49 + 20Ö (3(6)) pozitif tamsayılarda a, b ikilisi neye eşit olur?
38. a!.b! = a! + b! + c! a, b, c nin pozitif tamsayılarda çözüm kümesi nedir?
39. y(x2 + 36) + x(y2 - 36) + y28(y-12) = 0, ise reel kümede çözüm kümesi nedir?
40. a + b + c + d = nÖ (a.b.c.d) ve n pozitif tamsayı ise denklemi pozitif tamsayılarda çözünüz.
41. x3 + y3 + z3 + t3 = 1999 ise çözüm kümesi nedir ?
42. 233 - 219 - 217 � 1 ifadesinin 1000 ve 5000 arasında olacağını gösterin.
43. (a2 + b)/(b2 - a) ve (b2 + a)/(a2 - b) ifadelerinin her ikisinin de tamsayıya eşit olan a ve b sayılarını bulunuz
44. n ³ 3 ve pozitif bir tamsayı olmak üzere n^(n^(nn)) - n^(nn) ifadesinin 1989 sayısına tam bölündüğünü ispatlayın.
45. sin(cosx) mu yoksa cos(sinx) daha büyüktür?
46. Toplamları 271 olan sayıların çarpımının en büyük değeri ne olur?
47. `+,-,x,/` işlemlerini bir kez kullanarak 24 sayısını elde edebilir misiniz? (Not : Kullanacağımız sayılar 1,3,4,6 dır.)
48. cos(p /7) � cos(2p /7) + cos(3p /7) = ? ( IMO)
49. f : R ® R ve x, y Î R olmak üzere f(x).f(y.f(x)) = f(x + y) olduğuna göre f fonksiyonunu bulunuz?
50. x, y, z reel sayılara olmak üzere x + y + z = 0 olduğuna göre aşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız.
51. Rakamları toplamı 9 olan 20.000 den küçük kaç tane doğal sayı vardır?
63. 2(x7 + y7 + z7) � 7.x.y.z.(x4 + y4 + z4) polinomunun x + y + z � ye bölündüğünü gösteriniz 65. yx = xy eşitliğini sağlayan ve birbirlerine eşit olmayan x ve y doğal sayıları bulunuz. 66. Düzlemde n tane nokta
(şehir) verilmiş olsun. Bu şehirler arasında yol döşemek istiyorum.
Öyle ki her şehirden her şehre ulaşılabilsin. Doğal olarak yolu
olabildiğince kısa döşemek istiyorum. Yolu nasıl döşemeliyim, ya da en
kısa yol ne kadar uzun olur?
67. Toplamları 61 olan sayıların çarpımının en büyük değeri nedir?
68. 0'dan 9'a kadar olan bütün
rakamların sadece birer kez kullanıldığı 10 rakamlı bir sayı, 1'den
10'a kadar bütün sayılara tam olarak bölünüyor. Bu koşulu sağlayan en
küçük sayıyı bulunuz.
70. Yalnızca üç adet 2 sayısını yazarak ve istediğiniz bütün matematiksel işlemlerini yaparak eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar her sayıyı yazabilir misiniz?(Rastladığım en inanılmaz ve en güzel problem)
71. x + y + z = 1 72. x2 � 51y2 = 1 denkleminin bir doğal sayı çözüm takımı olabilir mi ?
73. f((x - 3)/(x + 1)) + f((3 + x)/(1 - x)) = x olarak verilen f fonksiyonunun kuralını bulunuz.
74. e ve p matematiğin ünlü irrasyonel sayıları olmak üzere acaba ep mi yoksa p e mi büyük?Geometrik bir ispat verilebilir mi?
75. Bir üçgenin iççember merkezinin üçgenin köşelerine olan uzaklıkları x, y, z ise iççember yarıçapı olan r'nin x, y, z cinsinden değeri nedir?[Mustafa Yağcı]
76. Saat 7'yi 28 geçe akreple yelkovan arasındaki açı ne olabilir?
77. ABC üçgeninde B'ye ait içaçıortay AC'yi D'de kessin. |BC|+|BD|=|AD| ve m(B)=80 ise m(A)=?[Bilal Kurt]
78. Bir İnsanın 29 şubatta doğma olasılığı nedir?
79. Önünüze 10 tane kutu koyuruz. Her kutunu içinde 10 tane altın war.9 kutunun içinde 1 gramlık altın varken birinin içinde 2 gramlık altın var. Sadece bir kere tartma hakkımız var.2 gramlık altın hangi kutudadır?
80. Tabanı birim karelerden oluşan bir oda düşünelim. 10x10 olsun.odanın bir köşesindeki kare üzerinde siz varsınız. Bu kareden yola çıkarak, bütün kareleri dolaşarak ve her kareden yalnızca bir defa geçerek odanın karşı köşesine gidebilir misiniz? (sağa,sola,aşağıya ve yukarıya hareket edebilirsiniz.)
81. Bir asker: Üzerinde 1'den 10'kadar sayı yazan tankları diğer askere sayıp (diğer askerin yanında) 10 tane tank teslim etmiş. Asker gittikten sonra tankları teslim alan asker tankları saydığında 9 tank çıkmış. Acaba bu nasıl oldu.
82. 0, 0, 0 bu rakamları kullanarak 6 sayısını bulabilir misiniz? 83. 1000 katlı bir gökdelen
düşünelim ve bu gökdelenin her katında kat numarası kadar insan
bulunmaktadır. Örneğin 3. katta 3 kişi 30. katta 30 kişi bulunmaktadır.
Her katta, kat numarasını tam bölebilen sayıların adedi kadar bayan
vardır geriye kalanlar erkektir. Örneğin 21. katta 21'i bölebilen tüm
sayılar 21,7,3,1 olmak üzere toplam 4 bayan 17 erkek bulunmaktadır. 31. Katta da 31 bölen sayılar 31,1 olmak üzere 2 bayan 29 erkek vardır.
84. Bir davete giden 5 kişi şapkalarını vestiyere bırakıyor. Çıkışta şapkalarını geri alırken herbirine rasgele bir şapka veriliyor. Buna göre hiçbirini kendisine ait şapkayı almama olasılığı kaçtır?
85. 4 evli çift rasgele yanyana oturuyor. Hiçbir kadının kocasının yanında oturmama olasılığı kaçtır?
86. İrem ve Yasemin bir gün önceden anlaşıyorlar, yarın 18:00 ıle 19:00 arası buluşacaklar. Biri diğerini 20 dk bekleyecek ve gelmezse gidecektir. İrem ve Yasemin� in buluşma olasılığı nedir?
87. 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,....... 88. Bir çift zar, zarlardaki sayıların toplamı 5 veya 7 gelinceye kadar atılacaktır. Buna göre önce 5 gelme olasılığı nedir?
89. 1- 5 tane ev var. hepsi ayrı renk
90. 7,7,7,1 bu sayıları sadece birer defa kullanarak (dört işlem) 50 yi bulabilirmisiniz.
91. Aşağıda ki soruda beşin karşısına kaç gelir
92. ............N . . . .
93. Düz bir ırmağın iki
yakasında bulunan, hızları farklı ve sabit olan iki gemi birbirlerine
doğru aynı anda hareket ediyorlar. İlk olarak en yakın limana A metre
mesafede karşılaşıyorlar. Yollarına devam edip iskeleye varıyorlar. Her
iki gemide yolcu indirip, bindirmek için Z dakika bekleyip ters yönde
hareket ediyorlar. Bu kez en yakın limana B metre mesafede karşılaşıyorlar. Irmağın genişliğini A ve B cinsinden bulunuz.
94. A ve B kutularının birinin içinde 10 milyar liralık çek bulunmaktadır. A kutusunun üzerinde "B'nin üzerindeki yazı kısmen yanlıştır ve çek B'nin içindedir" yazmaktadır. B kutusunun üzerinde ise "A'nın üzerindeki yazı kısmen doğrudur ve çek B'nin içindedir" yazmaktadır. Buna göre çek hangi kutudadır?
95. Bir odanın dışında 3 tane anahtar var. Bu üç anahtardan yalnız biri odanın lambasını yakıyor. Odaya sadece bir defa girerek hangi anahtarın lambayı yaktığını bulabilir misiniz nasıl? Anahtarlara istediğiz kadar basabilirsiniz.
96. (An)=(2,3,6,15,..........,An)
97. (1936 yılında London Post gazetesinde bir ölüm ilanı vardır 98. A= Pozitif bir tamsayı
99. TARİHTE BİR GUN KRALIN BİRİ VEZİRİNE BENİM 1000 TANE KOYUNUM VAR
VE ELİMDE DE 10 TANE AHIR VAR SEN KOYUNLARI OYLE BİR ŞEKİLDE AHIRLARA
KOYKİ BEN AKLIMDAN GECEN BİR SAYIYI SOYLEDİGİMDE SEN X,Y,Z NOLU
AHIRLARI BOŞALTIRSAK İSTEDİĞİM SAYIDAKİ KOYUNU BANA VERSİN YOKSA KELLE
GİDER DER?
100. Pişirilmeyi bekleyen 3 tane pizzamız var ve aynı anda sadece 2 pizza alabilen bir tavanız.1 pizzanın 1.5 dakikada bir yanı pişiyor.3 pizzayı tam olarak en az kaç dakikada pişirebilirsiniz.
101. Sizden istenilen 4 haneli bir sayıyı bulmanızdır. İpucu olarak verilen sayılardan ortak olup da yerinde olmayanlar
102. Satranç tahtasında kaç tane kare vardır?
103. Nüfus memuru ile ev sahibi arasındaki konuşma ;
104. Bir sarayın kapısında siyah ve beyaz şapkalar var. Ziyaretçiler girerken ya siyah ya da beyaz şapkayı takmak zorundadır. Saraya 3 ziyaretçi geldiğinde şapkaların renk dağılımının 2-1 olma olasılığı nedir?(yani ikisi aynı renk,birisi farklı renk)
105. A ve B istasyonları arasında her X
dakikada bir karşılıklı metro seferleri yapılmaktadır. İşine giderken
bu metroyu kullanan bir öğrenci, yolculuk boyunca (başlangıç ve bitiş
anları dahil) karşı yönden gelen 21 metro treniyle karşılaşıyor.
106. bir kişinin 100 lirası var. Kadınlara 1 lira, erkeklere 5 lira ,çocuklara 5 kuruş çalışma ücreti vermek üzere 100 kişi çalıştırmak istiyor. yani 100 liranın tamamıyla belirtilen şartlarda belirli sayıda erkek, kadın ve çocuk çalıştırmak istiyor. Kadınların,erkeklerin ve çocukların sayısı kaçtır? 107. Aşağıdaki sözcüklerin oluşturduğu cümle doğru bir önermedir.
Çünkü gerçekten kullanılan harf sayısı 45?dir. Sadece beşinci satırdaki
?KIRKBEŞ? sözcüğünün yerine başka bir sözcük yazarak aynı özelliği
koruyunuz. (4 PUAN)
108. Her harfin farklı bir rakamı simgelediği ABCD sayısını 9 ile çarpınca DCBA elde ediliyor. Bu sayıyı bulunuz.
109. Üzerlerinde sayı yerine kırmızı ya da mavi renkler bulunan iki zar var. İki arkadaş bu zarları sırayla atarak aralarında şöyle bir oyun oynuyorlar: İki zar da aynı renk gelirse A kazanıyor. Zarlar farklı renk gelirse B kazanıyor. İki arkadaşın kazanma şanslarının eşit olduğunu ve birinci zarın dört yüzünün kırmızı, iki yüzünün mavi olduğunu söylersek, ikinci zarın renklerini bulabilir misiniz?
110. X. Y ve Z adlarındaki silahşörler üçlü bir düello yapacaklardır. Herkes sırayla tek el ateş edecek, en son bir kişi kalana kadar düello devam edecektir. Silahşörlerin isabet oranları şöyledir: X=1/1, Y=2/3 , Z=1/3. Hakemlerin kararına göre önce Z ,sonra Y, daha sonra X ateş edecektir. Siz Z?nin yerinde olsaydınız kimi vurmak isterdiniz
111. Birbirinden farklı iki pozitif tamsayı seçin, küçük olana y, büyük olana z deyin.
112. GÖREV:
113. Varsayalım ki çok ünlü bir otelde aşçısınız ama bu otelin mutfağında saat yok. Sadece 11 dakikalık ve 7 dakikalık iki kum saatiniz var ve sizden bir yumurtayı 15 dakika boyunca pişirmeniz isteniyor. Nasıl yaparsınız?
114. beyaz=em
115. 7,8,9,10,11 sayılarını ve toplama,çıkarma,bölme,çarpma işlemlerini bir kere kullanarak 123 sayısı nasıl elde edilir?
116. Matematikistan isimli bir ülkede sadece 6 liralık, 9 liralık ve 20 liralık paralar var. Bu ülkede bu paraların birleşimi olarak elde edilemeyecek büyük para miktarı nedir? (Örneğin 112 lirayı 5 tane 20 lira ve 2 tane 6 lira ile elde edebiliriz)
117. Aşağıdaki soruyu ODTÜ matematik bölümü öğrencilerine sordum. Size de sorayım.
118. 1'lerden ve 0'lardan oluşan ve 225'e tam olarak bölünen en küçük pozitif tam sayı nedir?
119. Varsayalım ki çok ünlü bir otelde aşçısınız ama bu otelin mutfağında saat yok. Sadece 4 dakikalık ve 7 dakikalık iki kum saatiniz var ve sizden bir yumurtayı 9 dakika boyunca pişirmeniz isteniyor. Nasıl yaparsınız?
120. Üst üste maç kazananın ödül alacağı bir boks şampiyonasına eş güçte olduğu varsayılan 3 boksör katılmıştır. İlk maçı oynayacak boksör kura ile seçileceğine göre,kurada seçilmeyen boksörün ödül alma olasılığı nedir?
121. Yolcu, bu mezarda Diophantos yatıyor.
122. İç teğet çemberinin çapı 4 cm olan üçgenin alanı en az kaç cm2 dir?
123. İç açıları 1,2 ve 4 ile orantılı bir üçgenin çevrel çemberinin çapı 4 cm ise alanı kaç cm2 dir?
124. Öyle sayma sayıları bulunuz ki, bunları birbiri ile çarptığımızda sonuç 24 , topladığımızda da sonuç 24 yapsın!
125. Öyle k tane anahtar olabileceğini gösterin ki bu anahtarların kombinasyonlarıyla, bağlı olan n tane lambadan 0, 1, 2, 3, ..., n tanesi yanabilsin ve k en küçük olsun." (her anahtar için bir lamba olması şart değil)
126. 5 farklı ağırlıktaki topu sadece birbirleriyle kıyaslayarak iki kefeli bir terazide en az kaç hamlede sıralarsınız?
127. a, b, c ve d birer ardışık tamsayılar olmak üzere,
128. (2x5 + 29x4 + 40x3 + 14x2 + 13x - 1)13 ifadesinde x = -13 için neye eşit olabilir?
129. Bir çemberin 15cm ve 30cm uzunluklarında iki kirişi merkezden sırayla 2x ve 6x lik açılar altında görülmektedir. Çemberin yarıçapı ne olabilir?
130. x + y + z = 6pi/7 (pi = 180 derece) ve 2x = 3y = 6z olduğuna göre
131. Bir N sayısını öyle n
parçaya ayırın ki n parçanın toplamı N yapsın ve n parçanın
birbirleriyle çarpımı maksimum sayıyı versin...
132. Öyle iki kesir bulun ki küplerinin toplamları 6 yapsın!
133. 25 kişilik bir özel sınıf var ve de 3 tane odamız var.
Odalardan biri 3, diğeri 4, kalanı da 5 kişilik. Her bir odada her gün
aynı anda ders oluyor. Yani her kişi aynı gün içinde sadece bir odada
derse girebilir. Tabii odaların toplam kapasitesi 12 kişi olduğundan
her öğrenci her gün derse giremiyor. 134. 30 yolcu batan bir gemiden kurtulmak için 15 kişilik bir kayık kullanılacak. Kimin kurtulacağı bir kurala bağlıyorlar. Kurala göre yolcular çember şeklinde dizilecekler. Yolculardan herhangi birinden sayamaya başlanacak. Her 9. kişi kayığa alınacak. Bu durumda çemberdeki en uygun yerler hangileridir?
135. Buz bir kübün hacmi yüzey alanına orantılı olarak azalıyor. İlk 1 saatte buzun 1/4 ü erimişse tamamı eriyene kadar geçecek süre ne kadardır?
136. Günlük hayattan grup örneği sorusuyla daha önceden karşılaşmışızdır. Hatta yürü-dur komutu ilk akla gelen örnektir. Peki ya günlük hayattan halka örneği vermek istersek bu nasıl olmalıdır?
137. 20 kişilik bir komite, A;B;C adayları arasından bir secim yapmak için değişik
138. A=(1,2,3,4,5) B=(B,C,D,Y,Z,İ) KÜMELERİNDEKİ ELEMANLARI KULLANARAK ÖNCE İKİ RAKAM SONRA ÜÇ HARF SONRA İKİ RAKAM ŞEKLİNDE RAKAMLARI VE HARFLERİ FARKLI KAÇ FARKLI PLAKA OLUŞTURULUR?
139. x + y + z = 1 (x,y ve z ³ 0) 140. 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 10.10! = ?
141. 5 farklı ağırlıktaki topu sadece birbirleriyle kıyaslayarak iki kefeli bir terazide en az kaç hamlede küçükten büyüğe sıralarsınız?
Not:Bu soruların tamamı www.bilimadami.net forum sayfasında sorulmuş ve yanıtlanmıştır.
ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde m(BAD)=m(CAE) şartını sağlayan D,E
noktaları alınıyor. M ve N sırasıyla ABD ve ACE iç teğet çemberlerinin
BC�ye teğet oldukları noktalar olsun. 1/BM + 1/MD = 1/NC + 1/NE
olduğunu gösteriniz. Çözüm.
1/MB + 1/MD = (MB + MD)/(MB . MD) = BD/(MB . MD) . . . (1) 1/NC + 1/NE = (NE + NC)/(NE . NC) = EC/(NE . NC) . . . (2) (1) ve (2) den BD . NE . NC = CE . MB . MD C/sin(a+c) = BE/sin(a+d) ; b/sin(a+b) = DC/sin(a+d) . Bu iki ifadeyi taraf tarafa bölersek, c/b . sin(a+b)/sin(a+c) = BE/DC . . . (3) Şimdi de ABD ve AEC üçgenlerine sırasıyla sinüs teoremini uygulayalım. c/sin(a+b) = BD/sin(a) ; b/sin(a+c) = EC/sin(a) . Bu iki ifadeyi de taraf tarafa bölersek c/b . sin(a+c)/sin(a+b) = BD/EC . . . (4) bulunur. (3) ve (4) ü taraf tarafa çarparsak, c/b . sin(a+c)/sin(a+b) . c/b . sin(a+b)/sin(a+c) = BD/EC . BE/DC c2 / b2 = (BD . BE)/(EC . DC) bulunur. . . (5) 3.) Şimdi ABD üçgeninde teğet özelliğini kullanarak ;
MB = [(AB + AD + BD)/2] � AD = (c + BD � AD )/2 bulunur. MD = [( AB + AD + BD)/2] � AB = (AD +BD � c)/2 bulunur. 2MB + AD = c + BD ; 2MD + AD = BD � c Yukarıdaki ABD üçgeni için yaptıklarımız AEC üçgeni için de geçerlidir. NE = [(AC + AE + EC)/2] � AC = (EC � AE � b)/2 NC = [(AC + AE + EC)/2] � AE = (b+ EC �AE)/2 2NE + AE = EC � b ; 2NC + AE = b + EC bulunur. 3.)ABD üçgeninde sinüs teoremini tekrar yazarsak; BD/sin(a) = AD/sin(b) è BD . sin(b) = AD . sin(a) ; sin(a) = (BD . sin(b))/AD . . . (6) benzer şekilde ACE üçgeni içinde yaparsak CE . sin(c) = AE . sin(a) dan, sin(a) = (CE . sin(c))/AE . . .(7) bulunur. (6) ve (7) den (BD . sin(b))/AD = (CE . sin(c))/AE è (BD . AE)/(AD . CE) = sin(c)/sin(b) . . .(8) ABC üçgeninde de sinüs teoremini uygularsak, B/sin(b) = c/sin(c) è sin(c)/sin(b) = c/b . . .(9) bulunur. (8) ve (9) dan b/c = (BD . AE)/(AD . CE) è b . AD . CE = c . BD . AE çıkar. 5.) Şimdi de ABD ve ACE üçgenlerine kosinüs teoremini uygulayalım. BD2 = c2 + AD2 � 2c . AD . cos(a) ; CE2 = b2 + AE2 � 2b . AE . cos(a) buradan , (c2 + AD2 - BD2)/(c . AD) = (b2 + AE2 - CE2)/(b . AE) Şimdi 3. basamakta bulduğumuz değerleri kullanarak BD2 - c2 = (BD + c)(BD � c) = (2MB + AD)(2MD + AD) = 4MB . MD + 2AD . BD + AD2 . Yine 3. basamakta bulduğumuz değerleri kullanarak CE2 - b2 = (CE + b)(CE � b) = (2NE + AE)(2NC + AE) = 4NE . NC + 2 . AE . EC + AE2 . Şimdi bu son bulduğumuz eşitlikleri 5. basamağın başında bulduğumuz ifade de yerine koyarsak (2MB . MD + AD . BD)/(c . AD) = (2NC . NE + AE . CE)/(b . AE) b[(2MB . MD)/AD + BD] = c[(2NC . NE)/AE + CE] . 4. basamakta bulduğumuz eşitliği de kullanarak (b . MB . MD)/AD = (c . NC . NE)/AE ç è b . MB . MD . AE = c . NC . NE . AD . . . (10) . Tekrar ACD ve ABE üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak, AD/sin(c) = CD/sin(a+d) ; AE/sin(b) = BE/sin(a+d) . Bu iki eşitliği taraf tarafa bölersek, AD/AE . sin(b)/sin(c) = CD/BE . (9) daki eşitlikten faydalanarak AD/AE . b/c = CD/BE . Şimdi (10) daki eşitlikte AD/AE yerine CD/BE . c/b yazarsak, AD/AE = (b . MB . MD)/(c . NC . NE) = CD/BE . c/b MB . MD . BE = c2 / b2 . NC . NE . CD . Şimdi de c2 / b2 yerine (5) de bulduğumuz eşitliği yazarsak , MB . MD . BE = [(BD . BE)/(CD . CE)] (NC . NE . CD) CE . MB . MD = BD . NC . NE bulunur ve iddiamızı da kanıtlamış oluruz. (Gerçekten çok güzel bir soru) a, b, c, d, farklı reel sayılar olmak üzere a/b + b/c + c/d + d/a = 4 ve ac = bd şartları sağlanıyor. a/c + b/d + c/a +d/b ifadesinin en büyük değerini bulunuz. Çözüm. Şimdi sorumuzda ki ifadelere farklı bir açıdan yaklaşmaya çalışalım. a/b = x , b/c = y , c/d = z , d/a = t olsun. Bu durumda ac = bd olduğundan xz = 1 ve yt = 1 olur. ve x + y + z + t = 4 olur. Soruda bizden istenen ifadeyi de bu yeni kullandığımız ifadelere göre tekrar düzenlersek; a/c + b/d + c/a +d/b = xy + yz + zt + xt ifadesi ortaya çıkar ve biz bu ifadenin maksimum değerini bulmaya çalışacağız. Fakat biz soruda istenen ifadeyi biraz değiştirerek (xy + yz + zt + xt + xz + yt) = A ifadesinin max değerini bularak çözüme gitmeye çalışacağız. (xy + yz + zt + xt + xz + yt) ≤ (x + z)(y + t) (*) eşitsizliğinin doğruluğunu görmek zor değildir. Şimdi eşitsizliğin sağ tarafını a = (x + z) ve b = (y + t) olmak üzere a . b çarpımı biçiminde yazalım ve ona Aritmetik � Geometrik Ortalama Eşitsizliğini uygulayalım. a . b ≤ [(a + b)/2]2 = (x + y + z + t)2 / 4 = 16/4 = 4 bulunur. Böylece A ≤ 4 olduğu bulunur. Soruda bizden istenen ifade A � xz � yt ≤ 4 � 2= 2 ifademizin maksimum değeri olur.
2(x7 + y7 + z7) - 7xyz(x4 + y4 + z4) polinomunun x + y + z � ye bölündüğünü gösteriniz. Çözüm. Bu soruda üç tane bilinmeyenimiz bulunmaktadır. Bu soru şu formatta da sorulabilir. x+y+z=0 olmak üzere polinomda bu ifadeyi yazdığımızda ifademiz sıfır oluyorsa tam bölünebilir, diyebiliriz. Şimdi z gördüğümüz yere z= -(x + y) yazdığımızda, P1(x,y) = -2[(x + y)7 -x7 + y7] ve P2 = -7xy[x7 + y7 + (x + y)7] polinomlarında P1 + P1 = 0 olduğunu gösterdiğimizde (x+y+z) ye tam bölünebildiğini ispatlamış oluruz. a) P1 = (x + y)7 -x7 + y7 polinomunu çarpanlarına ayrılmış şekline getirmeye çalışalım. P1 (0,y) = 0 dan x P1 (x,y) P1 (x,0) = 0 dan y P2 (x,y) ve P1 (x,-x) = 0 iken (x + y) P1 (x,y) dir. Burada xy(x + y) P1 (x,y) ya da P1 (x,y) = xy(x + y) Q(x,y) yazılabilir. (x + y)7 -x7 + y7= xy(x + y) Q(x,y) . Q nun derecesi en fazla dörttür. Binom açılımında x7 ve y7 nin katsayıları haricinde diğerleri 7 ile bölünebilir. Dolayısıyla 7 bir çarpandır. (x + y)7 = x7 + y7 (mod7) yazabiliriz. (x + y)7- x7 - y7 = 7xy(x + y)Q(x,y) ifadesi homojen olduğundan, ayrıca x yerine y, y yerine x yazılırsa bölünen ve bölen değişmediği için Q(x,y) de değişmemelidir. Dolayısıyla Q(x,y) = [(x2 + y2 +xy)]R ifade simetrik olduğundan fonksiyonun derecesi olan R, 2 dir. Yani (x + y)7- x7 - y7 = 7xy(x + y) (x2 + y2 +xy)(A x2 +A y2 +Bxy) x = y = 1 için , 2A + B = 3. x = 2, y = 1 için 5A + 2B = 7 ise A = B = 1 bulunur. Sonuç (x + y)7- x7 - y7 = 7xy(x + y) (x2 + y2 +xy)2 elde edilir. Yani P1 (x,y) = -14 xy(x + y) (x2 + y2 +xy)2 bulunur. b) P2 (x,y) = -7xy[x4 + y4 + (x + y)4] polinomunu çarpanlara ayrılmış şekliyle yazarsak , [x4 + y4 + (x + y)4] ifadesini çarpanlarına ayırmaya çalışalım. [x4 + y4 +2 x2y2 - 2x2y2 + (x + y)4] = [(x2 + y2)2 �(xy)2 + (x + y)4 - (xy)2] (x2 + y2 � xy) (x2 + y2 + xy) + [(x + y)2 � xy) (x + y)2 + xy)] (x2 + y2 � xy) (x2 + y2 + xy) + (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 + 3xy) (x2 + y2 + xy)( x2 + y2 � xy + x2 +y2 + 3xy) 14xy(x + y) (x2 +xy+y2)2 bulunur. Başlangıçta da belirttiğimiz gibi P1 + P2 = -14 xy(x + y) (x2 + y2 +xy)2 + 14xy(x + y) (x2 +xy+y2)2 = 0 olduğundan ispatımız tamamlanmış olur. A ve B üç basamaklı sayılar, A*B ise A ve B nin ardışık yazılmasıyla oluşan altı basamaklı sayı olmak üzere, (A*B)/B şeklinde gösterilebilen en küçük tamsayıyı bulunuz. Çözüm. A = abc ve B = mnp sayıları üç basamaklı iki sayıyı ifade etmiş olsun. Soruda verilen ifade abcmnp / mnp = k gibi bir tamsayıya eşit olabilecek minimum değeri soruluyor. Öyleyse bu altı basamaklı sayıyı çözümlersek, (abc) 103 + mnp = k (mnp) (abc) 103 = (k-1) (mnp) Şimdi üç basamaklı bir sayı ile yine üç basamaklı bir sayının bölümünün maksimum bir değere eşit olması demek �mnp� nin en büyük �abc� nin en küçük değeri ile mümkündür. Sağ tarafın maksimum olması, sol tarafın da maksimum olması ve �k� değerinin minimum olmasını gerektirir. 1000/(k-1) = mnp/(abc) 999/111 = 900/100 = 9 en büyük değerdir. Fakat 9 = 1000/(k-1) k bir tamsayıya eşit olamayacağından bu değer sağlamaz. 888/111 = 800/100 = 8 ifadesini denediğimizde 1000/(k-1) = 8 k = 126 bulunur.
n ve k, n ≥ k şartını sağlayan doğal sayılar ve S kümesi n sayıdan oluşan bir küme olsun. T kümesi x1, x2,�, xk S�nin elemanı olmak üzere x1 +x2 + �+ xk şeklinde sayılardan oluşan kümedir. T�nin en az k(n-k) + 1 farklı elemanı olduğunu gösteriniz. Çözüm : S kümesinin elemanları s1, s2, . . . sn olmak üzere aralarında s1< s2 < . . . < sn ilişkisi olmuş olsun. Biz tümevarımla ispatlamaya çalışacağız. Varsayalım ki k ≤ (n � 1) ve bu sonuca göre S0 = { s1, s2, . . . sn-1 } olur. To da buna karşılık düşündüğümüzde, | T0| ≥ k(n � k �1) + 1. Şimdi x yerine x = sn + sn-1 + . . . + sn-k ve y yerine y = x � sn-i ( i = 1, 2, 3, . . . k) y1 < y2 < . . . < yk ve her y için yi ∈ T olsun. yi + sn-1 = x = sn + sn-1 + . . . + sn-k > sn-1 +( sn-1 + . . . + sn-k ) = sn-1 + Z yi >Z , Z To nın en büyük elemanı olur. | T0| ≥ | T0| + k ≥ k(n � k �1) + 1 + k = k(n � k) + 1 bulunur. Problem. 0 ≤ x < 13, 0 ≤ y < 13, 0 ≤ z < 13 olmak üzere x - yz2 = 1(mod13) xz + y = 4(mod13) denklik sistemini sağlayan kaç (x, y, z) tamsayı üçlüsü vardır? [TÜBİTAK 2006] Çözüm. Bu tür modül sorularının dierğ sorulardan farkı belli bir çözüm tekniğinin olmayışıdır. Zaten Tübitak�ın da bu tür soruların ne denli uğraştırdığını bildiğinden çok çeşitli sorular üretip soru olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu soruda işlemlerimizi z ye göre ele alıp çözüme gitmeye çalışacağız. Şimdi adım adım soruyu çözüme kavuşturmaya çalışalım.
(x, y, z)=(1, 4,0) 2.) z = 1 ; x � y ≡ 1(mod13) x + y ≡ 4(mod13) Her iki kongrüans denklemi y leri yokedecek şekilde sadeleştirirsek, 2x≡5(mod13) karşımıza çıkar.Soruda bizden istenen esas ifadeyi incelersek, çözm kümesindeki elemanlar istenmiyor aksine çözüm üçlülerinin sayısı soruluyor. Yani bu demek oluyor ki başvuracağımız teknik biraz daha kısa olması gerekmektedir. ax≡b(modc) kongrüans denkleminin çözüm kümesinin yeter şartı (a, c)= d[a ile c nin ebob u] ve d / c[d böler c] ise denklemin Zc de çözümü mevcuttur diyebiliriz. Şimdi bu kuralımıza göre denklemlerimizi incelemeye başlayalım. (2,13)=1 ve 1/5 olduğundan bir tek çözümü vardır. 3.)z=2;x � 4y ≡ 1(mod13) 2x + y ≡ 4(mod13) 9y ≡ 2(mod13) (9,13)=1 ve 1 / 2 tek çözüm vardır. 4.)z=3;x � 9y ≡ 1(mod13) 3x + y ≡ 4(mod13) 28x≡1(mod13) (28,13)=1 ve 1 / 1 tek çözüm vardır. 5.)z=4; x � 3y ≡ 1(mod13) 4x + y ≡ 4(mod13) 13x≡13(mod13) burada her iki tarafı 13 ile sadeleştireceğiz. Sadeleştirilmiş hali x≡1(mod1) => x≡0(mod1) bunun anlamı mod13 sınıfında mod1 deki çözüm elemenından başlayarak ve ardışık artarak 12 ye kadar ayı ayrı çözümlerinin mevcut olmasıdır.Yani toplam 0,1,2,...12 13 tane farklı çözüm üçlüleri mevcuttur. (13,13)=13 13 / 13 tam 13 çözümü vardır. 6.)z=5; x +y ≡ 1(mod13) 5x + y ≡ 4(mod13) 4x≡3(mod13) (4,13)=1 ve 1 / 3 tek çözüme sahiptir. 7.)z=6; x +3y ≡ 1(mod13) 6x + y ≡ 4(mod13) 9x≡2(mod13) (9,13)=1 ve 1 / 2 tek çözümü vardır. 8.)z=7; x +3y ≡ 1(mod13) 7x + y ≡ 4(mod13) 6x≡2(mod13) (6,13)=1 ve 1 / 2 tek çözümü vardır. 9.)z=8; x + y ≡ 1(mod13) 8x + y ≡ 4(mod13) 7x≡3(mod13) (7,13)=1 ve 1 / 3 tek çözümü vardır. 10.)z=9; x +10y ≡ 1(mod13) 9x + y ≡ 4(mod13) 2y≡8(mod13) (2,13)=1 ve 1 / 8 tek çözüm var. 11.)z=10 ; x +4y ≡ 1(mod13) 10x + y ≡ 4(mod13) -39x≡11(mod13) (-39,13)=13 ve 13 bölmez 11 i olduğundan çözüm üçlüsü yoktur. 12.)z=11; x +9y ≡ 1(mod13) 11x + y ≡ 4(mod13) 6x≡4(mod13) (6,13)=1 ve 1 / 4 tek çözüm vardır. 13.) z = 12; x +12y ≡ 1(mod13) 12x + y ≡ 4(mod13) -143 ≡ -47(mod13) (-143,13)=13 ve 13 bölmez 47 olduğundan çözümü yoktur. Toplam çözüm sayısı 1 + 1 + 1 + 1 + 13 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 = 23 bulunur. xn + yn = (x + y)m denkleminin tamsayılarda m >1, n > 1, x > y > 0 şartını sağlayan tek çözümü olduğunu gösteriniz. Çözüm: xn + yn = (x + y)m ve x + y = k olsun. Bu ifademizin gerçekleşmesi için n≥m olmalıdır. xn + yn ≤ (x + y)m = K(n,0) xn + K(n,1) xn-1 y + . . .+ K(n,n) yn . Eşitlik son ifadeden de görüldüğü gibi mümkün değildir. Yani n>m olmalıdır. İkinci bir şart olarak denklemimizin çözüm kümesini tamsayılar kümesinde istendiği için, n ve m sayılarımızı birbirine çok yakın seçmemiz gerekir yani ardışık olmalıdır. Yani �n = m+1� şeklinde seçmemiz gerekir. Şimdi üçüncü bir şart olarak x + y = k toplamında (xm+1 + ym+1) ifadesinin maksimum seçmeliyiz ki eşitlik durumu söz konusu olabilsin. x > y > 0 olduğundan dolayı y = 1 ise x = (k � 1) olur. Denklem de yerine yazarsak ; (k-1)m+1 + 1m+1 = km è km � (k-1)m+1 = 1. Şimdi değerler vererek eşitliğimiz hakkında bazı yargılara varalım. m>1 olduğundan
a) k = 4 için, 16 � 27 = -11 ve �11 ≠ 1 olduğundan sağlamaz. b) k = 5 için, 25 � 64 = -39 ve �39 ≠ 1 olduğundan sağlamaz. c) k = 6 için, 36 � 125 = -89 ve �89 ≠ 1 olduğundan sağlamaz. Şimdi ifademiz k > 3 için hiçbir zaman tamsayılar kümesinde çözümü yoktur. Fakat soruda k = 3 durumu 2 > 1 > 0 şartını sağladığından ( k = 1+ 2 = 3) bu durumu incelediğimiz de 9 � 8 = 1 ve 1 = 1 şartını gerçeklediğinden bu k değeri çözüm kümemize dahildir deriz. Yani denklemimizi sağlayan tek çözüm kümesi (x , y) = ( 2 , 1) ikilisidir. ( m = 2) (m> 2 için sağlamadığı da kolayca görülebilir.) p ≥ 5 şartını sağlayan bir asal olmak üzere {1,2,...,p-1} kümesini (birleşimleri bu küme olacak şekilde) 3 ayrık kümeye ayırıyoruz. x + y ≡ z (mod p) şartını sağlayan üçü de farklı kümeye ait x, y, z bulunabileceğini gösteriniz Çözüm. Başlangıç olarak soruda verilen ayrık kümelerimiz demesindeki asıl anlatılmak istenen x, y ve z tamsayılarının birbirinden farklı olacağı manasını taşımaktadır. Ayrık kümelerimiz P1 , P2 ve P3 olsun. P1 ∪ P2 ∪ P3 = P , P1 ∩ P2 ∩ P3 = ∅ dir. (sorudaki hipoteze göre) P1 = (x1 , x2 . . . xm ) ( sıralı ikili değil) P2 = (y1 , y2 . . . yn ) P3 = (z1 , z2 . . . zt) olsun. (x + y) ≡ z (mod p) ifadesini (x + y) = p.z.k + z biçiminde gösterelim. (k∈ℕ). m + n + t = p olur. k = 1 için, (p + 1)z = (x + y) olur. Burada z = p � c , y = p � b ve x = p - a olacak şekilde alalım.( a,b,c birbirinden farklı pozitif tamsayılardır) (p + 1) (p � c) = (p � b) + (p � a) p2 � pc + p � c = 2p � (a+b) p2 � p(c + 1) + (a + b �c) = 0 denklemi elde edilir. Bu ifadeyi tamsayılarda ele aldığımızdan dolayı diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır. Yani (c+1)2 � 4(a + b �c) = 0 olmalıdır. Buradan (c + 3)2 = 8 + 4(a + b) è c = [√(8 + 4a +4b)] �3 eşit olur.
Şimdi yukarıda son bulduğumuz ifadeye kökün içi tamkare olacak şekilde (2, 7 , 14 vb) sayılar verelim. (a + b) = 2 alırsak, a = b= 1 olur. Fakat elemanlarımız birbirinden farklı olacağından bu ifade sağlamaz. (a + b) = 7 alırsak, c = 3 bulunur. a,b,c birbirinden farklı olacak şekilde ikililerimizi seçersek (a,b,c) = (1,6,3) , (2,5,3) , (6,1,3) , (5,2,3) üçlüleri olabilirler. Şimdi sorumuzdaki denkliğe tekrar dönersek, (x + y) ≡ z (mod p) örneğin x = 1, y = 6 ve z = 3 denklikte yerine yazarsak, (p + 1) (p � c) = (p � b) + (p � a) ...(1)è (p +1) (p � 3) = (p �1) + (p � 6) dan p2 � 2p � 3 = 2p �7 è (p-2)2 = 0 dan p = 2 bulunur. p ≥ 5 olması gerektiğinden bu ifade sağlamaz. (a + b) = 14 alırsak c = 5 bulunur. (1) denkleminde yerine koyarsak p = 3 çıkar. (a + b) = 23 alırsak c = 7 bulunur. (1) denkleminde yerine koyarsak p = 4 çıkar. (a + b) = 34 alırsak c = 9 bulunur. (1) denkleminde yerine koyarsak p = 5 çıkar. Yani bu ifadeleri daha da attırmak mümkündür. Örneğin (a + b) = 62 alırsak c= 13 bulunur. (1) denkleminde yerine koyarsak p = 7 bulunur. Yani böyle x,y,z sayıları bulunabilir ve sonsuz çokluktadır. A,B ve C üçgenin açıları olmak üzere (A + B + C =π) (sin(A) + sin(B) + sin(C))( 1/A +1/B+1/C) ≥ (27√3)/2π olduğunu gösteriniz. Çözüm. Soruda bizden istenen ispata farklı bir yoldan yaklaşmaya çalışalım.Sorudaki amacımız ispatı istenen �ifadenin minimum değeri kaçtır?� olarak cevaplamaya çalışalım. Sinüs teoreminde ifadeleri toplarsak; (a + b + c)/(sina + sinb +sinc) = 2R olur.(R çevrel çember yarıçapı) Soruda ifademizin minimum değeri istendiğinden R çevrel çember yarıçapımızı en küçük değerini bulmaya çalışacağız. Şimdi çevrel çember yarıçapı olan R nin minimum olabilmesi içn hangi şartları taşıması gerektiğini araştıracağız.
IPAI + IPBI + IPCI toplamını en küçük yapmak için ABP = A�BP� olacak şekilde saat yönünün tersi yönünde 60° çevirelim. IPAI + IPBI +IPCI nin en küçük olmasını istiyoruz IPAI = IP�A�I , IBPI = IPP�I dolayısıyla min(IA�P�I + IPP�I + IPCI) = IACI olmalı. m(BPC) = 180° - 60° = 120° ve ABA� üçgeni de eşkenar bir üçgendir. Aynı şekilde devam edersek ABC üçgeninin AB, BC ve AC kenarları üzerinde kenar uzunlukları bu kenarlara eşit eşkenar üçgenler oluşacaktır. m(APB) = m(APC) = m(BPC) = 120° olur. Şimdi soruda min değeri istenen ifadeye tekrar geri döndüğümüzde ; [(a + b + c)/2R](1/a + 1/b + 1/c)min ;
a = R√3 bulunur. a = b= c (eşkenar üçgen olduğundan) (Aslında biz bu min bulduğumuz P noktasına özel olarak Fermat noktası diyoruz.) Şimdi ifadede yerine yazarsak, [(a + a + a)/(2a/√3)] (3/a) = 9√3 / 2a = 27√3 / 2π bulunur.( π = a +b +c = 3a) Yani minimum değerini 27√3 / 2π bulmuş oluruz. a, b, c, d, farklı reel sayılar olmak üzere a/b + b/c + c/d + d/a = 4 ve ac = bd şartları sağlanıyor. a/c + b/d + c/a +d/b ifadesinin en büyük değerini bulunuz. Çözüm. Şimdi sorumuzda ki ifadelere farklı bir açıdan yaklaşmaya çalışalım. a/b = x , b/c = y , c/d = z , d/a = t olsun. Bu durumda ac = bd olduğundan xz = 1 ve yt = 1 olur. ve x + y + z + t = 4 olur. Soruda bizden istenen ifadeyi de bu yeni kullandığımız ifadelere göre tekrar düzenlersek; a/c + b/d + c/a +d/b = xy + yz + zt + xt ifadesi ortaya çıkar ve biz bu ifadenin maksimum değerini bulmaya çalışacağız. Fakat biz soruda istenen ifadeyi biraz değiştirerek (xy + yz + zt + xt + xz + yt) = A ifadesinin max değerini bularak çözüme gitmeye çalışacağız. (xy + yz + zt + xt + xz + yt) ≤ (x + z)(y + t) (*) eşitsizliğinin doğruluğunu görmek zor değildir. Şimdi eşitsizliğin sağ tarafını a = (x + z) ve b = (y + t) olmak üzere a . b çarpımı biçiminde yazalım ve ona Aritmetik � Geometrik Ortalama Eşitsizliğini uygulayalım. a . b ≤ [(a + b)/2]2 = (x + y + z + t)2 / 4 = 16/4 = 4 bulunur. Böylece A ≤ 4 olduğu bulunur. Soruda bizden istenen ifade A � xz � yt ≤ 4 � 2= 2 ifademizin maksimum değeri olur.
|
YILDIZLI SORULAR |